第二章　§2.11　函数与方程的综合应用

第二章

§2.11函数与方程的综合应用函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.重点解读

√题型一由零点分布求值(范围)命题点1二次函数的零点分布√√

例2

(2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin

πx(x∈R)的所有零点之和为A.9

B.10

C.11

D.12√命题点2其他函数的零点分布

对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手(1)开口方向；(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值.思维升华

√(2)已知函数f(x)=x|2x-a|.若存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为A.(2，4) B.(4，8)C.(2，8) D.(2，4)∪(4，8)√

题型二复合函数的零点√命题点1复合函数的零点个数判定解析设f(x)=t，则f(t)=0，当t≤0时，t2+t-2=0，解得t=-2或t=1(舍去)，则t=-2；当t>0时，-1+ln

t=0，解得t=e.画出函数y=f(x)，y=-2，y=e的大致图象，如图所示，由图象可知，y=f(x)与y=-2有3个交点，y=f(x)与y=e有2个交点，所以函数y=f(f(x))的零点个数为5.

命题点2根据复合函数零点求参数√√

对于复合函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)；(3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an.思维升华

√解析由题意，令[f(x)]2-5f(x)+6=0，解得f(x)=2或f(x)=3，作出y=f(x)的大致图象，如图，由图可知，直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点，直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解，即函数y=[f(x)]2-5f(x)+6有7个零点.(2)已知函数f(x)为定义在(0，+∞)上的单调函数，且f(f(x)-log2x-2x)=3，若函数g(x)=f(x)-a在(1，2)内有唯一零点，则实数a的取值范围是

.(3，6)

课时精练对一对答案12345678题号1234567答案DDBAABCBD题号8答案4

√

12345678答案

12345678√答案12345678答案

12345678答案√

√12345678答案12345678答案

12345678答案二、多项选择题5.(2025·贵阳模拟)关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是A.0

B.-1

C.1

D.-2√√√12345678答案

12345678答案

12345678答案

√√

12345678答案12345678答案三、填空题7.(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个