30.1 图形的相似 教案

30.1图形的相似教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标理解相似图形、相似多边形的概念，明确相似与全等的关系，能准确识别相似图形。掌握相似多边形的性质（对应角相等、对应边成比例），熟练运用相似比进行角度和边长计算。理解比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例，掌握相似多边形的判定条件（边数相同、对应角相等、对应边成比例）。掌握相关题型的一题多解思路，结合中考真题规范解题步骤，提升几何识别与计算能力。二、教学重难点（一）教学重点相似图形与相似多边形的概念识别（一题多解）。相似多边形的性质应用与相关计算（技巧解题）。中考中相似图形的识别、相似多边形的角度与边长计算题型突破。（二）教学难点相似多边形判定条件的全面应用（三者缺一不可）。复杂图形中相似多边形对应角、对应边的准确识别。中考中相似与比例线段结合的综合题型解题思路构建。三、教学过程（含考点考频、例题解析、中考链接）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：相似图形：形状相同、大小不一定相同的图形，全等图形是相似图形的特殊形式（相似比为1）。相似多边形：边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形，用符号“∽”表示，对应顶点字母需写在对应位置。相似比：相似多边形对应边的比，反映图形放大或缩小的比例。比例线段：四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d（即ad=bc），则这四条线段为成比例线段。核心性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。相似图形的传递性：若图形A∽图形B，图形B∽图形C，则图形A∽图形C。任意边数相等的正多边形都相似。判定条件：边数相同；对应角相等；对应边成比例（三者缺一不可）。（二）考点考频及常考题型分析1.相似图形识别（考频：10年10考，必考基础题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空题，分值3分，难度低-中档。核心考查相似图形的概念识别，常与全等图形、图形放大缩小结合考查。②常考题型题型：相似图形判断中考链接：答案：D解题核心：相似图形形状相同，甲和丁的轮廓形状一致，仅大小不同，符合相似定义；其余选项形状差异明显。题型：概念辨析中考链接：（2023·湖南株洲统考中考真题）下列说法正确的是（）全等图形一定相似相似图形一定全等边数相同的多边形一定相似对应角相等的多边形一定相似答案：A解题核心：全等是相似的特殊情况（相似比为1），A正确；相似图形大小不一定相同，B错误；边数相同需同时满足对应角相等、对应边成比例才相似，C、D错误。2.相似多边形的性质应用（考频：10年10考，必考中档题）①考频分析中考必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查利用相似多边形的“对应角相等、对应边成比例”求角度、边长或相似比。②常考题型题型：角度与边长计算中考链接：（2022·浙江温州统考中考真题）四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=118°，∠B=78°，∠C=83°，AB=24，EF=18，EH=21，则∠E的度数和AD的长度分别为（）A．118°，28B．118°，24C．83°，28D．83°，24答案：A解题核心：相似多边形对应角相等，∠E=∠A=118°；对应边成比例，AB:EF=AD:EH，即24:18=AD:21，解得AD=28。题型：比例线段应用中考链接：（2021·广东佛山统考中考真题）已知四条线段a=2，b=3，c=4，d=6，则下列说法正确的是（）a、b、c、d是成比例线段a、c、b、d是成比例线段a、d、b、c是成比例线段b、c、a、d是成比例线段答案：A解题核心：2:3=4:6，即a:b=c:d，满足成比例线段定义，A正确；其余选项比例关系不成立。3.相似多边形综合应用（考频：10年8考，高频中档题）①考频分析考查频率高，以选择、填空、解答题为主，分值4-8分，难度中档-高档。核心考查相似多边形与比例尺、几何图形结合的综合计算。②常考题型题型：比例尺应用中考链接：（2020·山东泰安统考中考真题）在比例尺为1:10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（）A．300kmB．3000kmC．30000kmD．300000km答案：B解题核心：比例尺=图上距离:实际距离，设实际距离为xcm，1:10000000=30:x，解得x=3×10^8cm=3000km。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：相似多边形的角度与边长计算（基础题·一题多解）题目：四边形ABCD和EFGH相似，∠A=118°，∠B=78°，∠C=83°，AB=24，EF=18，EH=21，求∠E的度数和AD的长度x。解法1：性质直接法（核心法）步骤：相似多边形对应角相等，∠E=∠A=118°；对应边成比例，AB:EF=AD:EH，即24:18=x:21；解得x=(24×21)/18=28。核心依据：直接运用相似多边形的性质，找准对应角和对应边。解法2：比例性质法（技巧法）步骤：相似比k=AB:EF=24:18=4:3；对应角相等，∠E=∠A=118°；AD=EH×k=21×(4/3)=28。核心依据：先求相似比，再利用相似比求对应边长度，简化比例计算。技巧解题：相似计算速记技巧技巧：“对应角找对应顶点，对应边成比例列等式，相似比是桥梁”，快速找准关系列式。中考分析：考频：该类题型为中考中档题，每年必考。命题趋势：常给出部分角和边，求未知角和边，核心是对应关系的准确识别。例题2：相似图形识别与比例线段（中档题·一题多解）题目：判断四条线段a=3，b=6，c=2，d=4是否为成比例线段，若相似多边形的一组对应边分别为a=3，b=6，求相似比。解法1：比例验证法（核心法）步骤：验证比例关系：3:6=1:2，2:4=1:2，故a:b=c:d，是成比例线段；相似比k=a:b=3:6=1:2或k=b:a=6:3=2:1。核心依据：直接验证四条线段的比例关系，相似比需明确对应边顺序。解法2：乘积验证法（技巧法）步骤：成比例线段满足ad=bc，3×4=12，6×2=12，故是成比例线段；相似比=较短对应边:较长对应边=1:2或反之2:1。核心依据：利用比例线段的乘积性质快速验证，无需逐一列比例式。技巧解题：比例线段速记技巧技巧：“交叉相乘看相等，ad=bc则成比例；相似比看顺序，前对前、后对后”，避免对应错误。中考分析：考频：该类题型为中考基础送分题，每年必考。命题趋势：常考查比例线段的判断、相似比的计算，核心是比例关系的应用。