2026年山东省中考数学试卷（含答案及解析）

2026年全省初中学业水平考试(山东统考)数学试题本试卷共8页，满分120分。考试时长120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上。答案写在本试卷上无效。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。1.下列实数中，比1大的数是A.﹣2 B.0 C.0.5 D.22.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是3.山东是海洋大省，毗邻海域面积约为6万平方公里.将160000用科学记数法表示为A.0.16×106 B.1.6×105 4.如图所示几何体的俯视图是5.下列运算正确的是A.m3-m2＝m B.m23＝m6 C.6.如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B.以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a，c于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠MAN的内部交于点C;作射线AC交b于点D.若∠ABD＝54°,则∠ADB的度数是A.36° B.54°C.63° D.72°7.计算x2A.x－1 B.x＋1 C.1x－1 8.甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图.根据图中信息，下列结论正确的是A.甲的跳绳成绩总是高于乙 B.甲的跳绳成绩的众数为184C.甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D.甲的跳绳成绩的方差小于乙9.在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目.两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无行留行进.他们行走的路程y(km)与时间x(min)之间的关系如图所示.小英追上小杰的时刻是A.8:25B.8:33C.9:00D.9:1710.如图,点P是抛物线y＝A.2a＋b＝0 B.-34＜a＜-1C.对任意实数t，atD.若点A(1－m,y₁),B(1＋m,y₂)在抛物线上,则y₁＜y₂二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.计算:5ab＋6ab＝.12.如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于.13.若关于x的一元二次方程(x－2)(x－m)＝0的一个根是10，则另一个根是14.如图，一组反比例函数y＝k1为大于1的整数.这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A₁,A₂,A₃,……,An.若A1A2＝A2第12题图第14题图第15题图15.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB＝4cm,AD＝5cm,点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG,CG.若AG＝3cm,GE∥AB,则△CFG的面积为cm².三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(8分)(1)计算:2(2)解不等式组：x＋1＜2x-1，x－1217.(8分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,点E,F,G分别是边AC、BC、AB的中点.(1)求证:△EDF≌△ECF;(2)判断四边形AEFG的形状，并说明理由.18.(8分)在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者.两名志愿者的对话如下：请根据他们的对话解答下列问题：(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少?最少费用为多少元?19.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,AC＝BD,连接AC,AD,CD,过点A作AH⊥CD交DC的延长线于点H(1)求证:AH是⊙O的切线;(2)若AH＝2,sin∠CAH20.(10分)某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动.为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷问题1.你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动?(单选)①绘制校园平面地图②读书长廊地面没铺设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线⑤体育运动与心率的关系探究问题2.假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决?(可多选)A.查阅文献B.上网查询C.同伴合作D.寻求指导E.专业咨询问题问题3.你还想探究哪些领域的数学问题?【数据处理】信息1将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图信息2将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表.解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济.【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：(1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；(2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；(3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率.【决策建议】(4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议.21.(10分)我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰(俯)角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动.【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘.【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数.(1)如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为3(∠矩尺盘读数为6(DE＝6)，可知仰角.∠如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29∘∠DAE＝29∘,矩尺盘读数为5.5(DE＝5.5),则仰角∠P＝,tan【应用探究】(2)综合实践小组测量某景区城门楼(如图4)的顶端E到地面的距离(EB的长度).