2026年分布积分试题及答案

2026年分布积分试题及答案一、不定积分部分1.计算∫x⁴e^(-2x)dx解：使用分部积分法，设u=x⁴，dv=e^(-2x)dx，则du=4x³dx，v=-(1/2)e^(-2x)原式=(x⁴/2)e^(-2x)+2∫x³e^(-2x)dx（第一次分部积分）对∫x³e^(-2x)dx继续分部积分，设u=x³，dv=e^(-2x)dx，du=3x²dx，v=-(1/2)e^(-2x)得：(x³/2)e^(-2x)+(3/2)∫x²e^(-2x)dx（第二次分部积分）对∫x²e^(-2x)dx分部积分，设u=x²，dv=e^(-2x)dx，du=2xdx，v=-(1/2)e^(-2x)得：(x²/2)e^(-2x)+∫xe^(-2x)dx（第三次分部积分）对∫xe^(-2x)dx分部积分，设u=x，dv=e^(-2x)dx，du=dx，v=-(1/2)e^(-2x)得：(x/2)e^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)dx=(x/2)e^(-2x)(1/4)e^(-2x)+C（第四次分部积分）逐层回代，最终结果：(x⁴/2)e^(-2x)x³e^(-2x)(3x²/2)e^(-2x)(3x/2)e^(-2x)(3/4)e^(-2x)+C2.计算∫x³ln(4x-1)dx（x>1/4）解：设u=ln(4x-1)，dv=x³dx，则du=(4)/(4x-1)dx，v=x⁴/4原式=(x⁴/4)ln(4x-1)∫(x⁴/4)·(4)/(4x-1)dx=(x⁴/4)ln(4x-1)∫x⁴/(4x-1)dx对∫x⁴/(4x-1)dx进行多项式除法，x⁴=(4x-1)(x³/4+x²/16+x/64+1/256)+1/256故积分=∫[x³/4+x²/16+x/64+1/256+1/(256(4x-1))]dx=(x⁴)/16+(x³)/48+(x²)/128+x/256+(1/1024)ln|4x-1|+C因此原式=(x⁴/4)ln(4x-1)x⁴/16x³/48x²/128x/256(1/1024)ln|4x-1|+C3.计算∫e^(2x)cos(3x)dx解：设I=∫e^(2x)cos(3x)dx，分部积分，令u=cos(3x)，dv=e^(2x)dx，则du=-3sin(3x)dx，v=e^(2x)/2I=(e^(2x)/2)cos(3x)+(3/2)∫e^(2x)sin(3x)dx（第一次分部积分）对∫e^(2x)sin(3x)dx再次分部积分，令u=sin(3x)，dv=e^(2x)dx，du=3cos(3x)dx，v=e^(2x)/2得：(e^(2x)/2)sin(3x)(3/2)∫e^(2x)cos(3x)dx=(e^(2x)/2)sin(3x)(3/2)I（第二次分部积分）代入I的表达式：I=(e^(2x)/2)cos(3x)+(3/2)[(e^(2x)/2)sin(3x)(3/2)I]=(e^(2x)/2)cos(3x)+(3e^(2x)/4)sin(3x)(9/4)I移项得：I+(9/4)I=(e^(2x)/2)cos(3x)+(3e^(2x)/4)sin(3x)即(13/4)I=e^(2x)(2cos3x+3sin3x)/4故I=e^(2x)(2cos3x+3sin3x)/13+C4.计算∫(lnx)^4dx（x>0）解：设u=(lnx)^4，dv=dx，则du=4(lnx)^3·(1/x)dx，v=x原式=x(lnx)^44∫(lnx)^3dx（第一次分部积分）令J=∫(lnx)^3dx，同理分部积分得：J=x(lnx)^33∫(lnx)^2dx令K=∫(lnx)^2dx，分部积分得：K=x(lnx)^22∫lnxdx令L=∫lnxdx，分部积分得：L=xlnx∫dx=xlnxx+C回代K=x(lnx)^22(xlnxx)=x(lnx)^22xlnx+2x+CJ=x(lnx)^33(x(lnx)^22xlnx+2x)=x(lnx)^33x(lnx)^2+6xlnx6x+C原式=x(lnx)^44[x(lnx)^33x(lnx)^2+6xlnx6x]+C=x(lnx)^44x(lnx)^3+12x(lnx)^224xlnx+24x+C二、定积分部分5.计算∫₀^πx³cos(x)dx解：设I=∫x³cosxdx，分部积分，令u=x³，dv=cosxdx，则du=3x²dx，v=sinxI=x³sinx3∫x²sinxdx（第一次分部积分）对∫x²sinxdx分部积分，令u=x²，dv=sinxdx，du=2xdx，v=-cosx得：-x²cosx+2∫xcosxdx（第二次分部积分）对∫xcosxdx分部积分，令u=x，dv=cosxdx，du=dx，v=sinx得：xsinx∫sinxdx=xsinx+cosx+C（第三次分部积分）回代得：∫x²sinxdx=-x²cosx+2(xsinx+cosx)+C=-x²cosx+2xsinx+2cosx+C因此I=x³sinx3(-x²cosx+2xsinx+2cosx)=x³sinx+3x²cosx6xsinx6cosx+C代入上下限0到π：I(π)=π³·0+3π²·(-1)6π·06·(-1)=-3π²+6I(0)=0+3·0·106·1=-6故定积分=(-3π²+6)(-6)=-3π²+126.