26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质第二十六章26.2二次函数的图象和性质2026-2027学年人教版数学九年级上册学习目标1.会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念.(重点)2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2

的图象特征和性质.(难点)3.在类比探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.课堂引入1.八年级我们学习了一次函数的什么内容？顺序是什么？2.还记得如何研究函数的图象和性质的吗？3.预习课本，思考下面问题：(1)二次函数的图象是否仍是一条直线呢？若不是，那是什么呢？(2)系数的符号(正负)与函数图象、性质是否有关呢？一、二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质知识梳理二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c.问题1

请用描点法画二次函数y=x2的图象.提示列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值.x…-3-2-10123…y=x2…9410149…(2)描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y).(3)连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象.

解分别列表，再画出它们的图象(如图).x…-4-3-2-101234……84.520.500.524.58…x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2…84.520.500.524.58…反思感悟在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，因此为努力展现函数图象的全貌，一定要用平滑的曲线连接描出的各点，并且为突出函数图象无限伸展的特点，所连的线要超出第一个点与最后一个点.

提示两个函数图象都开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，图象有最低点.在对称轴的左侧(即x<0)，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(即x>0)，y随x的增大而增大.

提示相同点：开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点(最低点).y轴左侧，y随x增大而减小；y轴右侧，y随x增大而增大.不同点：a值越大，抛物线的开口越小.知识梳理二次函数y=ax2(a≠0)a的符号a>0图象

开口方向向上顶点坐标(0，0)对称轴y轴知识梳理增减性在对称轴的左侧(即x<0)，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(即x>0)，y随x的增大而增大最值当x=0时，y最小=0开口大小a越大，开口越小跟踪训练1

(1)关于二次函数y=10x2的图象，下列说法错误的是A.它是一条抛物线B.它的开口向上C.它的顶点是抛物线的最高点D.关于y轴对称√(2)下列函数中，y总随x增大而减小的是A.y=4x

B.y=-4xC.y=x-4 D.y=x2√二、二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质

提示如图，共同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点(最高点).y轴左侧，y随x增大而增大；y轴右侧，y随x增大而减小.不同点：a值越小，抛物线的开口越小.知识梳理二次函数y=ax2(a≠0)a的符号a<0图象

开口方向向下顶点坐标___________原点(0，0)知识梳理对称轴______增减性

(即x<0)，y随x的增大而增大；

(即x>0)，y随x的增大而减小最值当x=0时，y最大=0开口大小__________________y轴在对称轴左侧在对称轴右侧a越小，开口越小

解(1)开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点.(2)开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点.(3)开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点.(4)开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点.

下增大而增大增大而减小0三、利用二次函数y=ax2的增减性比较大小例3

已知实数a且a>1，如果点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，请你用两种不同的方法比较m，n，q的大小.解方法一利用二次函数的值进行比较：∵点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，∴m=(-a-1)2=(a+1)2，n=a2，q=(a+1)2.∴m=q.∵a>1，∴a+1>a>1，则(a+1)2>a2，即q>n.∴m，n，q之间的大小关系为m=q>n.例3

已知实数a且a>1，如果点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，请你用两种不同的方法比较m，n，q的大小.解方法二利用二次函数的性质进行比较：∵点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，且点A与点C关于抛物线y=x2的对称轴对称，∴m=q.∵抛物线y=x2的对称轴为y轴，且a>1，∴点B，C都在y轴的右侧，且点C在点B的右侧.∵当x>1时，二次函数y=x2的值随x的增大而增大，∴q>n.∴m，n，q之间的大小关系为m=q>n.

m>n课堂小结

随堂演练解析把各点坐标分别代入二次函数y=-x2中检验，只有D中的点满足函数关系式.√2.二次函数y=5x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象中开口最大的是A.y=5x2

B.y=3x2C.y=x2

D.y=2x2随堂演练解析∵二次项系数的绝对值1<2<3<5，∴二次函数y=5x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象中开口最大的是y=x2.√3.已知下列三个函数：①y=-x；②y=x；③y=x2.当x<0时，y随x的增大而减小的函数有A.0个 B.1个C.2个 D.3个随堂演练解析

根据一次函数、二次函数y=ax2的性质，可知当x<0时，y随x的增大而减小的函数是①③.√4.抛物线y=6x2的对称轴是

，顶点坐标是