第三章　进阶篇　不等式的证明方法　进阶3　极值点偏移(一)

第三章进阶篇不等式的证明方法进阶3极值点偏移(一)1.极值点偏移的定义极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性.例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标的两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移.2.从图形角度理解极值点偏移(x0为极值点，且x1<x2)(1)左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2x0.(2)左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0.(3)左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2x0.题型一对称化构造法(和型)

证明

即f(x)>f(2-x)(0<x<1)，令x=x1，则f(x1)>f(2-x1)，故f(x2)=f(x1)>f(2-x1)，又f(x)在(1，+∞)上单调递增，2-x1>1，所以x2>2-x1，故x1+x2>2.证明x1+x2>2x0的步骤(1)求极值点x0：求出函数f(x)的极值点x0，结合函数f(x)的图象，由f(x1)=f(x2)得出x1，x2的取值范围.(2)构造函数：对结论为x1+x2>2x0(x1<x2)的情况，构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x).①若F'(x)=f'(x)+f'(2x0-x)>0，则F(x)单调递增；②注意到F(x0)=0，则F(x1)=f(x1)-f(2x0-x1)<0，即f(x1)<f(2x0-x1)；③f(x2)=f(x1)<f(2x0-x1)，若f(x)在(x0，+∞)上单调递减，则x2>2x0-x1；④得到结论x1+x2>2x0.思维升华解

当a=1时，f(x)=ex-x2，定义域为R，求导得f'(x)=ex-2x，令h(x)=ex-2x，h'(x)=ex-2，当x∈(-∞，ln

2)时，h'(x)<0，f'(x)单调递减，当x∈(ln

2，+∞)时，h'(x)>0，f'(x)单调递增，所以f'(x)≥f'(ln

2)=2-2ln

2>0，所以函数f(x)=ex-x2在R上单调递增.跟踪训练1

(2026·佳木斯模拟)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).(1)当a=1时，判断函数f(x)的单调性；

跟踪训练1

(2026·佳木斯模拟)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).(2)已知函数f(x)有两个正零点x1，x2，且x1<x2，求证：x1+x2>4.

跟踪训练1

(2026·佳木斯模拟)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).(2)已知函数f(x)有两个正零点x1，x2，且x1<x2，求证：x1+x2>4.

跟踪训练1

(2026·佳木斯模拟)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R).(2)已知函数f(x)有两个正零点x1，x2，且x1<x2，求证：x1+x2>4.题型二对称化构造法(积型)例2

(2025·江苏联考)已知函数f(x)=xlnx+t在点(1，f(1))处的切线经过原点.(1)求t的值；解

因为f'(x)=ln

x+1(x>0)，所以f'(1)=1，因为f(1)=t，所以切线方程为y-t=x-1，即y=x+t-1.因为切线经过原点，所以0=0+t-1，所以t=1.

思维升华跟踪训练2

已知函数f(x)=(x+a)ex，直线y=2x+1是曲线y=f(x)的一条切线.(1)求a的值，并讨论函数f(x)的单调性；

跟踪训练2

已知函数f(x)=(x+a)ex，直线y=2x+1是曲线y=f(x)的一条切线.(1)求a的值，并讨论函数f(x)的单调性；解设g(x)=ex+2x-1，则g'(x)=ex+2>0，∴g(x)在R上单调递增，又g(0)=0，∴g(x)有唯一零点x=0，∴x0=0，∴a+1=2，解得a=1，∴f(x)=(x+1)ex，f'(x)=(x+2)ex，则当x∈(-∞，-2)时，f'(x)<0；当x∈(-2，+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增.跟踪训练2

已知函数f(x)=(x+a)ex，直线y=2x+1是曲线y=f(x)的一条切线.(2)若f(x1)=f(x2)，其中x1<x2，证明：x1x2>4.

跟踪训练2

已知函数f(x)=(x+a)ex，直线y=2x+1是曲线y=f(x)的一条切线.(2)若f(x1)=f(x2)，其中x1<x2，证明：x1x2>4.

跟踪训练2

已知函数f(x)=(x+a)ex，直线y=2x+1是曲线y=f(x)的一条切线.(2)若f(x1)=f(x2)，其中x1<x2，证明：x1x2>4.

跟踪训练2

已知函数f(x)=(x+a)ex，直线y=2x+1是曲线y=f(x)的一条切线.(2)若f(x1)=f(x2)，其中x1<x2，证明：x1x2>4.

课时精练答案121.

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2.

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答案121.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x2+ax(a∈R).(1)若函数y=f'(x)有两个零点，求a的取值范围；12答案

1.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x2+ax(a∈R).(1)若函数y=f'(x)有两个零点，求a的取值范围；12答案

1.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x2+ax(a∈R).(1)若函数y=f'(x)有两个零点，求a的取值范围；12答案解作出函数g(x)与直线y=a的大致图象，如图所示，要使二者有两个不同的交点，则a>2，故a的取值范围为(2，+∞).

12答案

12答案

12答案

解当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x