教学材料《工程力学》-第九单元

9.1质点的运动规律点的运动规律是指点相对于某参考系的几何位置随时间变动的规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度1.点的运动方程设动点M相对于参考系Oxy运动，则M点在任一瞬时t的位置可由其坐标x,y来确定(图9一2);x,y均为时间t的单值连续函数，即返回下一页9.1质点的运动规律式(9一1)称为点的直角坐标表示的运动方程。由这个方程可以求出任一瞬时动点的坐标x、y，从而确定了该瞬时点在空间的位置将不同瞬时的t值代入直角坐标表示的点的运动方程，求出相应的坐标值，即确定了各瞬时点在空间的位置，并将它们连接成光滑曲线，就可得到动点的运动轨迹。此外，还可以消去式(9一1)中的参变量t，得到两坐标间的函数关系这样，也可得到动点的轨迹方程。上一页返回下一页9.1质点的运动规律2.质点的速度设动点M在直角坐标系Oxy内做平面曲线运动。在瞬时t，点在M处，其坐标为x,y在瞬时t1=t+△t，点在M1处，其坐标为x1、y1，如图9一4所示。显然，在△t时间内点的平均速度为点的瞬时速度为上一页返回下一页9.1质点的运动规律我们可以把点的曲线运动看成是沿x、y轴的两个直线运动合成的结果。将△t时间内的位移MM1投影在x,)轴上，则得坐标x、y的增量这样，点在x轴方向的平均速度为Vxp=△x/△t。当△t->0时，Vxp的极限值称为动点的瞬时速度在x轴上的投影，并记为Vx

，于是上一页返回下一页9.1质点的运动规律同理，可得动点的瞬时速度在y轴上的投影为即动点在某瞬时的速度可沿x,y轴方向分解为两个分速度(图9一5)，其大小就等于速度在x,y轴上的投影值。综上所述可知:速度可用它在x,y轴上的投影表示，速度在x(y)轴上的投影Vx(Vy)等于坐标x(y)对时间的一阶倒数。上一页返回下一页9.1质点的运动规律根据Vx

、Vy可求出速度的大小和方向，其大小为3.质点的加速度仿照求速度的方法，可求得加速度在x,y轴上的投影ax,ay(图9一6)为上一页返回下一页9.1质点的运动规律全加速度的大小为:全加速度的方向为:上一页返回9.2刚体的基本运动在工程实际中，刚体的运动有两种最常见的基本运动形式:刚体的平动和转动，刚体的一些较为复杂的运动可以归结为这两种基本运动的组合。因此刚体的平动和转动这两种基本运动形式是分析一般刚体运动的基础。1.刚体平动刚体平动是刚体最简单的一种运动。刚体运动时，如果刚体内任一直线都始终保持与原来的位置平行。则这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。例如直线轨道上车厢的运动，摆式输送机送料槽的运动[图9一8(a)、(b)〕等。返回下一页9.2刚体的基本运动刚体平动时，其上各点的轨迹若是直线，则称刚体做直线平动，如上述车厢的运动;其上各点轨迹若是曲线，则称刚体做曲线平动，如上述摆式输送机送料槽的运动。根据刚体平动的特点，可得如下结论:刚体平动时，体内各点的轨迹相同;在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此刚体上任一点的运动就可以代表整个刚体的运动。即刚体的平动的运动分析，可以转化为其上任一点的运动来研究。上一页返回下一页9.2刚体的基本运动2.刚体绕定轴转动电动机转子的运动、机器中齿轮的运动、钟表指针的运动等，都是定轴转动的实例。分析它们运动的共同特性，可得到刚体绕定轴转动的定义:刚体运动时，其内有一直线始终保持不动，而这条直线以外的各点都绕此直线以点到该直线的垂直距离为半径做圆周运动。刚体的这种运动称为刚体绕定轴转动，简称转动。刚体内固定不动的直线称为转动轴。上一页返回下一页9.2刚体的基本运动(1)转动方程描述刚体转动时，首先需要确定刚体在转动过程中任意瞬时的位置。为此，可通过转动轴Z取I、II平面(图9一9