如图5，某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45∘.已知AC＝20m,该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E到地面的距离(结果精确到0.22.(12分)“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景(如图1).甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分(以下“花枪”均指花枪的中点).(1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面12m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是12m,花枪飞行到与O点水平距离3m的①设花枪离地面的高度为y(m)，到O点的水平距离为x(m)，请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式；②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2110m,最小为12(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度h(m)与时间t(s)之间的关系式是h＝－5t23.(12分)在△ABC中，【观察与发现】(1)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转(60得到线段AD，点D与点C是对应点.点E,F分别在边AB,AC上,AE＝CF,连接DE,DF.求证:DE＝DF.【思考与探究】(2)如图2,过点A作.AH⊥AC交BC于点H.点E,F分别在边AB,AC上,CF＝2AE,连接EF,HE,HF.猜想线段EF【拓展与延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,延长FE至点G,使EG＝FE,连接GA,GH.若AB＝6,AG＝272026年全省初中学业水平考试(山东统考)数学试题答案及解析本试卷共8页，满分120分。考试时长120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上。答案写在本试卷上无效。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。1.下列实数中，比1大的数是()A.-2 B.0 C.0.5 D.2【答案】D【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1比较，即可得出结果【详解】解：∵负数小于正数，0小于正数，∴-2＜1,0＜1,又∵0.5∴只有2比1大2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形.3.山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里.将160000用科学记数法表示为()A.0.16×106 B.1.6×105【答案】B【分析】科学记数法的标准形式为a×10”，其中1≤|a|＜10，n为整数，只需按要求确定a和n的值即可.【详解】解：1600004.如图所示几何体的俯视图是()【答案】C【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看，分析看到的平面图形形状及线条即可.【详解】解：从上面看，该几何体的俯视图为：5.下列运算正确的是()A.m3-m2＝m B.m23＝m6 C.【答案】B【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到正确结果.【详解】解:A、m³与m²不是同类项,不能合并,∴A错误;B、m2C、m9D、2m⋅3m＝6.如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B.以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a，c于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C;作射线AC交b于点D.若∠ABD＝54°,则∠ADB的度数是()甲、乙两名同学6天的跳绳成绩统计图根据图中信息，下列结论正确的是()A.甲的跳绳成绩总是高于乙B.甲的跳绳成绩的众数为184C.甲的跳绳成绩的中位数小于乙D.甲的跳绳成绩的方差小于乙【答案】D【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况(方差)进行判断即可.【详解】解:由图可知,甲的成绩为:181,180,179,184,186,188;乙的成绩为:177,179,181,183,188,188;对于A，第3天甲的成绩179小于乙的成绩181，故A错误；对于B，甲的成绩中所有数据都出现1次，无众数，故B错误；对于C,甲的成绩从小到大排列为179,180,181,184,186,188,中位数为181+1842＝182.5;乙的成绩从小到大排列为177,179,181,183,186,188,中位数为181+1832＝182∴甲的中位数大于乙，故C错误；对于D，甲成绩为平均数为：181+180+179+184+186+18816×181-1832方差为：16×[177-182.672+∴甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确.9.在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目.两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进.他们行走的路程y(km)与时间x(min)之间的关系如图所示.小英追上小杰的时刻是()A.8:25 B.8:33 C.9:00 D.9:17【答案】C【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了2km，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了1.5km，设出发后x分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可【详解】解：由图象可知，小英在0~25min内行走了2km，∴小英的速度为2∵小杰在25min内行走了1.5km,∴小杰的速度为1.5∵小英途中停留了15min，∴小英再次出发的时刻为第25+15＝40(min),此时路程为2km,设小英追上小杰的时刻为出发后xmin，根据题意得：3解得x＝60,∵两人8：00从起点出发，∴小英追上小杰的时刻是9：00.10.如图，点P是抛物线y＝A.2a+b＝0B.-C.对任意实数t，atD.若点A(1-m,y₁),B(1+m,y₂)在抛物线上,则y【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项.【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0.∵顶点P的坐标为(2,3),∴对称轴为直线x＝2，即-∴b＝-4a,即4a+b＝0,故A错误;设抛物线的解析式为y令x＝0,得y＝4a+3,即抛物线与y轴的交点坐标为(0,4a+3).