教学材料《建筑力学》-模块12

任务12-1力法求解超静定结构１２.１.１超静定结构的概念为了认识超静定结构的特性,我们把它与静定结构作对比.一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定,这种结构称为静定结构.如图１２—１所示的刚架是静定结构的一个例子.如果一个结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定,则称为超静定结构.如图１２—２所示的刚架是超静定结构的一个例子.再从几何构造来看,如图１２—１所示的刚架和如图１２—２所示的刚架都是几何不变的.如果从图１２—１所示刚架中去掉支杆B,就变成几何可变体系.下一页返回任务12-1力法求解超静定结构而从图１２—２所示刚架中去掉支杆B,则仍是几何不变的,从几何组成上支杆B是多余联系,并称为一次超静定.由此引出如下结论:静定结构是没有多余联系的几何不变体系;超静定结构为有多余联系的几何不变体系.总之,有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性.１２.１.２超静定次数的确定超静定结构的多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定次数.如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构,那么,这个结构就是n次超静定.因此,可用去掉多余联系使原来的超静定结构变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数.上一页下一页返回任务12-1力法求解超静定结构去掉多余联系的方式,通常有以下几种:(１)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆,相当于去掉一个约束,如图１２—３(a)、(b)所示的两个结构都多出来一个约束,都是一次超静定结构.(２)去掉一个铰支座或内部的一个单铰,相当于去掉两个约束.图１２—４(a)、(b)所示的两个刚架都多出来两个约束,都是二次超静定结构.(３)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆,相当于去掉三个约束,如图１２—５(a)、(b)、(c)所示.(４)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接,相当于去掉一个约束,如图１２—６(a)、(b)、(c)所示.上一页下一页返回任务12-1力法求解超静定结构对于无铰封闭形结构,每一封闭框格都是三次超静定结构.实际工程中的单孔箱形结构、圆管都是三次超静定结构,如图１２—７(a)、(b)所示.用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数,去掉多余约束后的静定结构,称为原超静定结构的基本结构.对于同一个超静定结构来说,去掉多余约束可以有多种方法,所以,基本结构也有多种形式,但不论是采用哪种形式,所去掉的多余约束的数目必然是相同的.如图１２—８(a)所示的单跨超静定梁可以变成图１２—８(b)所示的简支梁,也可以变成图１２—８(c)所示的悬臂梁,但超静定次数仍然是一次.这里要强调的是,基本结构必须是几何不变的静定结构,如图１２—９(a)所示的刚架,如果去掉一个支座处的链杆,变成图１２—９(b)所示的瞬变体系,是不允许的.上一页下一页返回任务12-1力法求解超静定结构超静定结构的计算方法较多,基本方法有力法和位移法.对连续梁和无侧移刚架,用比较简单的力矩分配法.１２.１.３力法的基本原理１.力法的基本结构图１２—１０(a)所示为一端固定、另一端铰支的梁.承受荷载q的作用,EI为常数,该梁有一个多余联系,是一次超静定结构.对图１２—１０(a)所示的原结构,如果把支杆B作为多余联系去掉,并代之以多余未知力X１(简称多余力),则图１２—１０(a)所示的超静定梁就转化为图１２—１０(b)所示的静定梁.它承受着与图１２—１０(a)所示原结构相同的荷载q和多余力X１,这种去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构称为按力法计算的基本结构.上一页下一页返回任务12-1力法求解超静定结构２.力法的基本未知量现在要设法解出基本结构的多余力X１,一旦求得多余力X１,就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力.因此,多余力是最基本的未知力,又可称为力法的基本未知量.但是这个基本未知量X１不能用静力平衡条件求出,而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定.３.