2027届高考数学一轮总复习2.2函数的单调性与最值【课件】

第2节函数的单调性与最值课标解读

1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够运用函数的单调性解决有关问题.强基础•固本增分1.函数的单调性(1)单调函数的定义函数分类增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数

当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数

f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2)

函数分类增函数减函数图象描述

自左向右看图象是

的

自左向右看图象是

的

上升

下降(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上

或

,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.

微警示

“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.单调递增单调递减2.函数的最值

前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有

;

(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M(1)∀x∈D,都有

;

(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值f(x)≤M

f(x)≥M

×解析

只有对区间[-3,2]上的任意两个自变量的取值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),才能说明函数f(x)在区间[-3,2]上单调递增.×解析

区间(-2,3)是函数f(x)的单调递增区间的子集.√×解析

单调区间不能用“∪”连接.

A

3.(2023·新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)D

2

6.(湘教必修一教材习题)如图所示是函数f(x)的图象.列出f(x)的若干区间,说明它在各区间上的增减性,并指出该函数的最大、最小值点及最值.解

观察题目中图象知,函数f(x)的单调递减区间是[-5,-3],[-1,2],[3,5],单调递增区间是[-3,-1],[2,3],函数f(x)的最大值点是x=-1,最小值点是x=2,函数f(x)的最大值是1.5,最小值是-1.研考点•精准突破考点一确定函数的单调性

C

(-∞,-6]

规律方法

求函数单调区间的方法(1)基本初等函数法:根据常用基本初等函数的单调性确定单调区间.(2)图象法:作出函数图象,由图象的升降情况确定单调区间,注意不连续的单调区间不能用“∪”联结,只能用“和”“及”联结.(3)复合函数法:根据“同增异减”确定函数的单调区间.(4)导数法:根据导数的正、负确定函数的单调区间.

A

规律方法

利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

考点二函数单调性的应用

D

规律方法

比较函数值的大小时,先把自变量的取值转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.

D

考向2

解函数不等式例4

(2025·山东烟台三模)已知函数f(x)=lnx+2x,若f(2t)<2,则实数t的取值范围是

.

规律方法

[对点训练4](2025·浙江湖州模拟)已知函数f(x)=ex-e-x,则使f(|x|)<f(-3x2+4)成立的实数x的取值范围是(

)A.(-1,0) B.(-1,+∞)C.(-1,1) D.(1,+∞)C解析

因为函数y=ex为增函数,函数y=e-x为减函数,所以函数f(x)=ex-e-x为增函数,所以f(|x|)<f(-3x2+4)⇔|x|<-3x2+4,即3|x|2+|x|-4<0,(|x|-1)(3|x|+4)<0,得0≤|x|<1,解得-1<x<1,所以实数x的取值范围是(-1,1).故选C.

B

规律方法

利用函数单调性求参数的取值(范围)时,根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)),或先画出函数的图象,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.

(-∞,4]

考点三求函数的值域与最值

ACD解析

对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图1所示),可得函数的值域为[2,6),A正确;图1图2

规律方法

求函数值域(最值)的常用方法(1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定