a)。其中I平面与地面固定在一起，为一固定平面;II平面与刚体连接在一起，随同刚体一起转动，为一动平面。这样，刚体在任意瞬时位置，可用动平面II与固定平面I之间的夹角φ来确定(图9一9b)。φ称为转角，单位用弧度(rad)。φ为代数量，并规定刚体按逆时针方向转动时，转角φ取正值;反之取负值。显然，当转角φ已知时，刚体的位置也随之确定。刚体转动时，转角φ随时间t而变化，且转角φ是时间t的单值作绮函数.即上一页返回下一页9.2刚体的基本运动式9一11称为刚体转动的转动方程。(2)角速度和角加速度角速度是描述刚体转动快慢的物理量。设刚体在瞬时t的转角为φ，经过△φ之后，即在瞬时t+△t，刚体的转角为φ+△φ(图9-9c)。在时间△t内，转角的增量为△φ。转角增量△φ与对应时间间隔的比值称为刚体在△t时间内的平均角速度，用ωc表示，即上一页返回下一页9.2刚体的基本运动当△t->0时，平均角速度ωc所趋近的极限值就是刚体在瞬时t的角速度，用ω表示即角速度的单位为弧度/秒(rad/s)。在工程上常用转速表示转动的快慢，转速用N表示，单位为转/分(r/min或rpm)。N与ω的关系是上一页返回下一页9.2刚体的基本运动角加速度是描述刚体转动角速度变化快慢的物理量。设在瞬时t，刚体的角速度为ω，在瞬时t+△t，刚体的角速度为ω

+△ω,即在}t时间间隔内，刚体的角速度增量为△ω，得刚体在瞬时t的角速度(简称角加速度)，用ε表示为上式表明，刚体饶定轴转动的角加速度等于角速度对时间的一阶导数，或转角对时间的二阶导数。角加速度的单位为弧度/平方秒(rad/s2)。上一页返回下一页9.2刚体的基本运动3)转动刚体上各点的速度和加速度因刚体绕定轴转动时，除转轴上各点外，其余所有点都在垂直于转轴的平面作圆周运动，圆心位于点所在平面与转轴的交点，半径为该点到转轴的垂直距离。因此绕固定轴线转动的刚体，其上任意一点的运动都可看作是该点在平面内的圆周运动，这个面通过该点并垂直于转轴。由于点的运动为圆周运动，故可用自然法确定点的速度和加速度。观察转动刚体上的任意点M,该点到转轴的垂直距离为OM，通过这一点作平面与转轴垂直，这一点便在该平面内作圆周运动，其轨迹如图9一10所示。其中圆心。为平面与轴线的交点。上一页返回下一页9.2刚体的基本运动建立Ox坐标，以轴Ox与圆周交点M0，作为运动的起始点，并以此点作为弧坐标S的原点。以转角φ的增加方向作为弧坐标S的正向。设任意瞬时刚体转过的角度为φ=φ(t)，这是动点M从M0

运动到M,M点的弧坐标为此即为动点的运动方程。上一页返回下一页9.2刚体的基本运动考虑到圆弧的曲率半径ρ=R，则M点的速度、切向加速度和法向加速度的大小分别为:上一页返回下一页9.2刚体的基本运动根据(9一17)和(9一18)式，得到转动刚体上任意一点的加速度α的大小及其与法线之间的夹角分别为由于转动刚体在任意瞬时的角速度和角加速度数值都是确定的，故上述结果(9-16)至(9-20)式，可以得到如下结论:上一页返回下一页9.2刚体的基本运动(1)刚体绕固定轴线转动时，其上各点的速度和加速度大小均与点到转轴的垂直距离成正比。(2)刚体上所有点在任意瞬时的加速度α与点的圆周运动轨迹半径之间的夹角α，具有相同的数值，并且只与刚体在这一瞬时的角速度和角加速度有关，而与此点到转动中心的距离无关。图9一11