力法的基本方程对比原结构与基本结构的变形情况可知,原结构在支座B处由于有多余联系(竖向支杆)而不可能有竖向位移;而基本结构则因该联系已被去掉,在B点处即可能产生位移;上一页下一页返回任务12-1力法求解超静定结构只有当X１的数值与原结构支座链杆B实际发生的反力相等时,才能使基本结构在原有荷载q和多余力X１共同作用下,B点的竖向位移等于零.所以,用来确定X１的条件是:基本结构在原有荷载和多余力共同作用下,在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等.由上述可见,为了唯一确定超静定结构的反力和内力,必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件.４.力法的典型方程由力法基本原理可知,用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法的基本方程,求解多余力.对于多次超静定结构,其计算原理与一次超静定结构完全相同.上一页下一页返回任务12-1力法求解超静定结构５.力法计算超静定梁的步骤根据上述力法原理,用力法计算超静定结构内力的计算步骤如下:(１)去掉原结构的多余约束并代之以多余未知力,选取基本体系.(２)根据基本结构在多余未知力和原荷载的共同作用下,在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件,建立力法典型方程.(３)作出基本结构的单位内力图和荷载内力图,或写出内力表达式,按求静定结构位移的方法,计算系数和自由项.(４)解力法方程,求解多余未知力.(５)作内力图.上一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力１２.２.１位移法的基本原理１２.２.１.１位移法的基本思路位移法的基本思路是:以结构的独立节点角位移和节点线位移作为基本未知量,以原结构节点的静力平衡条件建立位移法方程,求解节点线位移和角位移,进而利用节点位移和杆端力之间的关系,求出全部结构内力.该方法由于采用了位移作为未知量,故取名为位移法.在建立方程的时候,位移法是根据静力平衡条件来建立的,而力法则是根据位移几何条件来建立的,这是两个方法的相互对应之处.这里主要分析由等截面直杆组成的刚架和连续梁.在位移法中,为了使计算得到简化并且不会引起太大的误差,通常作如下假设:(１)结构的变形是微小的.下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力(２)忽略杆件的轴向变形和剪切变形,各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不变.(３)节点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替.同时,在位移法中,为了计算上的方便,对杆端力和杆端位移的正、负号作出了统一规定,如图１２—１６(a)所示刚架结构在荷载作用下,截取杆件AB如图１２—１６(b)所示,用MAB和MBA表示杆端弯矩,QAB和QBA表示杆端剪力.杆端弯矩正、负号规定为:对杆端而言,杆端弯矩以顺时针转向为正;对节点或支座而言,则以逆时针转向为正[图１２—１６(c)].上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力图中所画的杆端弯矩都是正的.应特别注意的是:这种对弯矩正、负号的规定,只适用于杆端弯矩,对于杆件间任一截面仍不需要标明正、负号,只是画弯矩图时应将弯矩画在杆件受拉一侧.杆端剪力的符号规定则与一般剪力的符号规定相同,即绕截离体内部截面附近一点有顺时针转动趋势的杆端剪力为正.为了区别杆端位移产生的杆端力,我们把荷载在梁上产生的杆端弯矩、杆端剪力称为固端弯矩、固端剪力,并用MF、QF表示.１２.２.１.２位移法的基本未知量的确定用位移法计算超静定结构时,是以刚结点的角位移和独立的结点线位移作为基本未知量的.因此,计算时先要确定作为基本未知量的角位移和线位移.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力１.结点角位移确定独立的结点角位移数目比较容易.由于在同一刚结点处的各杆端的转角都相等,即每一个刚结点只有一个独立的角位移.因此,结构有几个刚结点就有几个角位移.图１２—１８(a)有６个角位移,图１２—１８(b)有３个角位移.这是因为图１２—１８(b)中组合结点A处有２个刚结点,A处有２个角位移,B点有１个角位移,共３个角位移.至于铰结点或铰支座处各杆端的转角,它们不是独立的,在确定一端固定另一端铰支的等截面直杆的杆端弯矩时,可不需要它们的数值,一般不取为基本未知量.这样,结点角位移未知量的数目就等于结构刚结点的数目.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力２.独立的结点线位移由于位移法中变形前后杆端连线的长度保持不变,结点的线位移可以用垂直于杆件的直线来代替.如图１２—１９(a)所示结点A只能产生水平位移,设其为Δ,向右与AC垂直,由于AB长度不变,B点也产生向右位移Δ,且与BD垂直.