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高等数学第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分

第十一章2一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.31)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在43)“近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段的最大长度)52.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作6若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,71).存在条件：2).组合形式83.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!9二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有思想方法：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。利用变量代入法可得上式左边＝右边证明：10特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有11例1：计算：其中L

为折线OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).解：12例2.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程13例3.

设曲线C为曲面与曲面从ox

轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C

的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)14(2)令利用“偶倍奇零”15例5.

已知为折线ABCOA(如图),计算解:16三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系17类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为18例119例2.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周20例3.设二者夹角为

曲线段L

的

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