2025-2026学年陕西省汉中市勉县仁德学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省汉中市勉县仁德学校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设集合A={1，3，5，7}，B={x|x2＜10}，则A∩B=（）A.{0，2} B.{1，3} C.{5，7} D.{1，3，5，7}2.设，则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知集合A={a,0，1}，B={x∈R|x2≤1}，则“a=-1”是“A⊆B”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件4.设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=S8，则a6=（）A.8 B.6 C.3 D.05.已知函数，则f（x）（）A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数6.已知角α的终边经过点P（-1，2），则=（）A. B. C. D.7.函数f（x）=xsinx的图象在处的切线方程为（）A. B. C.y=x D.8.已知数列{an}满足，则下列结论中不正确的有（）A.为等比数列 B.{an}的通项公式为

C.{an}为递增数列 D.的前n项和二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则下列结论正确的是（）A.0≤x≤1 B.xy的最大值是

C.x2+y2的最小值是 D.的最小值是10.已知等比数列{an}中，满足a1=1，q=3，Sn是{an}的前n项和，则下列说法正确的是（）A.数列{a3n}是等比数列

B.数列是递减数列

C.数列{log3an}是等差数列

D.数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列11.已知函数，其导函数为f′（x），则（）A.直线y=-2x是曲线y=f（x）的切线

B.f（x）有三个零点

C.f′（2-x）=f′（x）

D.若f（x）在区间（a,a+4）上有最大值，则a的取值范围为（-4，0）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量=（l，2），=（x，-2），且丄（-），则实数x=______．13.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=1，B=60°，△ABC的面积，则b=

.14.已知函数f（x）对于任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），且当x≤1时，f（x）=.若函数g（x）=m|x|-2-f（x）恰有3个零点，则m的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求A，ω的值；

（2）求f（x）的单调增区间；

（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16.(本小题15分)

某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数；

（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于[50，90）的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率.17.(本小题15分)

如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．

（1）求证：EM⊥AD；

（2）求二面角A-BE-C的余弦值；

（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.(本小题17分)

已知数列{an}中，a1=1，

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设数列{bn}满足：，求{bn}的前n项和Tn．19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ax-2lnx.

（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；

（2）试讨论函数f（x）的单调性；

（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ABC

11.【答案】BC

12.【答案】9

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）根据函数的部分图象，

可得A=2，•=-，∴ω=2．

（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，

求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（3）在区间上，2x+∈[0，]，故当2x+=0时，函数f（x）取得最小值为2sin0=0；

当2x+=时，函数f（x）取得最小值为2sin=2．

16.【答案】a=0.01

93分

17.【答案】证明：（1）∵EA=EB，M是AB的中点，

∴EM⊥AB，

∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，

∴EM⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，

∴EM⊥AD．

解：（2）∵EM⊥平面ABCD，MC⊂平面ABCD，

∴EM⊥MC，

菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，

∴MC⊥AB．

∴MB、MC、ME两两垂直．

建立如图所示空间直角坐标系M-xyz．

则M（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），

E（0，0，），=（-1，，0），=（-1，0，），

设=（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，

则，

令z=1，得=（），

∵y轴与平面ABE垂直，

∴=（0，1，0）是平面ABE的一个法向量．

cos＜＞===，

∴二面角A-BE-C的余弦值为．

（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°．

=（1，0，），=（0，），

设==（0,，-），（0≤λ≤1），

则=，

∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，

∴sin45°=|cos＜＞|=​​​​​​​

​​​​​​​==，

由0≤λ≤1，解得，

∴在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，且=．

18.【答案】（12分）

证明：（1）∵a1=1，，

∴，∴，…（2分）

又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列．

…（4分）

解：（2）∵数列是首项为1，公差为3的等差数列，

∴，

∴；

…（6分）

（3）∵…（7分）

∴…+（3n-5）×2n-1+（3n-2）×2n…（8分）

+…+（3n-5）×2n+（3n-2）×2n+1…（9分）

∴…+3×2n-（3n-2）×2n+1…（10分）

=

=2-12+3×2n+1-（3n-2）×2n+1

=-10+（5-3n）×2n+1…（11分）

∴．…（12分）

19.【答案】解：（1）当a=1时，则f（x）=x-2lnx,

可知f（x）的定义域为（0，+∞），且，

令f′（x）＜0，解得x∈（0，2）；令f′（x）＞0，解得x∈（2，+∞），

可知f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞），

所以函数f（x）的最小值为f（2）=2-2ln2．

（2）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），且，

当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，

所以f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间．

当a＞0时，令f′（x）=0解得，

令f′（x）＜0，解得；令f′（x）＞0，解得，

所以f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；

综上所述：当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间；

当a＞0时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．

（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a-1恒成立，

即ax-2lnx＜（x-2）lnx+2x+a-1，整理可得，

原题意等价于对任意x＞1恒成立，

令，

则，

令h（x）=x-lnx-2，x＞1，则，

所以h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，

因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，

所以h（x）在区间（1，+∞）内存在唯一零点x0∈（3，4），

即