北师大版初中矩形性质同步练习题

北师大版初中矩形性质同步练习题同学们，矩形作为一种特殊的平行四边形，在我们的几何学习中占据着重要地位。它不仅具有平行四边形的所有性质，更有其独特的“个性”。掌握好矩形的性质，能帮助我们更灵活地解决各种几何问题。下面，就让我们通过一系列练习题来巩固和深化对矩形性质的理解与应用吧。一、知识回顾与梳理在开始练习之前，让我们先简要回顾一下矩形的定义和主要性质，确保我们“弹药充足”：1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.矩形的性质：*边：对边平行且相等（这是平行四边形共有的性质）。*角：四个角都是直角（矩形的特殊性质）。*对角线：对角线相等且互相平分（矩形对角线的特殊性质，平行四边形对角线仅互相平分）。*对称性：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；同时，矩形也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边中点的连线所在的直线。二、基础巩固练习（一）选择题1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A.对边平行且相等B.对角线互相平分C.对角相等D.对角线相等2.若矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则这条对角线与另一条边的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=3，则BD的长为（）A.3B.6C.9D.12（二）填空题4.矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长为_________。5.已知矩形的对角线长为10cm，一条边长为6cm，则其另一条边长为_________cm。6.在矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=4cm，则矩形的对角线AC的长为_________cm。（三）解答题7.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE。求证：BE=CE。（请在此处自行绘制矩形ABCD，E为AD中点）8.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形对角线的长及矩形的面积。三、能力提升练习9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E。求证：AC=EC。（请在此处自行绘制矩形ABCD，CE平行于BD，交AB延长线于E）10.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A落在矩形内部点E处，若PE、BE分别交CD于点F、G，且DF=FG，求AP的长。四、拓展探究练习11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是AD上的动点（不与A、D重合），PE⊥AC于E，PF⊥BD于F。求PE+PF的值。（请在此处自行绘制矩形ABCD，P为AD上动点，PE⊥AC，PF⊥BD）12.已知，如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度数。（请在此处自行绘制矩形ABCD，AE平分∠BAD交BC于E）参考答案与提示一、基础巩固练习1.D（提示：矩形特有的性质是对角线相等和四个角都是直角，选项中只有D符合）2.C（提示：矩形的每个角都是直角，一条对角线与一边夹角为30°，则与另一边夹角为90°-30°=60°）3.B（提示：矩形对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO=3，BD=2BO=6）4.22或26（提示：需分两种情况讨论，即角平分线与对边交点将边分为3和5，注意矩形对边相等）5.8（提示：利用勾股定理，另一条边长=√(10²-6²)=√64=8）6.8（提示：由∠AOB=60°及OA=OB，可得△AOB为等边三角形，所以AO=AB=4，AC=2AO=8）7.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC。∵E是AD的中点，∴AE=DE。在△ABE和△DCE中，AB=DC，∠A=∠D，AE=DE，∴△ABE≌△DCE（SAS）。∴BE=CE。8.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=BO=CO=DO。∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4cm。∴AC=2AO=8cm。在Rt△ABC中，AB=4cm，AC=8cm，根据勾股定理，BC=√(AC²-AB²)=√(8²-4²)=√48=4√3cm。∴矩形面积=AB×BC=4×4√3=16√3cm²。答：矩形对角线长为8cm，面积为16√3cm²。二、能力提升练习9.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC=BD，且AB=CD。∵CE∥BD，BE∥CD（由AB∥CD及E在AB延长线上可得），∴四边形BECD是平行四边形。∴EC=BD。∵AC=BD，∴AC=EC。10.提示：设AP=x，则PD=6-x。根据折叠性质，EP=AP=x，BE=AB=8，∠E=∠A=90°。设FG=DF=y，则CG=8-2y，EG=8-y。通过△PFD∽△EFG（或其他相似、全等关系）建立方程求解。最终答案AP=2.8（或14/5）。三、拓展探究练习11.提示：连接OP，利用面积法。S△AOD=S△AOP+S△DOP。矩形面积为12，△AOD面积为3。OA=OD=2.5。由(OA×PE)/2+(OD×PF)/2=3，可得PE+PF=12/5=2.4。12.提示：∵AE平分∠BAD，∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，△ABE是等腰直角三角形，AB=BE。∵∠EAO=15°，∴∠BAO=60°，△AOB是等边三角形，AB=BO，∠ABO=60°，∠OBC=30°。BO=BE，所以△BOE是等腰三角形，∠BOE=75°。学习建议同学们，在完成以上练习时，请注意以下几点：1.回归定义与性质：遇到问题时，首先回想矩形的定义和所有性质，这是解决问题的基础。2.数形结合：认真画图，将文字条件直观地反映在图形上，有助于找到解题思路。3.