例题3：相似多边形综合计算（高档题·一题多解+拓展）题目：两个五边形相似，对应边的比为2:3，其中一个五边形的最短边为3，求另一个五边形的最短边；若其中一个五边形的内角和为540°，求另一个五边形的内角和。解法1：相似比法（核心法）步骤：设另一个五边形的最短边为x，分两种情况：3:x=2:3→x=4.5；x:3=2:3→x=2；五边形内角和固定为(5-2)×180°=540°，故另一个五边形内角和也为540°。核心依据：相似比的双向性，多边形内角和与相似无关（仅与边数有关）。解法2：比例性质法（技巧法）步骤：相似比为2:3，最短边对应最短边，故另一个最短边=3÷(2/3)=4.5或3×(2/3)=2；内角和仅由边数决定，五边形内角和恒为540°，无需计算。核心依据：利用相似比的倒数关系快速求边长，牢记多边形内角和公式。技巧解题：综合计算速记技巧技巧：“相似比双向要考虑，内角和与边数相关，与相似无关”，避免多余计算。拓展：若两个相似多边形的相似比为k，周长比为k，面积比为k²，可延伸至周长与面积的综合计算。中考分析：考频：该类题型为中考高频中档题，侧重分类讨论与性质综合。命题趋势：常结合相似比的双向性、多边形内角和，核心是分类思想的应用。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型分布：基础题（3分）：相似图形识别、比例线段判断、相似比计算（选择/填空），占比40%。中档题（3-6分）：相似多边形的角度与边长计算（选择/填空/解答题），占比45%。高档题（6-8分）：相似与比例尺、几何图形结合的综合题（解答题），占比15%。命题趋势分析：基础题稳定化：识别、判断类题目每年必考，难度无上升。计算精细化：相似多边形的对应关系需准确识别，避免张冠李戴。综合情境化：与地图比例尺、图形放大缩小等实际场景结合，体现实用性。解题技巧总览：基础题：“看形状辨相似，验乘积判比例”，快速识别与验证。中档题：“找对应、列比例、求未知”，规范步骤计算。高档题：“分情况、用性质、结合几何知识”，综合推导求解。（五）课堂练习（10分钟）用两种方法判断：四条线段a=4，b=6，c=6，d=9是否为成比例线段（一题多解）。四边形ABCD∽四边形EFGH，∠D=100°，EF=12，AB=18，GH=8，求∠H的度数和BC的长度（技巧解题）。两个相似三角形的相似比为3:5，其中一个三角形的周长为15，求另一个三角形的周长（综合应用）。在比例尺为1:5000的地图上，量得一块矩形场地的长为6cm，宽为4cm，求实际场地的面积（拓展应用）。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：相似图形、相似多边形的概念与性质，比例线段的判断，相似比的应用。解题方法：一题多解（直接法/比例法、验证法/乘积法）、技巧解题（对应关系速找、比例快速计算）。中考策略：基础题保分（概念准确），中档题稳分（对应关系正确），高档题突破（分类讨论与综合应用）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题30.1（相似图形识别、比例线段判断、简单计算）。提高层：完成2021-2024年全国各省市中考相似相关真题（不少于5道），要求规范书写步骤。拓展层：设计一道相似多边形与矩形面积结合的综合题，写出题目、解题过程及思路解析。四、教学反思难点突破：学生对“相似多边形对应边、对应角的准确识别”“相似比的双向性”问题突出，后续教学中可增加对应关系标记、分类讨论专项训练。一题多解教学：需引导学生根据题目条件选择最优解法，基础判断用乘积法提速，计算用比例法规范。中考衔接：需补充更多与比例尺、实际场景结合的真题，强化“对应关系→比例→计算”的完整流程，让学生适应中考命题趋势。细节规范：部分学生忽略相似多边形判定的“边数相同”条件、比例线段的顺序性，需通过错题对比强化细节记忆。综合训练一、选择题1.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则DEEF的值为(A.12 B.C.25 D.2.如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O,则与△DOB相似的三角形个数是()A.1 B.2C.3 D.43.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上.如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14A.(3,2) B.(-2,-3)C.(2,3)或(-2,-3) D.(3,2)或(-3,-2)4.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E.若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为()A.3 B.4 C.5 D.65.已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,得到点A',B',C'.下列说法正确的是()A.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(1,0)B.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(0,0)C.△A'B'C'与△ABC是相似图形,但不是位似图形D.△A'B'C'与△ABC不是相似图形6.如图,梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,G是BD的中点.若AD=3,BC=9,则GO∶BG=()A.1∶2 B.1∶3C.2∶3 D.11∶207.(2024·新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k>0)与双曲线y=2x交于A,B两点,AC⊥x轴于点C,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是线段BC的中点;③在双曲线y=2x上任取点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),如果y1>y2,那么x1>x2;④S△BOD=12.A.1 B.2 C.3 D.48.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=-1x图象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q.若以点O,P,Q为顶点的三角形与△OAB相似,则相应的点P共有(A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题9.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是.