(a),(b)中所示分别为垂直转轴平面内沿半径方向各点的速度和加速度分布图。上一页返回9.3点的合成运动1.点的合成运动的概念前面研究点和刚体的基本运动时，都是以固结在地球表面的坐标系作为参考系的，所涉及的点的运动或刚体的运动，只要相对于这一个坐标系，即可完全被描述。但在工程问题中，只相对于一个坐标系，很难完整地描述物体的运动。这时往往需要相对于两个不同的坐标系，研究同一物体的运动。两个坐标系中，一个是固定的，另一个则相对于固定坐标系作一定的运动。当然，同一物体相对于这两个坐标系的运动是不同的，但这两种不同的运动之间又存在一定的关系。返回下一页9.3点的合成运动如果相对于固定坐标系的运动坐标系选择得适当，则有可能将比较复杂的运动分解为两个简单的运动，从而使问题大大简化。这在理论分析和工程应用上都具有重要的意义。(1)相对运动与绝对运动固结于相对静止物体(一般固结于地球上)的坐标系，称为“静坐标系”，相对于静坐标系有一定运动的坐标系，称为“动坐标系”。动坐标系一般固结于运动物体上。点或刚体相对于静坐标系的运动，称为“绝对运动”;相对于动坐标系的运动，称为“相对运动”。相对于两种坐标系中点的运动轨迹称为“绝对轨迹”与“相对轨迹”。上一页返回下一页9.3点的合成运动

以图9一13中所示的桥式起重机提升重物为例。起重机上部的行走小车A，在从左向右的行进过程中，小车上的卷扬机使重物向上运动。设瞬时t，小车处于位置A。重物(可视为动点)位于M处。在另一瞬时t+△t，小车前进到位置A',重物在提升的过程中运动到达M'处。相对地面而言(即观察者位于地面上)，重物沿轨迹}M’从M点运动到M’点，但相对于小车而言(即观察者位于小车上)，重物则在铅直方向运动轨迹从M点运动到M,点。显而易见，在不同的参考物体上所观察的物体运动是不相同的。为了确切地描述上述运动，需要建立不同的坐标系。对于一般情形，工程上通常把静坐际系固结于地面，用Oxy表示，把运动坐标系固结于运动物体，用O'x'y’表示。上一页返回下一页9.3点的合成运动对于图9一13中的重物，它在Oxy坐标中的运动，即沿MM，的运动为绝对运动，而在O'x'y'坐标中的运动，即沿铅直方向的运动，则为相对运动。(2)牵连运动通过对起吊重物的运动分析，可以看出，当小车不动、仅重物向上移动，观察者在地面上和小车上所观察到的重物运动都是垂直向上的直线运动。这时，重物的相对运动与绝对运动一致。因此，重物的相对运动与绝对运动的差异是由小车(即动坐标O'x'y')运动引起的。因为重物一方面相对于小车做垂直向上的运动，另一方面又被小车牵连在一起做水平方向向右的运动。前者为相对运动;后者则称为“牵连运动”。重物的绝对运动则是这两种运动合成的结果。上一页返回下一页9.3点的合成运动通常，将运动物体作为动参考体，并把运动坐标固结在动参考体上。我们把运动坐标系相对于静坐标系的运动，定义为“牵连运动”。显然，牵连运动的类型与刚体运动类型一致点或刚体的绝对运动是它们相对于动坐标系的相对运动与动坐标系相对于静坐标系的牵连运动的合成结果。研究运动的分析和合成问题，首先要选择好合适的静坐标系和动坐标系，然后分清什么是绝对运动、相对运动和牵连运动;最后分析各种运动的速度和加速度。上一页返回下一页9.3点的合成运动2.点的速度合成定理及其应用图9一13中所示的桥式起重机提升重物。在△t时间间隔内，重物的绝对轨迹为MM'，相对轨迹为M2M'，牵连轨迹为MM2。矢量MM'和MM2分别称为重物M在△t时间间隔内的绝对位移和相对位移:而MM2是在瞬时t小车(动坐标系)上与重物(动点)相重合的那一点的位移根据图9-13中这三个矢量之间的关系，可以得出:将上式等号两边同除以△t，然后取极限，得上一页返回下一页9.3点的合成运动根据速度的定义，上式中的三项分别为瞬时t动点的绝对速度、牵连速度和相对速度。故上式可以改写为上式中

