第二章　§2.6　指数与指数函数

第二章

§2.6指数与指数函数1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识

aa

0ar+sarsarbr4.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是

.R(2)指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域___值域_________R(0，+∞)

a>10<a<1性质过定点

，即x=0时，y=1当x>0时，

；当x<0时，_______当x<0时，

；当x>0时，_______

函数

函数(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增减

自主诊断××√×2.给出下列函数，其中为指数函数的是A.y=x4

B.y=xxC.y=πx

D.y=-4x√解析因为指数函数的形式为y=ax(a>0且a≠1)，所以y=πx是指数函数，即C正确；而A，B，D中的函数都不满足要求，故A，B，D错误.

√

f(x)=2x(答案不唯一)

微点提醒(2)任意两个指数函数的图象都是相交的，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b.微点提醒返回2.谨防一个失误点讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.探究核心题型

题型一指数运算

(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.思维升华

√√√

75例2

(1)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则A.a>1 B.0<a<1C.b>1 D.0<b<1题型二

指数函数的图象及应用√√解析观察图象得，函数f(x)=ax-b是减函数，因此0<a<1，设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1，又y0=f(0)=1-b，于是得0<1-b<1，解得0<b<1，所以0<a<1，0<b<1.

√√√

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.思维升华跟踪训练2

(1)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=mx-n的图象不经过A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√解析由已知条件得当x=2时，f(2)=2，则函数f(x)的图象恒过点(2，2)，即m=2，n=2，此时g(x)=2x-2，由于g(x)的图象由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到，且过点(0，-1)，由此可知g(x)的图象不经过第二象限.(2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是

.

(0，2)解析在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.∴实数b的取值范围是(0，2).例3

(2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则A.a<b<c

B.a<c<bC.b<c<a

D.c<a<b√命题点1比较指数式的大小题型三指数函数的性质及应用解析因为函数y=1.1x单调递增，所以1=1.10<1.10.2<1.10.3，故1<b<c，又函数y=0.3x单调递减，所以a=0.30.2<0.30=1，所以a<b<c.例4

(2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为

.

命题点2解简单的指数方程或不等式

(-∞，0]

命题点3指数函数性质的综合应用

(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.思维升华

√

(2)若关于x的方程4x-a·2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

.

(4，+∞)

微拓展

微拓展

微拓展

微拓展√√√解析方法一

对于A，由条件③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)，令x=0，y=1，得f(1)=f(0)f(1)，又由条件②得f(1)>1，∴f(0)=1，A错误；对于B，∀x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)=f(x1)-f(x1)f(x2-x1)=f(x1)[1-f(x2-x1)］，∵0≤x1<x2，∴f(x1)≥1，x2-x1>0，∴f(x2-x1)>1，1-f(x2-x1)<0，

解析方法二

对于A，由条件③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)，令x=0，y=1，得f(1)=f(0)f(1)，又由条件②得f(1)>1，∴f(0)=1，故A错误；对于B，D，由当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)知，当x≥0时，函数f(x)=ax(a>1)满足②③，此时，f(x)在[0，+∞)上单调递增，f(x)在[0，+∞)上的值域为[1，+∞)，所以f(x)在[0，+∞)上无零点，又f(x)为偶函数，所以f(x)无零点，故B，D错误；C解析同方法一.返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案CADDCAABDBCD题号9101314答案AAB答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131412.(1)令t=2x>0，g(t)=t2+2kt+1，t>0，则g(t)的图象开口向上，且对称轴为直线t=-k，当-k≤0，即k≥0时，g(t)在(0，+∞)上单调递增，由t=2x单调递增可知f(x)单调递增，此时f(x)无最值，不满足题意；当-k>0，即k<0时，g(t)在(0，-k)上单调递减，在(-k，+∞)上单调递增，所以f(x)min=g(t)min=g(-k)=-k2+1=-3，可得k=-2(正值舍去).答案123456789101112131412.

一、单项选择题1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为A.[2，8] B.[1，8]C.[0，8] D.[-1，8]√1234567891011121314答案知识过关解析由题意x∈[-1，2]，所以|x|∈[0，2]，y=3|x|-1∈[0，8].

1234567891011121314√答案

√1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案解析对于D，依题意，存在x∈(-∞，0]满足a<-x2+3x，令f(x)=-x2+3x，x∈(-∞，0]，因为y=-x2与y=3x在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)max=f(0)=1，所以a<1，即a的取值范围是(-∞，1)，D正确.1234567891011121314答案

10.已知函数f(x)=|ax-1|(a>0，且a≠1)，若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是

.

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案解析y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移一个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a>1和0<a<1两种情况分别作图，如图所示，

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案12.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R.(1)求实数k的值；解令t=2x>0，g(t)