高中数学复数暑假预科精讲｜新年级新课提前学

1课程导入与复数的核心地位演讲人2026-06-13

课程导入与复数的核心地位01复数四则运算规则精讲02复数核心概念精讲03典型题型拆解与易错点梳理04目录

高中数学复数暑假预科精讲｜新年级新课提前学作为一名有着12年一线高中数学教学经验的教师，我每年都会带领准高二的同学在暑假完成复数模块的预科学习，深刻体会到提前搭建知识框架对新年级新课学习的核心价值：多数高中学校在高一下学期会安排平面向量、三角恒等变换、复数三个模块的教学，平均每个模块的新课教学时间不到一周，很多同学刚适应高中学习节奏，跟不上进度，没空抠透概念细节，很容易留下概念混淆、运算出错的漏洞，等到高三复习再回头补，反而要花费数倍的精力。而暑假预科的核心作用，就是把基础打牢，把易错点提前扫清，为开学后的学习减负。接下来我将从课程定位、核心概念、运算规则、题型梳理四个维度，由浅入深展开本次精讲。01ONE课程导入与复数的核心地位

1数域扩张的内在逻辑数的发展本质上是为了解决原有数域中无解的方程，从自然数到整数，是为了解决“x+1=0在自然数中无解”的问题；从整数到有理数，是为了解决“2x=1在整数中无解”的问题；从有理数到实数，是为了解决“x²=2在有理数中无解”的问题；而复数的诞生，就是为了解决“x²+1=0在实数中无解”的问题，这是数域扩张的必然结果，不是人为凭空构造的概念，理解这个逻辑，我们才能明白学习复数的意义。

2复数在新高考中的考察定位在新高考全国卷中，复数固定为第一道或第二道选择题，分值5分，属于标准的送分题，整体难度极低，核心考察概念辨析和基本运算；但从知识体系来看，复数是连接代数、几何与向量的重要节点，它的几何意义和运算规则可以和平面向量、解析几何联动，也是大学阶段复变函数、信号处理等内容的基础，入门基础是否扎实，直接影响后续相关内容的理解。

3暑假预科学习复数的必要性我曾做过统计，开学才学复数的同学，第一次模块小测的易错点重复率超过60%，很多同学因为赶进度，概念细节没抠透，高考的时候还会犯“把虚部当成bi”“纯虚数漏看虚部不为零”这类低级错误。暑假预科给了我们足够的时间拆解细节，提前踩坑避错，开学后只需要巩固提升，就能把节省出来的时间留给难度更高的三角恒等变换和向量，性价比非常高。02ONE复数核心概念精讲

1复数的定义与代数形式1.1虚数单位i的核心规定我们对虚数单位i有两个核心规定：第一，i²=-1；第二，实数可以和i进行四则运算，运算律和原来实数域的四则运算律保持一致。正是基于这两个规定，我们得到了复数的通用代数形式。

1复数的定义与代数形式1.2复数的代数形式与分类任何复数都可以写成z=a+bi（a,b∈R）的形式，其中a叫做复数z的实部，记为Re(z)=a，b叫做复数z的虚部，记为Im(z)=b。这里我要强调第一个高频易错点：虚部是实数b，不是bi，我每年改作业都能看到至少三分之一的新生在这里出错，一定要记清楚。根据虚部是否为0，我们可以把复数分为两类：（1）当b=0时，z=a是实数，全体实数构成复数集的子集，R⊂C；（2）当b≠0时，z=a+bi是虚数；如果进一步满足a=0且b≠0，那么z叫做纯虚数。举个例子帮大家理解：z=0，a=0,b=0，因此z=0是实数，不是纯虚数；z=2i，a=0,b=2≠0，因此z=2i是纯虚数；z=1+i，a=1≠0,b=1≠0，因此z=1+i是虚数，不是纯虚数。

1复数的定义与代数形式1.3复数相等的充要条件与大小比较规则如果两个复数z1=a+bi（a,b∈R），z2=c+di（c,d∈R），那么z1=z2的充要条件是a=c且b=d，也就是实部相等、虚部相等，这个结论是我们解复数方程、求参数的核心依据。这里要强调第二个易错点：只有两个复数都是实数的时候，才能比较大小；只要有一个是虚数，就不能比较大小。比如“i>0”“1<2i”都是错误命题，这是由数域的有序性公理决定的，复数域不满足有序性，因此不能比较大小。

