第四章　§4.6　正弦定理、余弦定理

第四章

§4.6正弦定理、余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理内容a2=_______________；b2=________________；c2=_______________

b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC定理正弦定理余弦定理变形2RsinB2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

2.三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在△ABC中，若sin

A>sin

B，则a>b.(

)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(

)(4)在△ABC中，若b2+c2-a2>0，则△ABC为锐角三角形.(

)自主诊断×√××

√

√

4.(2025·辽阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=4，则△ABC的面积为

.

微点提醒2.谨防两个易误点(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.微点提醒返回探究核心题型

√题型一利用正弦、余弦定理解三角形

√

思维升华

√√√

例2

(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是A.若a=2ccosB，则△ABC是等腰三角形B.若cosAcosBcosC>0，则△ABC是锐角三角形C.若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形D.若a-ccosB=acosC，则△ABC是等腰三角形或直角三角形题型二正弦定理、余弦定理的简单应用√命题点1三角形的形状判断√√

命题点2三角形的面积

思维升华跟踪训练2

(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sinBsinC，(b+c+a)(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形√

题型三与中线、角平分线、垂线有关的问题√√√

思维升华

√√

微拓展

微拓展3.中线长定理在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).典例

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线长为

.

微拓展7

微拓展

返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案AABBCCBDACD题号9101314答案1或5

ABD等腰直角三角形答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

√1234567891011121314答案知识过关

1234567891011121314√答案

√1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

5.(2026·吉林模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=7，a=4，D为边AB上靠近点B的三等分点，若CD2=19，则c等于A.4B.5C.6

D.7√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案1或51234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

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1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

能力拓展1234567891011121314答案