27.1 圆的有关性质 教案

27.1圆的有关性质教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标掌握圆的核心概念（圆心、半径、弦、直径、弧、等圆、等弧等），明确相关概念的区别与联系。熟练运用垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论，能进行相关计算与证明。理解圆的轴对称性，掌握圆内接四边形的性质，能解决与圆相关的综合问题。精通圆的性质相关题型的一题多解思路，结合中考真题规范解题步骤，提升几何推理与应试能力。二、教学重难点（一）教学重点垂径定理的应用与相关计算（一题多解）。圆心角、圆周角定理及推论的综合运用（技巧解题）。中考中圆的概念辨析、性质应用题型突破。（二）教学难点垂径定理应用中“弦心距、半径、弦长”的关系推导。复杂图形中圆周角与圆心角的关系转化。中考中圆与三角形、四边形结合的综合题型解题思路构建。三、教学过程（含考点考频、例题解析、中考链接）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：圆的定义：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合，确定圆的要素为圆心（定位置）和半径（定大小）。弦与直径：连接圆上两点的线段为弦，经过圆心的弦为直径（直径是最长弦）。弧的分类：小于半圆的为劣弧，大于半圆的为优弧，半圆既非劣弧也非优弧；同圆或等圆中能重合的弧为等弧。相关图形：圆心相同、半径不同的为同心圆；能够重合的圆为等圆（半径相等）；顶点在圆上且两边与圆相交的角为圆周角；顶点在圆心的角为圆心角。核心性质与定理：圆的对称性：圆是轴对称图形，任意直径所在直线为对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直于弦。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等（反之亦然）。圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角，90°圆周角所对的弦为直径。圆内接四边形性质：对角互补。关键解题工具：垂径定理常用模型：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可通过勾股定理求解。（二）考点考频及常考题型分析1.圆的概念辨析（考频：10年8考，必考基础题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空题，分值3分，难度低-中档。核心考查圆的相关概念（弦、直径、弧、等圆等）的区别与联系，常以辨析题形式出现。②常考题型题型：概念辨析题中考链接：（2022·湖南长沙统考中考真题）下列说法正确的是（）弦是直径B．半圆是弧C．优弧一定大于劣弧D．长度相等的弧是等弧答案：B解题核心：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径（A错）；半圆是弧的一种（B对）；同圆或等圆中优弧大于劣弧，不同圆中无法比较（C错）；等弧需满足“同圆或等圆中且能重合”，仅长度相等不成立（D错）。2.垂径定理应用（考频：10年10考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查垂径定理结合勾股定理的计算，常涉及弦长、半径、弦心距的求解。②常考题型题型：弦长与半径计算中考链接：（2023·浙江温州统考中考真题）在⊙O中，弦AB的长为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（）A．5cmB．6cmC．8cmD．√34cm答案：D解题核心：由垂径定理，弦长的一半为5cm，弦心距3cm，半径²=5²+3²=34，故半径为√34cm。3.圆心角与圆周角定理（考频：10年10考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查圆心角与圆周角的关系转化，常结合弧的关系进行角度计算。②常考题型题型：角度计算中考链接：（2024·山东青岛统考中考真题）AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠COD=70°，则∠CBD的度数为（）A．35°B．40°C．55°D．70°答案：A解题核心：同弧CD所对的圆心角∠COD=70°，圆周角∠CBD=½∠COD=35°。4.圆内接四边形性质（考频：10年7考，高频基础题）①考频分析考查频率高，以选择、填空题为主，分值3分，难度低-中档。核心考查圆内接四边形“对角互补”的性质，常结合角度计算考查。②常考题型题型：角度计算答案：B解题核心：圆内接四边形对角互补，故∠C=180°-80°=100°。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：垂径定理应用（基础题·一题多解）题目：赵州桥主桥拱为圆弧形，跨度（弦长）37m，拱高（弦心距的补）7.23m，求主桥拱的半径（结果保留一位小数）。解法1：勾股定理法（核心法）步骤：设半径为R，弦AB=37m，拱高CD=7.23m，OD=R-7.23m；由垂径定理，AD=½AB=18.5m；在Rt△AOD中，R²=AD²+OD²，即R²=18.5²+(R-7.23)²；展开解得R≈27.3m。核心依据：垂径定理拆分弦长，结合勾股定理建立方程求解。