10.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF的周长为.

11.(2023·广东中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为.

12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q.若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为.

13.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,在B时又测得该树的影长为8m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为m.

14.一捣碎器如图所示,已知支撑柱AB的高为0.3m,踏板DE长为1.6m,支撑点A到踏脚D的距离为0.6m,现在踏脚着地,则捣头点E距地面m.

三、解答题15.如图,方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼.(1)在同一方格纸中,画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案;(2)在同一方格纸中,并在y轴的右侧,将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后小金鱼的图案.16.某高中为高一新生设计的学生板凳从侧面看到的图形如图所示.其中BA=CD,BC=20cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,则横梁EF的长应为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)17.(2024·新疆中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AD=(1)求证:△ACD∽△ECB;(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.18.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求ACAF的值综合训练一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.A根据△AOD∽△COB,可以知道ODOB=ADBC=13.由于G是BD的中点,从而可以得到7.C如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为E.∵反比例函数的图象关于原点成中心对称,∴①中结论正确.∵点A与点B关于原点对称,∴OA=OB.在△OBE和△OAC中,∠∴△OBE≌△OAC(AAS),∴OE=OC.∵EB∥y轴,∴△OCD∽△ECB.∵OE=OC,∴OCCE=CDCB=12,∴D是线段CB的中点,∴OD是△对于函数y=2x,在每个象限内,y随x的增大而减小,故③中结论错误易得S△BOD=12S△BOC=12S△AOC=12×1=12,故正确结论的序号是①②④,共3个.8.D在△OPQ和△OAB中,∠PQO=∠AOB=90°,当∠POQ=∠ABO或∠POQ=∠BAO时,两个三角形相似,故双曲线的每个分支上都有2个点满足题意,即相应的点P共有4个.二、填空题9.(9,0)要确定△ABC与△A1B1C1的位似中心,只要连接A1A,C1C并延长,其交点即为位似中心,然后再根据画图的结果,确定位似中心的坐标即可.10.90∵△ABC的三边长分别为5,12,13,∴△ABC的周长为5+12+13=30.∵与它相似的△DEF的最小边长为15,∴△DEF的周长∶△ABC的周长=15∶5=3∶1,∴△DEF的周长为3×30=90.11.15如图,∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴ABAD∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴420=BF10,∴BF=2,∴GF=6-∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴ACAD∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴1020=CK10,∴CK=5,∴HK=6-又易知阴影部分为梯形,∴阴影部分的面积为12(HK+GF)·GH=12×(1+4)×6=12.3或43由于以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形有一个公共角(∠A),因此依据相似三角形的判定方法,过点P的直线PQ应有两种作法一是过点P作PQ∥BC,这样根据相似三角形的性质可得AQAB=APAC,即AQ二是过点P作∠APQ=∠ABC,交边AB于点Q,这时△APQ∽△ABC,于是有AQAC=APAB,即AQ4=26,解得AQ=413.4直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似,如图.这个基本图形可称之为“母子三角形”,树高EH所在的两个“子三角形”相似,即Rt△ECH∽Rt△DEH,得EH2=HC·HD=2×8.所以EH=4m.或者利用勾股定理,得EC2-ED