第九章　§9.3　成对数据的统计分析

第九章

§9.3成对数据的统计分析考试要求1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型、2×2列联表及独立性检验，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类：

和

.(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.正相关负相关

正相关负相关强弱

观测值预测值XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d4.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：

自主诊断××√√

√√

3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为A.男性喜欢参加体育活动B.女性不喜欢参加体育活动C.喜欢参加体育活动与性别有关D.喜欢参加体育活动与性别无关√解析独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果χ2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关，所以想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关.

23.4

色差x21232527色度y15181920微点提醒返回

探究核心题型例1

(1)(多选)对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论正确的是A.图1、图2两组数据都具有线性相

关关系B.图1数据正相关，图2数据负相关C.图1样本相关系数r1小于图2样本

相关系数r2D.图1样本相关系数r1和图2样本相关系数r2的和小于0√题型一成对数据的相关性√√解析对于A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确；对于B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，B正确；对于C，图1正相关，则r1>0，图2负相关，则r2<0，C不正确；对于D，因为图2相关程度更强，所以|r2|>|r1|，所以r1+r2<0，D正确.

√

思维升华

√√√

命题点1一元线性回归模型例2

(2025·龙岩模拟)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示.(1)根据表中的数据，计算样本相关系数r；特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887

题型二回归模型

例2

(2025·龙岩模拟)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示.(2)求特征量y关于x的经验回归方程，并预测当特征量x为12时，特征量y的值.特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887

例3

某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记w=lnx.参考数据：命题点2非线性回归模型

290102.4524

870540.281371

578.2272.1(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dlnx哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；解根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y=c+dlnx更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型.(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；参考数据：

290102.4524

870540.281371

578.2272.1

(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量.

求经验回归方程的步骤思维升华跟踪训练2

(2026·泉州模拟)某科技团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入(单位：百万元)的数据如表.月份编号x1234567收入y(百万元)611213466101196(1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，y=ax+b与y=c·dx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份编号x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；参考数据：100.45100.5443510.782

53550.122.823.47

解析散点图如图所示，根据散点图判断，y=c·dx适宜作为该团队经济收入y关于月份编号x的回归方程模型，∵y=c·dx，两边同时取对数得lgy=lg(c·dx)=lgc+lgd·x，设v=lgy，∴v=lgc+lgd·x，

跟踪训练2

(2026·泉州模拟)某科技团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入(单位：百万元)的数据如表.月份编号x1234567收入y(百万元)611213466101196(2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；

跟踪训练2

(2026·泉州模拟)某科技团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入(单位：百万元)的数据如表.月份编号x1234567收入y(百万元)611213466101196(3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？解不合理，回归方程一般具有时效性，解释变量接近样本数据时，预测值比较可信，否则会有显著误差.例4

(2025·全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1

000人，得到如下列联表.题型三列联表与独立性检验超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001

000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；

例4

(2025·全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1

000人，得到如右列联表.

超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001

000α0.050.0100.001xα3.8416.63510.828

思维升华跟踪训练3

(2025·绵阳诊断)近年来，随着深入贯彻新时代强军思想，越来越多的优秀青年学子献身国防，投身军营，高考结束后，很多高考毕业生报考了军事类院校.从某地区学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；

有报考意向无报考意向合计男学生

女学生

合计

解根据已知条件，填写2×2列联表如下.

有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900

α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案AACCDDBDABC题号9101314答案3465%不能BBD

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.x123451226405468

答案123456789101112131412.一、单项选择题1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量B.正方形的面积与边长C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分√1234567891011121314答案知识过关1234567891011121314答案解析一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A正确；正方形的面积与边长是函数关系，故B错误；一般情况下，若花费在体育活动上的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不为正相关，故C错误；期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D错误.2.(2025·临夏模拟)已知10个成对数据(x，y)的散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析.若在此图中去掉点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是A.样本相关系数r变大B.变量x与y的线性相关程度变弱C.样本相关系数r变小D.变量x与y负相关1234567891011121314√答案解析去掉点P后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量x与y的线性相关程度变强，故B错误；由散点图可知，点的分布从左下角到右上角，故变量x与y正相关，故D错误；因为变量x与y正相关，且线性相关程度变强，所以样本相关系数r变大，故A正确，C错误.1234567891011121314答案

年份201820192020202120222023年份代码x123456中国数字经济规模y31.335.839.245.550.253.9√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

优秀非优秀合计甲班10b

乙班c30

合计

附：α0.0500.0250.0100.005xα3.8415.0246.6357.879

优秀非优秀合计甲班10b

乙班c30

合计

A.列联表中c的值为30，b的值为35B.列联表中c的值为15，b的值为50C.由列联表中的数据，根据小概率值α=0.025的独立性检验，能认为“成

绩与班级有关系”D.由列联表中的数据，根据小概率值α=0.025的独立性检验，不能认为

“成绩与班级有关系”√1234567891011121314答案附：α0.0500.0250.0100.005xα3.8415.0246.6357.8791234567891011121314答案

x12345y0.50.911.11.5√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案x22.533.54z4.044.013.983.963.911234567891011121314答案

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

1234567891011121314答案α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍D.根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性

别有关1234567891011121314答案√√由表可知，A显然错误；性别锻炼情况合计经常锻炼不经常锻炼男483280女4060100合计8892180解析设男生人数为x，则女生人数为x+20，由题意得x+x+20=180，解得x=80，即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2列联表，1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

气温x(℃)1062-2售出热饮的杯数y24■4248

1234567891011121314答案34

1234567891011121314答案

10.(2025·沈阳模拟)已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两个小组，经过统计得到如下2×2列联表.1234567891011121314答案65%

去云南旅游去河南旅游合计东小组6040100西小组7030100合计13070200α0.050.010.001xα3.8416.63510.828不能1234567891011121314答案

去云南旅游去河南旅游合计东小组6040100西小组7030100合计13070200α0.050.010.001xα3.8416.63510.828四、解答题11.为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据，如表所示.编号12345学习时间x(分钟/天)3040506070数学成绩y(分)65788599108(1)求数学成绩y与学习时间x的样本相关系数，是否能用线性回归模型进行拟合？(精确到0.001)1234567891011121314答案

α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281234567891011121314答案1234567891011121314答案

没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末在校自主学习253055合计601602201234567891011121314答案(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表.依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.1234567891011121314答案

1234567891011121314答案12.(2025·东莞模拟)在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去5天的订单数如下.日期x(天)12345订单数y(件)1321455566

1234567891011121314答案12345678910