11.3.1 两数和乘以这两数的差 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

11.3.1两数和乘以这两个数的差温故知新想一想：多项式乘以多项式的法则是什么？如何用字母来表示？多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加.

探究新知

思考：两个相乘的多项式具备怎样的特征？计算的结果有怎样的规律？都是两个数的和乘以两个数的差的形式，结果都为这两个数的平方差。代数推导

结论：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，简称平方差公式.(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2.aabbb(a+b)(a−b)

a2

b2=-=-几何角度证明.观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算：几何解释知识归纳平方差公式文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.

典例精析例1

填空：

方法小结1.必须是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；2.结果是相同项的平方减去相反项的平方；3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．典例精析

解：1

998×2

002=(2

000-2)×(2

000+2)=4

000

000-4=3

999

996.=2

000²-2²典例精析

答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)m2.能力提升类型一：利用平方差公式化简

能力提升类型一：利用平方差公式化简

能力提升类型一：利用平方差公式化简

能力提升方法归纳：

运用平方差公式计算时，关键是要找出“相同项”和“相反项”。当有些式子不能直接应用平方差公式计算时，可适当变形，再运用公式进行化简、计算。在计算过程中，有时也可以反复的使用公式。能力提升

能力提升类型二：逆用平方差公式

能力提升

计算下列多项式的积：(1)(x+1)(x-1)=(2)(m-2)(m+2)=(3)(2x+1)(2x-1)=(4)(a+b)(a-b)=

.x2-1m2-44x2-1x2-

12m2-22(2x)2-

12动手算一算a2-b2课堂练习1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是()A.(2a−3b)(−2a+3b) B.(−3a+4b)(−4b−3a)C.(a−b)(b−a) D.(a−b−c)(−a+b+c)B方法总结：紧紧抓住“一同一反”这一公式特征。2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)(x+3)(x

-

3)=x2

-

3；

(2)(

-

3a

-

2)(3a

-

2)=9a2

-

4.不对改正：x2

-

9不对（2）改正方法：原式

=(

-

2

-

3a)(

-

2+3a)=(

-

2)2

-

(3a)2=4

-

9a2.3.计算：（1）(a+3b)(a−3b)；（2）51×49；=a2−(3b)2=a2−9b2=(50+1)×(50−1)=502−12=2499课堂练习4.计算：(x－1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).(x－1)(x+1)=？原式=(x2－1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)=(x4－1)(x4+1)(x8+1)=(x8－1)(x8+1)=

x16－1解：练一练课堂练习5.计算：(a−b+c)(a+b+c).=[(a+c)+b][(a+c)−b]=(a+c)2−b2=(a+c)(a+c)−b2=a2+2ac+