解法2：方程变形法（技巧法）步骤：设半径为R，由勾股定理得R²=18.5²+R²-2×7.23R+7.23²；消去R²，化简得2×7.23R=18.5²+7.23²；直接计算得R=(18.5²+7.23²)/(2×7.23)≈27.3m。核心依据：通过方程变形简化计算，避免重复展开R²项。技巧解题：垂径定理速记技巧技巧：“见弦必作弦心距，半径、半弦、弦心距，勾股定理来联系”，快速构建直角三角形模型。中考分析：考频：该类题型为中考中档题，每年必考。命题趋势：常结合实际建筑（如桥梁、拱门）考查，核心是垂径定理与勾股定理的结合。例题2：圆周角定理应用（中档题·一题多解）题目：AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。解法1：圆心角关系法（核心法）步骤：由BC=CD=DE，得∠BOC=∠COD=∠DOE=35°；AB为直径，∠AOB=180°；∠AOE=180°-3×35°=75°。核心依据：同圆中相等的弧所对的圆心角相等，结合平角定义计算。解法2：圆周角过渡法（技巧法）步骤：由∠COD=35°，得弧CD对应的圆周角为17.5°；弧BC、CD、DE相等，对应的圆周角均为17.5°，总圆周角为52.5°；弧AE对应的圆周角=90°-52.5°=37.5°（直径所对圆周角为90°）；弧AE对应的圆心角∠AOE=2×37.5°=75°。核心依据：通过圆周角与圆心角的关系间接推导，适用于复杂弧的角度计算。技巧解题：圆周角定理速记技巧技巧：“同弧同角，圆心角是圆周角的两倍；直径对直角，直角对直径”，快速转化角度关系。中考分析：考频：该类题型为中考高频中档题，侧重角度转化。命题趋势：常结合弧的等量关系考查，核心是圆心角与圆周角的倍数关系。例题3：圆内接四边形性质（高档题·一题多解+拓展）题目：四边形ABCD内接于⊙O，∠B=110°，求∠ADE的度数（E为CD延长线上一点）。解法1：对角互补法（核心法）步骤：圆内接四边形对角互补，∠B+∠ADC=180°；∠ADC=180°-110°=70°；∠ADE与∠ADC为邻补角，∠ADE=180°-70°=110°。核心依据：直接运用圆内接四边形对角互补的性质，结合邻补角定义求解。解法2：圆周角性质法（技巧法）步骤：∠B与∠ADC对角互补，∠ADC=70°；弧ABC对应的圆周角∠ADC=70°，弧ADC对应的圆周角∠B=110°；∠ADE与∠B均对应弧ADC，故∠ADE=∠B=110°。核心依据：圆内接四边形的一个外角等于内对角，直接推导角度相等。技巧解题：圆内接四边形速记技巧技巧：“对角互补，外角等于内对角”，快速跳过中间步骤，直接转化角度。拓展：若∠C=85°，则∠A=95°，∠ADE=85°（外角等于内对角），核心方法不变。中考分析：考频：该类题型为中考高频基础题，侧重性质应用。命题趋势：常结合延长线考查外角性质，核心是对角互补与外角定理的结合。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型分布：基础题（3-4分）：概念辨析、简单角度计算、圆内接四边形性质（选择/填空），占比40%。中档题（3-6分）：垂径定理计算、圆心角与圆周角转化（选择/填空/解答题），占比45%。高档题（6-8分）：圆与三角形、四边形综合证明与计算（解答题），占比15%。命题趋势分析：基础题稳定化：概念辨析、简单性质应用每年必考，难度无上升。应用情境化：结合桥梁、古建筑、机械零件等实际场景考查垂径定理。综合深化：与全等三角形、勾股定理、三角函数结合成为主流，核心仍是圆的性质应用。解题技巧总览：基础题：概念辨析“抓定义、辨区别”，角度计算“用定理、找关系”。中档题：垂径定理“作弦心距、用勾股”，角度转化“圆心角转圆周角”。高档题：综合题“先找弧的关系，再转化角与边，最后结合几何知识求解”。（五）课堂练习（10分钟）用两种方法解：⊙O中，弦AB长8cm，圆心O到AB距离3cm，求半径（一题多解）。AB是⊙O直径，∠CAB=40°，求∠ABC和∠ADC的度数（技巧解题）。圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数（综合应用）。证明：矩形的四个顶点在同一个圆上（拓展应用）。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：圆的相关概念、垂径定理、圆心角与圆周角定理、圆内接四边形性质。解题方法：一题多解（勾股定理法/方程变形法、圆心角法/圆周角法）、技巧解题（模型构建、定理速记）。中考策略：基础题保分（紧扣定义），中档题稳分（规范步骤），高档题突破（综合定理应用）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题27.1（概念辨析、简单计算）。提高层：完成2021-2024年全国各省市中考圆的性质相关真题（不少于5道），要求规范书写步骤。拓展层：设计一道结合实际场景的垂径定理应用题，写出题目、解题过程及思路解析。四、教学反思难点突破：学生对“垂径定理的灵活应用”“复杂图形中角的转化”问题突出，后续教学中可增加模型演示、专项训练。一题多解教学：需引导学生根据题目条件选择最优解法，基础计算用技巧法提速，解答题用规范法保分。中考衔接：需补充更多与实际场景、几何综合结合的真题，让学生感知圆的性质的实用性与综合性。细节规范：部分学生忽略“垂径定理中弦非直径”的条件、圆周角定理中“同弧”的前提，需通过错题对比强化细节。综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