2025-2026学年北京市第109中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市第109中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.复数z=-1+2i,则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（）A. B.

C. D.3.已知向量=(m,4),=(3,-2),且,则m=（）A.6 B.-6 C. D.-4.若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（）A.4π2 B.3π2 C.2π2 D.π25.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=，B=60°，则A=（）A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°6.已知向量=（1，2），=（-2，3），=（k，2），若（+）⊥，则k=（）A.-11 B.11 C.-10 D.107.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.若△ABC有两解，则b的值可以是（）A.4 B.5 C.8 D.109.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D是CB延长线上的一点，则=（）A.3 B.4 C.9 D.不能确定10.如图，在△ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，则下列说法中正确的个数是（）

①=；

②过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F若（0≤μ≤1），则μ=；

③若△ABC是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是[-，-]．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.复数3-4i的实部是

，虚部是

.12.复数=______．13.A（1，2），B（-1，-2），则向量AB的坐标为

.14.设向量不共线，向量与平行，则实数λ=

.15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，给出下列三个结论：

①三棱锥A-BCE与F-ABC的体积相等；

②三棱锥A-BEF的体积为定值；

③三棱锥B-AEF的高为（三棱锥B-AEF的高长即点B到平面AEF的距离）．

所有正确结论的序号有

．

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知向量，，与的夹角为.

（1）求及；

（2）求.17.(本小题14分)

若复数z=（m2-2m-3）+（m-3）i,当实数m为何值时

（1）z是实数；

（2）z是纯虚数；

（3）m=4时，求|z|.18.(本小题14分)

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：

（1）三棱锥A′-B′C′B的表面积和体积；

（2）三棱锥A′-BC′D的表面积和体积.19.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=，b=1，C=120°．

（1）求B的大小；

（2）求△ABC的面积S．20.(本小题14分)

已知在△ABC中，c=2bcosB，．

（1）求B的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长

度．①c=b；②周长为4+2；③面积为S△ABC=．21.(本小题15分)

定义向量的“伴随函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“伴随向量”为．

（Ⅰ）写出向量的“伴随函数”f（x），并直接写出f（x）的最大值M；

（Ⅱ）求函数的“伴随向量”的坐标；

（Ⅲ）已知，向量的“伴随函数”分别为f（x）、g（x），设=λ+μ（λ＞0，μ＞0），且的“伴随函数”为h（x），其最大值为m．求证：向量的充要条件为m=λ+μ．

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】3-4

12.【答案】1-i

13.【答案】（-2，-4）

14.【答案】

15.【答案】①②

16.【答案】，

-4

17.【答案】3

-1

18.【答案】表面积为；体积为

表面积为；体积为

19.【答案】解：（1）由题意，c=，b=1，C=120°，由正弦定理得，=即sinB==，

∵b＜c，∴B＜C，∴B=30°．

（2）由（1）知，B=30°，又C=120°，∴A=30°

S△ABC=bcsinA==．

20.【答案】解：（1）∵c=2bcosB，

∴由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，

∴，

∵，

∴，

，

∴，解得．

（2）选择①，，

与矛盾，故这样的△ABC不存在，

选择②：由（1）可得，

设△ABC的外接圆半径为R，

∵由正弦定理可得，，

∴周长，解得R=2，

∴，

∴由余弦定理可得，BC边上的中线的长度为，

选择③：∵由（1）可得，即a=b,

∴，解得，

∴由余弦定理可得，BC边上的中线的长度为．

21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）=4sinx-3cosx，又f（x）=4sinx-3cosx=5sin（x-φ），其中tanφ=，

所以M=5；

（Ⅱ）=cosx-sinx-1+cosx+1=2cosx-sinx，

所以“伴随向量”=（-，2）；

（Ⅲ）设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），

因为=λ+μ=（λcosα+μcosβ，λsinα+μsinβ），

所以h（x）=（λcosα+μcosβ）sinx+（λsinα+μsinβ）cosx=λ（cosαsinx+sixαcosx）+μ（cosβsinx+sinβcosx）=λsin（x+α）+μsin（x+β），

充分性：

h（x）=λsin（x+α）+μsin（x+β）≤λ+μ，当且仅当存在x0使得：

时，等号成立，其中k1，k2∈Z，