2复数的几何意义2.1复数与复平面内点的一一对应我们建立直角坐标系来表示复数，这个平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。每一个复数z=a+bi都对应复平面内唯一的点Z(a,b)，反过来复平面内每一个点都对应唯一的复数，二者是一一对应的关系。这里又有一个高频考点：很多同学认为“虚轴上的点都是纯虚数”，这个命题是错的，因为原点(0,0)在虚轴上，对应z=0是实数，不是纯虚数，这个命题我在各种考试里见过无数次，大家一定要记准结论。

2复数的几何意义2.2复数与平面向量的一一对应复平面内，以原点O为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ，坐标就是(a,b)，和复数z=a+bi也是一一对应的关系，因此复数的运算可以和向量运算对应起来，这是复数数形结合的核心基础。

2复数的几何意义2.3复数模的定义与几何意义向量OZ的模就是复数z=a+bi的模，记为|z|，计算公式为|z|=√(a²+b²)，模长一定是非负实数。它的几何意义也很清晰：|z|就是复平面内点Z(a,b)到原点O的距离；对于两个复数z=a+bi，z1=a1+b1i，|z-z1|=√((a-a1)²+(b-b1)²)，几何意义就是点Z(a,b)到点Z1(a1,b1)的距离，这个结论是我们解决复数轨迹、最值问题的核心。03ONE复数四则运算规则精讲

1复数的加减运算1.1代数运算法则复数加减运算的规则非常简单：实部加实部，虚部加虚部，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，本质就是合并同类项，和整式加减逻辑一致。

1复数的加减运算1.2加减运算的几何意义复数加减的几何意义就是平面向量的加减，加法满足平行四边形法则，减法满足三角形法则，和我们之前学的向量运算完全一致，不需要重新记忆规则，只需要建立对应关系就可以。

2复数的乘法运算与共轭复数2.1乘法运算法则复数乘法和多项式乘法的规则一致，先展开，再把i²换成-1，最后合并同类项即可，公式为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。举个例子：(1+2i)(2-i)=2-i+4i-2i²=2+3i+2=4+3i，步骤非常清晰。

2复数的乘法运算与共轭复数2.2共轭复数的定义与核心性质如果两个复数实部相等，虚部互为相反数，我们就称这两个复数互为共轭复数，z=a+bi的共轭复数记为$\overline{z}$=a-bi。共轭复数有一个核心性质，是整个复数运算里最常用的结论：$z\overline{z}$=a²+b²=|z|²=|$\overline{z}$|²，这个结论我们做除法、算模长的时候都会用到，一定要牢牢记住。除此之外，共轭复数还有几个常用性质：$\overline{z_1±z_2}$=$\overline{z_1}$±$\overline{z_2}$，$\overline{z_1z_2}$=$\overline{z_1}$$\overline{z_2}$，$\overline{(\frac{z_1}{z_2})}$=$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$，这些性质会简化我们的运算过程。

3复数的除法运算3.1除法运算的核心思路：分母实数化复数除法的核心就是把分母变成实数，方法就是分子分母同时乘以分母的共轭复数，再利用$z\overline{z}$=|z|²化简即可。举个例子：计算$\frac{1+2i}{1-i}$，分母1-i的共轭复数是1+i，分子分母同乘1+i，得到$\frac{(1+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$=$\frac{1+3i+2i²}{1+1}$=$\frac{-1+3i}{2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}i$，结果就出来了。

3复数的除法运算3.2除法运算的常见易错点我在改作业的时候发现，新生做除法最常见的错误就是符号错：计算分母的时候，(c+di)(c-di)=c²-(di)²=c²-d²i²=c²+d²，很多同学会忘记把i²换成-1，直接算成c²-d²，结果符号全错，我给大家的建议是，预科阶段不要跳步，把换i²这一步写出来，熟练之后再跳步，避免不必要的丢分。