计算∫₁^ex²(lnx)^2dx解：设u=(lnx)^2，dv=x²dx，则du=2(lnx)(1/x)dx，v=x³/3原式=(x³/3)(lnx)^2|₁^e(2/3)∫₁^ex²(lnx)(1/x)dx=(e³/3·1²0)(2/3)∫₁^exlnxdx计算∫xlnxdx，分部积分，令u=lnx，dv=xdx，du=(1/x)dx，v=x²/2得：(x²/2)lnx(1/2)∫xdx=(x²/2)lnxx²/4+C代入上下限1到e：∫₁^exlnxdx=(e²/2·1e²/4)(01/4)=e²/4+1/4因此原式=e³/3(2/3)(e²/4+1/4)=e³/3e²/61/6三、综合应用部分7.计算∫√(x)e^√(x)dx（x≥0）解：先换元，令t=√x，则x=t²，dx=2tdt，积分变为∫t·e^t·2tdt=2∫t²e^tdt对∫t²e^tdt分部积分，设u=t²，dv=e^tdt，du=2tdt，v=e^t得：t²e^t2∫te^tdt（第一次分部积分）对∫te^tdt分部积分，设u=t，dv=e^tdt，du=dt，v=e^t得：te^t∫e^tdt=te^te^t+C（第二次分部积分）回代得：∫t²e^tdt=t²e^t2(te^te^t)=t²e^t2te^t+2e^t+C因此原积分=2(t²e^t2te^t+2e^t)+C=2(xe^√x2√xe^√x+2e^√x)+C=2e^√x(x2√x+2)+C8.计算∫arcsin(√x)dx（0≤x≤1）解：令t=√x，则x=t²，dx=2tdt，积分变为∫arcsin(t)·2tdt=2∫tarcsin(t)dt（t∈[0,1]）分部积分，设u=arcsin(t)，dv=tdt，则du=1/√(1-t²)dt，v=t²/2原式=2[(t²/2)arcsin(t)(1/2)∫t²/√(1-t²)dt]=t²arcsin(t)∫t²/√(1-t²)dt对∫t²/√(1-t²)dt换元，令t=sinθ（θ∈[-π/2,π/2]），则dt=cosθdθ，√(1-t²)=cosθ，t²=sin²θ积分=∫sin²θ/cosθ·cosθdθ=∫sin²θdθ=∫(1-cos2θ)/2dθ=θ/2(sin2θ)/4+C=θ/2(sinθcosθ)/2+C代回t=sinθ，θ=arcsin(t)，cosθ=√(1-t²)，故积分=(arcsin(t))/2(t√(1-t²))/2+C因此原式=t²arcsin(t)[(arcsin(t))/2(t√(1-t²))/2]+C代回t=√x，t²=x，√(1-t²)=√(1-x)，得：xarcsin(√x)(1/2)arcsin(√x)+(√x·√(1-x))/2+C=(x1/2)arcsin(√x)+(√(x(1-x)))/2+C9.计算∫x⁵e^(x²)dx解：先换元，令t=x²，则dt=2xdx，x⁵dx=x⁴·xdx=t²·(dt/2)，积分变为(1/2)∫t²e^tdt由第7题结果，∫t²e^tdt=t²e^t2te^t+2e^t+C因此原积分=(1/2)(t²e^t2te^t+2e^t)+C=(1/2)(x⁴e^(x²)2x²e^(x²)+2e^(x²))+C=e^(x²)(x⁴/2x²+1)+C10.计算∫₀^1x(1-x)^5arctanxdx（保留π相关项）解：展开(1-x)^5=15x+10x²10x³+5x⁴x⁵，积分变为∫₀^1(x5x²+10x³10x⁴+5x⁵x⁶)arctanxdx对每一项∫x^narctanxdx（n=1到6）分部积分，设u=arctanx，dv=x^ndx，则du=1/(1+x²)dx，v=x^(n+1)/(n+1)∫x^narctanxdx=(x^(n+1)/(n+1))arctanx|₀^1(1/(n+1))∫₀^1x^(n+1)/(1+x²)dx计算边界项：x=1时为(1/(n+1))·(π/4)，x=0时为0，故边界项=π/(4(n+1))对∫x^(n+1)/(1+x²)dx，当n+1为奇数时（n为偶数），设k=(n+1-1)/2=(n)/2，x^(n+1)=x·(x²)^k=x·(x²+1-1)^k，展开后可拆分为多项式；当n+1为偶数时（n为奇数），x^(n+1)=(x²)^((n+1)/2)=(x²+1-1)^((n+1)/2)，同样展开。以n=1（x²项）为例，∫x²/(1+x²)dx=∫(11/(1+x²))dx=xarctanx+C，代入0到1得(1π/4)0=1π/4同理计算各n值：n=1（x项）：∫xarctanxdx=(x²/2)arctanx|₀^1(1/2)∫₀^1x²/(1+x²)dx=π/8(1/2)(1π/4)=π/81