va——瞬时t动点M在绝对运动(相对于静坐标系的运动)中的速度，即绝对速度;ve——瞬时t刚体或动坐标系上与动点M相重合的点(或牵连点)，在牵连运动(动坐标系相对于静坐标系的运动)中的速度，即牵连速度;vr——瞬时t动点在相对运动(相对于动坐标系的运动)中的速度，即相对速度。上一页返回下一页9.3点的合成运动(9-21)式表明:任意瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，这称为“速度合成定理”。应该指出，(9-21)式中，没有对牵连运动作任何限制，因此，速度合成定理对于任何形式的牵连运动都适用。需要注意的是，牵连运动不是点的运动，而是动坐标系的运动，即刚体的运动。动点在某一瞬时的牵连运动和加速度，也不能笼统地称为动坐标系相对于静坐标系的速度和加速度。因为，除平动外，动坐标系上各点的速度和加速度各不相同。因此，动点在某一瞬时的牵连速度和加速度，实际上是动坐标系上与动点相重合的那一点，即牵连点的速度和加速度。上一页返回9.4刚体的平面运动1.刚体平面运动的基本概念刚体的平面运动在工程中也是很常见的。例如，车辆的车轮沿直线轨道的滚动〔图9一15

(a)];曲柄连杆机构中连杆的运动〔图9一15(b)中的AB]:行星轮传动机构中行星轮的运动〔图9一15(c)中的A轮〕等，都属于平面运动。这类物体的运动既不是平动(因为其上任意直线运动后不能始终平行于原来的方向)，也不是绕固定轴线转动(因为其上没有一条永远不动的直线)，这类物体的运动特征是:运动过程中，刚体上任意点到某一固定平面的距离始终保持不变，或者说，刚体上任意点始终在某一个面内运动，这平面平行于空间某一固定平面。因此，刚体的这种运动称为“平面运动”。例如，滚动的车轮、连杆，行星轮A上的任意点都在平行于某一固定平面的平面内运动。返回下一页9.4刚体的平面运动2.刚体平面运动方程图9一16

(a)中所示的一般刚体，平面I为某一固定平面，作平面II平行于平面I，并与刚体相交。刚体上与平面且相交的部分，称为“平面图形”，用S表示。根据平面运动的特征，当刚体作平面运动时，平面图形S上各点始终在平面且运动。如果在平面运动的刚体上作平面图形S的垂线，则直线上所有点的运动，都与垂线和平面图形的交点〔例如图9一16(a)中的M点〕的运动完全相同，因此，研究做平面运动的刚体上各点的运动，只要研究平面图形S内各点在平面且的运动即可。从而将刚体的平面运动简化为平面图形S在其自身平面内的运动。上一页返回下一页9.4刚体的平面运动为研究平面图形5在其自身平面内的运动，在此平面内建立静坐标系Oxy如图所示。确定平面图形S在Oxy坐标系中的位置，只需确定图形上的任意直线段〔例如图9一16(b)中的O'M直线段」的位置。因为图形上任何第三点至这直线两端的距离都保持不变，故当直线段的位置确定之后，其余各点的位置便随之确定。直线段的位置由它任一端点的坐标以及直线段与Ox轴的夹角所确定。确定线段位置的端点(例如O')称为“基点”。综上所述，只要确定了平面图形S上的任意直线段的任一端点坐标，以及直线段与Ox轴的夹角φ，也就确定了平面图形S上任意点的位置，因此也就确定了作平面运动刚体上任意点的位置。上一页返回下一页9.4刚体的平面运动基点坐标(xo’,yo’)以及过基点的线段与Ox轴的夹角φ，都可表示成时间的单值连续函数。式(9一22)称为“刚体平面运动方程”。上一页返回下一页9.4刚体的平面运动3.平面运动刚体内各点速度的分析可以证明:刚体的平面运动(绝对运动)包含了随基点的平动(牵连运动)和相对绕基点转动(相对运动)这两种基本运动。或者说:刚体的平面运动由刚体随基点的平动和相对绕基点转动复合而成。关于基点的选择可以得出如下重要结论:平面图形的平动速度和平动加速度(即牵连速度和牵连加速度)与基点位置有关。实际分析中，总是以运动已知的点作为基点。(1)平面图形绕基点转动的角速度和角加速度(即相对运动的加速度和角加速度)与基点位置无关;上一页返回下一页9.4刚体的平面运动(2)任意瞬时平面图形绕其平面内任意点转动