【船舶动力轴振动信号盲源分离基本理论综述4100字】

船舶动力轴振动信号盲源分离基本理论综述目录TOC\o"1-3"\h\u18280船舶动力轴振动信号盲源分离基本理论综述 1169531.1盲分离基本模型 1308311.1.1线性瞬时混合模型 198551.1.2线性卷积混合模型 272051.1.3非线性混合模型 297001.2盲信号分离的基础知识 3189481.2.1概率密度函数 3218261.2.2期望和矩 3229391.2.3高阶统计量 4295701.2.4梯度 695731.2.5估计理论 7296021.2.6信息理论 9299961.2.7迭代方法 11盲分离基本模型盲源分离方法大体可分为线性BSS和非线性BSS，按信号的混叠类型可以分为瞬时混叠BSS和卷积混叠。线性瞬时混叠是最基础的一种类型。鉴于目前观测信号数比源信号数少，下面仅介绍观测信号数等于源信号数的情况。线性瞬时混合模型假定源信号为，。观测信号为，。各信号组分相互独立统计。则观测信号是观测信号源信号的线性组合。 (2.1)而是混合矩阵，，。向量的形式为： (2.2)上述线性瞬时混合模型简化为三个源信号和三个观测信号后可以用图2-1表示。图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s11三源线性瞬时混合模型线性卷积混合模型线性瞬时混合模型仅适用于尺寸比较小，刚度比较大的机械系统。然而实际上，适用于大多数机械系统的振源混合模型为线性卷积混合模型。假设源信号为，。观测信号为，。信号分量之间相互统计独立。观测信号则是观察源信号的线性卷积组合。 (2.3)其中，为卷及运算符，是源信号到传感器的脉冲响应。式(2.3)可表示为： (2.4)是一个大小为的FIR矩阵，可以表示为： (2.5)其中是维列向量，表示阶FIR滤波器。当时模型变为线性瞬时混合模型。以两源线性卷积混合为例，其模型如图。 (2.6)非线性混合模型随时间推移逐步进行研究，研究人员发现工程应用中的线性系统并非完全线性，而是近似线性。这导致线性模型的盲源分离方法对于实际应用的匹配性较差，非线性混合模型可以更好的适配实际问题，近年来得到极大关注。其数学表达式为 (2.7)其中，是混合信号，是源信号，为加性噪声，大小均为维。为未知的可逆实值非线性混合函数。这种模式的盲源分离思想与线性混合模式略有不同。其基本思想是找到一组映射使得观测信号等于源信号。以三源后非线性混合模型为例，不考虑加性噪声的情况下，其模型如图2-2。图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s12三源后非线性混合模型盲信号分离的基础知识概率密度函数假定一个连续的随机变量为，其在处的累积分布函数(cdf)是的概率： (2.8)在上式中，当时，当时，。我们通常使用cdf的导数，即，用概率密度函数(pdf)来描述一种形式的概率分布： (2.9)期望和矩实际分析某随机变量或向量的概率分布时，由于其准确概率密度函数是未知的，我们可以通过取该随机变量的某个函数的期望来估计。数学中定义的期望为： (2.10)其中是随机变量导出的任意一个向量或者矩阵。若，则得到的期望。矩是描述随机变量的一种典型期望，由随机变量的分量的乘积构成，其形式为： (2.11)其中，是的均值向量，由组成。 (2.12)由于随机变量的分量数目和具体数值无法知道，实际计算期望时，取的已知个样本的()的平均。 (2.13)应用于典型的期望均值向量，这就是样本平均(2.14)。 (2.14)高阶统计量二阶统计量在信号处理的基本方法中起着重要作用。