MATLAB数学建模与仿真（第2版·微课视频版）程序代码 综合实例（七）

【例8-38】实验一：生日蛋糕问题。一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果——口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函数：r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5，0<h<1(单位m)由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。【实验方案】首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图8-28所示。图8-28单层蛋糕绕水平中心轴旋转而成，若高为(m)，半径为r(m)，密度为(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为如果蛋糕是双层圆盘的，如图8-29所示。图8-29双层蛋糕绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为以此类推，如果蛋糕是n层的如图8-30。图8-30多层蛋糕每层高为H/n，半径分别为r1，r2，……，rn，则蛋糕的质量和表面积为事实上，蛋糕边缘圆盘半径(0<h<1)那么当n→∞，H=1时此时，数学家的生日蛋糕问题就转化为求上面两个数值积分。【实验过程】symshr=2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5;quadl('pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2',0,1)结果：ans=5.4171在MATLAB中输入：r0=subs(r,h,0)输出结果：r0=8/5quadl('2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5)',0,1)+pi*r0^2输出结果：ans=16.051201求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为W=5.4171(kg)，S=16.0512(m2)实验二：求侧面积为常数，体积最大的长方体体积。设长方体的长、宽、高分别为x,y,z(x>0,y>0,z>0)，体积为V，则V=f(x,y,z)=xyz。约束条件为：（x,y,z）=2(yz+zx+xy)-6=0。symsxyzlamdaa;L=x*y*z+lamda*(2*y*z+2*z*x+2*x*y-6*a^2);Lx=diff(L,'x');Ly=diff(L,'y');Lz=diff(L,'z');Llamda=diff(L,'lamda');[lamdaxyz]=solve(Lx,Ly,Lz,Llamda)运行结果：lamda=a/4-a/4x=-aay=-aaz=-aa在MATLAB中输入运行结果：V=-a^3a^3以上结果中出现的负根不在取值范围内舍去。因侧面积固定的长方体的最大体积客观存在，故当x=y=z=a时，长方体的体积最大，且最大值为。实验三：通信卫星在地面上的覆盖面积将一颗通信卫星送入太空，使该卫星轨道位于地球赤道平面内，卫星运行的角速率与地球自传的角速率（）相同时成为同步卫星。设卫星距地面的最低高度为，试计算卫星所覆盖的地球面积S。图8-31通讯卫星覆盖地面剖面图【实验方案】将地球视为球体（地球半径为），以球心为原点建立如：图8-31所示的坐标系。因上半球面方程为故被卫星覆盖的地表表面积