4虚数单位i的乘方周期性与常用结论4.1周期性规律总结我们计算i的连续次幂可以得到：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，以此类推，i的n次幂的周期是4，也就是i^(n+4)=i^n，因此计算高次幂的时候，只需要计算n除以4的余数，余数为1结果就是i，余数为2就是-1，余数为3就是-i，余数为0就是1，非常方便。比如i^2024，2024除以4余数为0，所以i^2024=1，直接出结果。

4虚数单位i的乘方周期性与常用结论4.2高频考察常用结论整理这里我给大家整理了几个高考小题经常用到的结论，记下来可以大幅提升解题速度：（1）(1+i)²=2i，(1-i)²=-2i；（2）$\frac{1+i}{1-i}$=i，$\frac{1-i}{1+i}$=-i；（3）ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}i$，满足ω³=1，1+ω+ω²=0，$\overline{ω}$=ω²。04ONE典型题型拆解与易错点梳理

1概念辨析类题型1.1命题判断类例题例：下列命题正确的是____。①虚数就是纯虚数；②复平面的虚轴就是y轴；③若z1z2=0，则z1=0或z2=0；④若a+bi=1+i，则a=1,b=1。解析：①错误，虚数包括纯虚数和非纯虚数；②正确，虚轴的定义就是y轴，原点在y轴上不影响定义；③正确，复数乘法的零因子性质就是乘积为零则至少一个因子为零；④错误，命题没有说明a,b是实数，因此不能直接得出a=1,b=1。所以正确命题是②③。

1概念辨析类题型1.2已知分类求参数类例题例：已知z=(m²-2m-3)+(m²-4m+3)i，m∈R，若z是纯虚数，求m的值。解析：纯虚数需要满足两个条件：实部为0，虚部不为0。因此先求实部：m²-2m-3=0，解得m=3或m=-1；再看虚部：m²-4m+3≠0，解得m≠1且m≠3；综上可得m=-1。这里我要再次强调，超过40%的新生会漏掉虚部不为零的条件，直接把m=3也写上，导致丢分，我们预科阶段就把这个坑踩过，以后就不会错了。

2运算化简类题型2.1基础四则运算化简例：计算$\frac{(1+i)(2-i)}{i}$。解析：先算分子：(1+i)(2-i)=2-i+2i-i²=3+i，再做除法：$\frac{3+i}{i}$=分子分母同乘-i，得$\frac{(3+i)(-i)}{-i²}$=1-3i，结果就是1-3i。

2运算化简类题型2.2利用性质简化运算的技巧如果我们记住常用结论，这道题可以更快：$\frac{(1+i)}{i}$=1-i，再乘以(2-i)就是(1-i)(2-i)=1-3i，10秒就能出结果，非常适合高考小题提速。

3几何意义应用类题型3.1模长计算类例：已知z=$\frac{1+i}{1-i}$，求|z|。解析：利用模的性质|$\frac{z1}{z2}$|=$\frac{|z1|}{|z2|}$，直接得到|z|=$\frac{|1+i|}{|1-i|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=1，不用算出z再算模，直接出结果。

3几何意义应用类题型3.2模长的几何意义应用例：若|z-1|=|z+1|，说明复数z对应的点的轨迹是什么？解析：|z-1|是z到点(1,0)的距离，|z+1|是z到点(-1,0)的距离，到两个定点距离相等的点的轨迹是两个点连线的垂直平分线，也就是y轴，也就是虚轴，直接得出结论，比代数推导快很多。

4全模块易错点汇总4.1概念类易错点215（1）虚部是实数b，不是bi；（2）纯虚数必须同时满足“实部为0，虚部不为0”两个条件，不能漏了虚部不为0；（5）复数相等的结论“实部相等、虚部相等”，前提是实部和虚部都是实数，否则不成立。4（4）只有实数能比较大小，虚数不能比较大小；3（3）虚轴上的点不都是纯虚数，原点是例外；

4全模块易错点汇总4.2运算类易错点（1）i²=-1，不要错写成1；（2）分母实数化后，分母是c²+d²，不要错写成c²-d²；（3）i的乘方周期是4，计算余数的时候不要算错；（4）复数的模是√(a²+b²)，不要漏掉根号，也不要把虚部的符号带入计算，模长一定是非负实数。以上我们从数域扩张的内在逻辑出发，逐次梳理了复数的核心概念、几何意