由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y＝1的下方，∴0＜4a+3＜1,解得-34＜根据图象得：当x＝2时，y＝ax2+bx+c取得最大值为:y＝4a+2b+c∴at2+bt≤4a+2b,∵对称轴为x＝2，∴∣1-m-2∣当m＝0时，两点到对称轴的距离相等，∴y1＝二、填空题11.计算:5ab+6ab＝.【答案】11ab【详解】解:5ab+6ab12.如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于.【答案】720°/720度【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式(n-2)×180°代入计算即可.【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数n＝6，根据多边形内角和公式，得(6-213.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)＝0的一个根是10,则另一个根是.【答案】2【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为10，即可求出另一个根.【详解】解:已知方程为(x-2)(x-m)＝0得x-2＝0或x-m＝0,解得x∵方程的一个根是10，∴m＝10,因此方程的另一个根为2.14.如图，一组反比例函数y＝k1x,y＝k2x,y＝k3x,y＝knx,其中x＞0,k1＝1,【答案】36【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点4，的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件An-1An＝2得出kn-【详解】解：联立{解得(负值舍去)∴点An的坐标为k∵点An₁的坐标为k∵∴∵∴∴∵∴∴k2…k∴15.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB＝4cm,AD＝5cm,点E是边AD的中点,点F在边CD上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG.若AG＝3cm,GE∥AB,则△CFG的面积为cm².【答案】9【分析】先由折叠和GE∥AB推出EG＝ED＝DF＝GF,从而四边形DEGF是菱形,得DG⊥EF且J为DG中点，再利用菱形及中点构造中位线得到IJ//AG且EJ＝32,结合AD＝5可证AG⊥DG并求得DG＝4，最后通过面积法求FH，利用相似三角形△FHD~△CKF求出【详解】解:连接DG,作FH⊥AD,CI⊥AD,∵AD＝5,点E是边AD的中点,∴AE＝DE＝∵GE∥AB,AB∥CD,∴EG∥CD,∴∠GEF＝∠DFE,由折叠可知∠DEF＝∠GEF,∴∠DEF＝∠DFE,∴DE由折叠可知GF∴EG＝DE＝DF＝GF,∴四边形DEGF是菱形，∴DG⊥EF,设DG,EF交点为J,∴J为DG中点,∴EJ∥AG,且EJ∴AG⊥DG,∵AD＝5,AG＝3,∴DG＝4,JD＝2,在△EDF中,1∴∴FH设GF,CI交点为K,∵FH∥CI,KF∥HD,∴∠FDH＝∠CFK,∠FHD＝∠CID,∠CID＝∠CKF,∴∠FHD＝∠CKF∴△FHD∽△CKF,∴∵CD＝AB＝4,∴CF∴∴S【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形DEGF为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积.三、解答题16.按要求完成下列各题：(1)计算:2(2)解不等式组：{【答案】(1)3(2)2＜x＜3【详解】(1)解:2＝4-4+3＝3;(2){解不等式①得:x＞2,解不等式②得:x＜3,∴不等式组的解集为2＜x＜3.17.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,点E,F,G分别是边AC、BC、AB的中点.(1)求证:△EDF≌△ECF;(2)判断四边形AEFG的形状，并说明理由.【答案】(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△ACD中,点E是AC的中点,∴DE同理DF∵EF＝EF,∴△EDF≌△ECF(SSS);(2)解：四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E,F,G是AC,BC,AB的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴∴四边形AEFG是平行四边形.【详解】(1)略(2)略18.在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者.两名志愿者的对话如下：请根据他们的对话解答下列问题：(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少?最少费用为多少元?【答案】(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元.(2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元.【分析】(1)设描金琉璃瓶单价为x元，内画瓶单价为y元.根据题干已知等量关系列方程组即可求解；(2)设购买描金琉璃瓶m个(m≤20),则内画瓶为(20-m)个,得出总费用W＝10m+600,再利用一次函数的性质求解即可.【详解】(1)解：设描金琉璃瓶单价为x元，内画瓶单价为y元.根据题意列方程组：{x+2y＝100答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元.(2)设购买描金琉璃瓶m个(m≤20),则内画瓶为(20-m)个.m≥2(20-m),解得m≥14(m为整数).设总费用为W,则W＝40m+30(20-m)＝10m+600.因10＞0,则W随m增大而增大,故当m＝14时,W最小.W＝10×14+600＝740(元)此时内画瓶数量为6，最少费用为740元.答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元.19.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,AC＝BD,连接AC,AD,CD,过点A作AH⊥CD交DC(1)求证:AH是⊙O的切线;(2)若AH＝2,sin∠CAH＝【答案】(1)证明:∵∴∠ADC＝∠BAD,∴CD∥AB,∵AH⊥CD,∴AH⊥AB,又∵AB是⊙O的直径,∴AH是⊙O的切线.(2)5【分析】(1)根据同弧或等弧所对圆周角相等可得∠ADC＝∠BAD，进而判断CD∥AB，由AH⊥CD即可得出AH⊥AB,由此判定AH是⊙O的切线.(2)连接OC,过点C作CG⊥AB,垂足为G,构造矩形AHCG和直角三角形Rt△OCG,利用sin∠CAH＝55求出AG＝CH＝1，在Rt【详解】(1)略(2)解:连接OC,过点C作CG⊥AB,垂足为G,∵∠H＝∠HAG＝90°,∴四边形AHCG是矩形，∴CG＝AH＝2,AG＝CH,∵sin∠CAH∴∴AC∵在Rt△AHC中,A∴22+CH2∴AG＝CH＝1,设⊙O的半径为r,即OA＝OC＝r,则OG＝OA-AG＝r-1,∵在Rt△OCG中,O∴22+答：⊙O的半径为5【点睛】已知半径证垂直是解(1)的关键，小问(2)求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”.20.