第九章　§9.2　用样本估计总体

第九章

§9.2用样本估计总体考试要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识

p%大于或等于

中间平均数最多

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(

)(2)方差与标准差具有相同的单位.(

)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(

)(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(

)自主诊断××√√2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是A.平均数 B.众数C.百分位数 D.标准差√解析标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确.3.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为A.8 B.9 C.12 D.18√

4.(2025·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a+b=

.10

微点提醒返回

探究核心题型例1

(1)(多选)已知某市连续七天的日平均气温(单位：℃)分别为28，25，27，26，25，23，28，则这组数据的A.平均数为26 B.方差为3C.中位数为26 D.第80百分位数为25√题型一样本数字特征的估计√

亩产量[900，950)[950，1

000)[1

000，1

050)[1

050，1

100)[1

100，1

150)[1

150，1

200)频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是A.100块稻田亩产量的中位数小于1

050

kgB.100块稻田中亩产量低于1

100

kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200

kg至300

kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900

kg至1

000

kg之间(2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：√

计算一组n个数据第p百分位数的步骤思维升华跟踪训练1

(1)(多选)(2025·佳木斯模拟)下列说法正确的是A.一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数

得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，

2x10-1的标准差为16√√

(2)若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是

；中位数是

.9692.5

例2

某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比例)；题型二总体集中趋势的估计解由频率分布直方图的性质，可得(a+0.004+0.013+0.014+0.016)×20=1，解得a=0.003.本次考试的及格率约为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%.例2

某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

例2

某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.解由题图可得，众数的估计值为100.平均数的估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6.频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.思维升华跟踪训练2

某市为了研究高三学生在全市质检中的数学成绩的情况，从全市16

000名学生中随机抽取了1

600名学生的数学成绩作为样本(成绩均在[70，140]内)，将所得的成绩分成七组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，得到频率分布直方图如图所示.解由题意知(0.012+0.018+0.028+a+0.010+0.008+0.002)×10=1，解得a=0.022，所以该市数学成绩落在区间[90，110)内的频率为(0.028+0.022)×10=0.5，估计该市数学成绩落在区间[90，110)内的学生人数是16

000×0.5=8

000.(1)求a的值，并估计该市数学成绩落在区间[90，110)内的学生人数；跟踪训练2

某市为了研究高三学生在全市质检中的数学成绩的情况，从全市16

000名学生中随机抽取了1

600名学生的数学成绩作为样本(成绩均在[70，140]内)，将所得的成绩分成七组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，得到频率分布直方图如图所示.(2)估计本次考试全市数学成绩的中位数(精确到0.01)和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表).

例3

(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10).试验结果如下：题型三总体离散程度的估计试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536

例3

(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10).试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.思维升华跟踪训练3

(2025·大庆模拟)从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155

cm和195

cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率，并求出样本中位数；

跟踪训练3

(2025·大庆模拟)从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155

cm和195

cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(2)已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平

均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高总体数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差.返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案CADCABBDABD题号9101314答案6CC

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

一、单项选择题1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的A.极差 B.平均数

C.中位数

D.众数√1234567891011121314答案知识过关2.(2025·武汉模拟)在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为A.5，8 B.6，8 C.5，7 D.6，71234567891011121314√答案

3.(2025·南平模拟)如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是A.图(1)中平均数<中位数=众数B.图(2)中平均数<众数<中位数C.图(2)中众数<平均数<中位数D.图(3)中平均数<中位数<众数解析对于图(1)，平均数=中位数=众数，故A错误；对于图(2)，众数<中位数<平均数，故B，C错误；对于图(3)，平均数<中位数<众数，故D正确.√1234567891011121314答案4.(2026·成都模拟)在某次射击比赛中，甲、乙两人在决赛中14次射击环数如图，则A.甲的平均射击环数超过10.6B.乙射击环数的第80百分位数

为10.65C.甲射击环数的标准差小于乙

射击环数的标准差D.乙射击环数的极差小于甲射击环数的极差√1234567891011121314答案1234567891011121314答案解析由题知，甲的射击环数只有2次10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以甲平均射击环数低于10.6，故A错误；将乙的射击环数从小到大排列为9.7，10，10.2，10.3，10.3，10.4，10.4，10.4，10.5，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，由于14×0.8=11.2，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误；由于乙的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确；乙射击环数的极差为10.8-9.7=1.1，甲射击环数的极差为10.8-10.3=0.5，故D错误.5.(2025·六安模拟)某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用按比例分配的分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为A.168，35 B.168，20C.169.6，35 D.169.6，20√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

6.(2025·海口模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是A.中位数不变B.若x1=1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5C.平均数不变D.方差变小√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案二、多项选择题7.(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差1234567891011121314答案√√

1234567891011121314答案8.某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是A.a=0.010B.估计该校学生数学竞赛成绩的众数

为75C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80D.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[70，80)内1234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案解析由于组距为10，所以有a+0.020+0.035+0.025+a=0.1，得a=0.010，故A正确；数学竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值75作为众数的估计值，故B正确；[50，60)，[60，70)两组的频率之和为0.3，[70，80)的频率为0.35，所以中位数一定落在[70，80)内，小于80，故C错误；0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95=75.5，落在[70，80)内，故D正确.

61234567891011121314答案

10.已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为

.

1234567891011121314答案

分数[90，92)[92，94)[94，96)[98，100]频数10102020(1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；四、解答题11.第8届中国-南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2

000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表：1234567891011121314答案

分数[90，92)[92，94)[94，96)[98，100]频数10102020(2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).11.第8届中国-南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交