但是对于盲源分离这种可能存在非高斯、非线性、非平稳的系统来说，必须采用高阶统计量方法。（1）峭度假设有一个随机变量，它的第阶矩可定义为以下形式的期望： (2.15)其中，为正整数。为的概率密度函数。同理可得的第阶中心矩： (2.16)其中，为的均值，一阶矩等于。当时，，表示平方的平均，即为的方差。当均值为0时，峭度可定义为： (2.17)由于它的方差为1，所以可以得到白化数据。上层可以写为(2.18)。 (2.18)峭度有一个重要特性，就是对于随机变量，若其峭度为零，则说明具有高斯分布。也就是，高斯变量的四阶矩不等于0。峭度为大正时，是一种超高斯分布；峭度为负时，是一种次高斯分布。（2）累积量和累积矩高阶累积量可以衡量一个随机向量与具有相同均值向量和协方差的高斯随机向量之间的偏差。盲分离过程中，需要对混合在非高斯信号中的加性高斯噪声进行分离，这个性质可以帮助我们较好地提取到非高斯信号。假定实值随机变量为0均值，定义其第一特征函数为 (2.19)其中是的概率密度函数，，是的变换变量。该过程实际上就是对连续傅里叶变换。每一个特征函数对应一个惟一的概率分布。把本函数展开成泰勒级数得： (2.20)系数项是矩。累积量生成函数也叫第二特征函数。其数学形式为 (2.21)第二特征函数得泰勒级数展开系数对应得矩就是得累积量，即： (2.22)由此式可求出累积量的表达式： (2.23)当随机变量均值为0时，可以得到： (2.24)由此扩展到非零均值情况可以看出，矩和累积量包含相同信息梯度估计适当的分离矩阵，是盲源分离的主要工作之一，通过就可以分离出源信号。由于我们不可能把分离矩阵写成观测信号的某个确定函数，所以我们必须借助基于代价函数(对比函数或目标函数)方法求解。求解分离矩阵就转化为求一定约束条件下代价函数在极大或极小值处的取值。（1）向量梯度假设一个标量值函数，其中列向量记为。如果可微，那么它关于的向量梯度就是的维偏导数。可以表示为： (2.25)其中，记为梯度的缩写，也可以记为或者。（1）矩阵梯度在盲源分离中我们碰到的往往求是维的矩阵得梯度，此时需将标量值函数的向量梯度推广到矩阵梯度。假设一个维的矩阵的标量值函数。矩阵式梯度可以记为(2.26)。 (2.26)矩阵梯度与矩阵维数相同。估计理论求解适当的分离矩阵是盲源分离中的重要工作之一。这个过程中必然会借助估计理论的相关概念。不同情况下，对于一组有限个含噪声的不确定测量中包含的估计量，它可能是时变的或者非随机的等一系列可能的情况，所以此处主要讨论参数时不变的情况下在线性数据模型中的估计量的估计方法。假设有个包含个待估计量的标量测量值，我们把这些待估计量称为参数并把它们组合成维的参数向量。将测量值组合成测量矢量。 (2.27) (2.28)参数向量的估计器可以记为，其形式为： (2.29)或者 (2.30)我们可以将估计误差定义为(2.31)，用来判断估计精度。 (2.31)当满足时，估计器是理想的。然而实际情况不可能满足如此条件，此时估计器满足无偏性和一致性即可。实际选择估计器时还需要考虑其有效性和鲁棒性。（1）估计方法之矩方法假定一个样本有个统计独立标量数据，所有样本都具有相同得概率分布，其中是待估计量。定义此概率分布下的阶矩为： (2.32)将由样本估计的矩定义为样本矩(2.33)。 (2.33)使样本理论矩等于样本估计矩，此时样本矩和理论矩组成有个未知数的个方程，将解记为 。（2）估计方法之线性最小二乘法假定测量的样本满足线性模型： (2.34)其中，是已知的维矩阵，是维参数向量，是测量误差或者噪声组成的向量，。此处考虑测量数据样本长度大于参数的数量，即的情况。由模型可以看出，当其误差极小化时我们可以得到一个近似解。此处采用最小二乘准则(2.35)。 (2.35)当误差时,，关于参数对判据极小化，得到最小二乘法估计的正规方程： (2.36)由于矩阵满秩，可求得估计器为： (2.37)（3）估计方法之极大似然(ML)估计法极大似然估计方法和前面叙述的两种方法的目标是一样的，即寻找矩阵使估计信号与源信号的pdf近似一致。当数据样本数量很多时，ML估计法相比其他估计法能得到更为满意的估计。构造参数的似然函数(2.38)。 (2.38)假设观测量之间统计独立，则似然函数可以写成： (2.39)为了便于计算，对似然函数采用对数似然函数的对数形式(2.40)。 (2.40)由于需要寻找区间内的绝对极大值，对数似然函数在处梯度为0。极大似然估计器可以通过解由个参数组成得对数似然个对数似然方程获得。 (2.41)信息理论在不借助计算机的情况下，盲源分离中许多问题由于计算量过大，我们无法实现。把盲源分离问题转化成计算机计算的问题，我们就可以较快分析出盲源分离问题的解。而信息论知识解决的就是在计算机中分离信号独立程度的度量问题。信息理论基础上的盲源分离方法更为稳定。（1）熵信息理论中的熵被用来测量信号携带的平均信息量。假设有一个离散的随机变量可以表示为，熵可以定义为以下形式： (2.42)其中，表示在处的概率密度函数，对数的基底可取多个值，只对度量的尺寸产生影响故后面不在提及。还可表现为期望的形式(2.43)。 (2.43)我们可以根据熵的定义构建一个函数： (2.44)上式中，。该函数图像如图2-3。图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s13熵函数可以看出，该非负函数在两端点取值为0，中间取值较大。普通分布的熵值见表2-1。表STYLEREF1\s2SEQ表\*ARABIC\s11常见分布的熵分类概率密度函数熵函数均匀分布一维高斯分布多维高斯分布表中，是的协方差矩阵，是的行列式。均布A值越大，熵越在所有均值和方差都一定的情况下，高斯分布使达到最大。（2）互信息用互信息来测量一个维随机变量中的任意个随机变量分量之间的相关性。互信息(2.45)的定义是基于熵的。 (2.45)其中，是的边缘熵，是的联合熵。还可以根据Kullback-Leibler(KL)散度定义互信息： (2.46)如果联合密度函数和边缘密度函数相等，则其值为0，则中各变量之间是独立的，这也是盲源分离中需要使用的一个重要特性。（3）负熵由于在BSS问题中，满足独立分布的源信号具有非高斯型，满足高斯分布的混叠信号具有较强的高斯性。衡量任意分布和高斯分布之间的偏离程度可以转换为任意源信号的非高斯型。负熵指示器可以用来检验非高斯性。。定义负熵为 (2.47)其中，是一个高斯随机向量，它和随机变量有相同协方差矩阵。为了方便度量，基于KL散度考察非高斯性，负熵可定义为： (2.48)不难看出上式就是KL散度定义下的互信息。所以可以得出结论，负熵为非负值，负熵最大时源信号源信号间非高斯性最大，互信息最大；负熵为0时两个随机向量都是高斯分布，互信息为0迭代方法求解代价函数极大或者极小值的过程由迭代方法完成，常用迭代方法有两种，固定点迭代方法和牛顿迭代方法。（1）定点迭代方法固定点迭代采用逐次逼近的方法求解一元非线性方程的根。假定一个非线性方程为： (2.49)将上式转换为迭代式： (2.50)如果此显式方程存在实数解使得，则为的一个固定点。选取一个随机初始值，带入迭代公式得： (2.51)迭代式会将通过函数得到的值赋给下一个，第次计算的迭代值为： (2.52)若迭代值满足： (2.53)证明了迭代式的函数收敛，且定点为一元非线性方程的根。设定收敛门限后，此根其实是近似根。（2）牛顿迭代方法以泰勒级数展开为基础，提