某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动.为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷问题1.你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动?(单选)①绘制校园平面地图②读书长廊地面铺设设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线⑤体育运动与心率的关系探究问题2.假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决?(可多选)A.查阅文献B.上网查询C.同伴合作D.寻求指导E.专业咨询问题问题3.你还想探究哪些领域的数学问题?【数据处理】信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表.解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济.【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：(1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；(2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；(3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率.【决策建议】(4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议.【答案】(1)参与调查的学生总数为50人，补全条形统计图如下：(2)采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人(3)两人恰好选择同一领域的概率为1(4)优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究.(言之有理即可)【分析】(1)由图可知，主题①的人数为5人，对应占比为10%，据此即可求解参与调查的总人数，由主题⑤的占比为12%可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计图；(2)根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解；(3)通过列表可得一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，即可求解；(4)根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议.【详解】(1)解:参与调查的学生总数为5÷10%＝50(人),选择项目⑤的学生人数为50×12%＝6(人),选择项目③的学生人数为50-5-13-14-6＝12(人)，补全条形统计图略.(2)解:500×∴采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人.(3)解：设分别用A，B，C表示科技、交通、经济三个领域，列表如下：ABCAAAABACBBABBBCCCACBcc由表可得，一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，∴两人恰好选择同一领域的概率为3(4)略21.我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰(俯)角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动.【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1.四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘.【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数.(1)如图2,左矩AB与视线PF重合,角度盘读数为31°(∠DAE＝31°),矩尺盘读数为6(DE＝6),可知仰角∠P＝∠DAE＝视线PF重合，角度盘读数为29∘∠DAE＝29∘,,矩尺盘读数为5.5(DE＝5.5),则仰角∠P＝,tan∠【应用探究】(2)综合实践小组测量某景区城门楼(如图4)的顶端E到地面的距离(EB的长度).如图5，某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°.已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E到地面的距离(结果精确到0.1m).【答案】(1)61°;1.8(2)8.3m【分析】(1)根据直角三角形两个锐角互余得出∠P＝90°-∠DAE＝61°，根据tan∠P＝tan∠AED,结合正切定义,求出结果即可;(2)设EF＝FN＝xm,则MF＝(20-x)m,则Rt△EMF中,根据tan∠EMF＝EFMF【详解】(1)解:根据题意可得:AG⊥PQ,∠AQP＝90°,∵∠DAE＝29°,∴∠P∵在正方形ABCD中∠ADC＝90°,∴∠AED∴∠P＝∠AED,∴tan∠P(2)解:根据题意得:BF＝CN＝1.6m,MN＝AC＝20m,∠EFM＝∠EFN＝90°,∠NGH＝45°,GH⊥MN,KL＝5,JK＝10,∴∠ENF∴Rt△EFN中,tan∠ENF即tan45∘＝∴EF＝FN,设EF＝FN＝xm,则MF＝(20-x)m,∵∠MJL+∠EMF＝∠MJL+∠KJL＝90°,∴∠EMF＝∠KJL,∴tan∠EMF∴Rt△EMF中,tan∠EMF＝EF即0.5＝解得:x≈6.67,∴EB＝EF+FB＝6.67+1.6＝8.27≈8.3(m),答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m.22.“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景(如图1).甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分(以下“花枪”均指花枪的中点).(1)如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面12m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是12m，花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3①设花枪离地面的高度为y(m)，到O点的水平距离为x(m).请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式；②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2110m,最小为12m(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度h(m)与时间t(s)之间的关系式是h＝-5t2【答案】(1)①如图，建立平面直角坐标系.函数表达式为y②d的取值范围为9(2)丙的平均速度为258【分析】(1)①由题意得,A1212,设函数表达式为：y＝a②当x＝d时,y＝-25(2)当h＝0时,-5t2+7t+【详解】(1)解:①由题意得,A121