因此,这个刚架只有１个线位移Δ.Δ也是横梁AB产生的刚体平移位移,它对横梁AB本身的内力无影响.由以上分析可知图１２—１９(a)所示刚架自由结点位移只有２个,即刚结点的角位移θ和结点A、结点B的线位移Δ.分别用Z１和Z２来表示作为位移法基本未知量.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力对于简单刚架的结点线位移,可通过观察判断确定.对于复杂刚架结点线位移数目的确定,有一种简便的方法:在确定独立的结点线位移数目时,首先可把原结构的所有刚结点和固定支座假设改为铰,这就得到一个铰接图形.若此铰接图形是几何不变体系,则可以知道原结构所有结点均无线位移.如果这个铰接图形是几何可变或瞬变的,则可以通过添加链杆使其成为几何不变,所需添加的最少链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目.如图１２—１９(b)所示的刚架,把所有的刚结点及固定支座都换为铰后,它变成了一个几何可变的铰接体系,然后再加２根支座链杆,这时体系就变为几何不变的,如图１２—１９(c)所示.因此,原结构有２个独立的结点线位移,即C点和D点水平线位移Δ１,E点和F点水平线位移Δ２.再如图１２—２０(a)、(b)所示的刚架,用上述方法很容易确定出结点线位移数目分别为０和１.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力１２.２.１.３位移法基本结构的确定用位移法解算超静定结构时,是把超静定结构看成由若干个单跨梁组成的.因此,位移法的基本结构是把刚架取为一组单跨梁,单跨梁多数是超静定的,个别的可以是静定的,例如,悬臂梁.建立位移法的基本结构,可在刚架的每个刚性结点上假想地加上一个附加刚臂,以阻止刚结点的转动,但不能阻止刚结点的移动;对产生线位移的结点加上附加链杆,以阻止其线位移,而不阻止结点的转动.这样,就得到了单跨梁的组合体.这就是位移法的基本结构.图１２—２１(a)所示为一超静定刚架,它有两个刚结点D、E,两结点有相同的线位移,其个数为１.如在刚结点D、E处分别加两个刚臂,在E点加一根水平支座链杆,就得到如图１２—２１(b)所示的基本结构,这个基本结构由５根单跨超静定梁组成.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力位移法的基本结构是通过增加刚臂和链杆得到的,一般情况下,只有一种形式的基本结构.这与力法不同,力法的基本结构是通过减少约束,用多余未知力来代替多余约束,采用静定结构作为基本结构,因此,它的基本结构可有多种形式.１２.２.２等截面直杆的转角位移方程位移法在确定基本未知量和基本结构以后,就可以将各杆段单独隔离出来分析,找出基本未知量和杆上的荷载与杆端内力的关系式,这样的关系式就是转角位移方程.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力１２.２.３用位移法计算连续梁和超静定刚架１２.２.３.１位移法计算连续梁和超静定刚架的计算步骤位移法计算连续梁及超静定刚架一般步骤如下:(１)确定基本未知量和基本结构.(２)列出各杆端转角位移方程.(３)根据平衡条件建立位移法基本方程(一般对有转角位移的刚节点取力矩平衡方程,有节点线位移时则考虑线位移方向的静力平衡方程).(４)解出未知量.(５)求出杆端内力.(６)作出内力图.上一页下一页返回任务12-2位移法求解超静定结构的内力１２.２.３.２无节点线位移结构的计算如果结构的各节点只有转角而没有线位移,则为无节点线位移结构.用位移法计算时,只有节点转角基本未知量,故仅需建立刚节点处的力矩平衡方程,就可求解出全部未知量进而计算杆端弯矩,绘出内力图.１２.２.３.３有节点线位移结构的计算如果结构的节点有线位移,则此结构称为有节点线位移结构.对于有节点线位移的刚架来说,一般要考虑杆端剪力,建立线位移方向的静力平衡方程和刚节点处的力矩平衡方程,才能解出未知量.上一页返回任务12-3力矩分配法求解超静定结构的内力

１２.３.１力矩分配法的基本原理力矩分配法是计算连续梁和无侧移钢架的一种实用计算方法,其不需要建立和求解基本方程,可用逐次渐进的方法来计算端杆弯矩,运算简单,便于掌握,适合手算.下面举例说明力矩分配法的基本思路.图１２—２７(a)所示为只有一个刚结点的两跨连续梁,在荷载作用下梁的变形如虚线所示,刚结点B转动了一个转角θB,在结点B处,AB杆的B端产生弯矩MBA,BC杆的B端产生弯矩MBC.取结点B为分离体,如图１２—２７(b)所示,可知杆端弯矩MBA和MBC组成平衡力系.下一页返回任务12-3力矩分配法求解超静定结构的内力

１２.３.２力矩分配法中的几个基本概念１.转动刚度转动刚度表示杆端抵抗转动的能力,它在数值上等于使杆端产生单位转角(其他位移分量为零)时所需要施加的力矩,杆端的转动刚度用S表示.任一杆件AB,假定杆件各截面EI相同,且为常数,忽略轴向变形,其A端转动刚度为SAB,A端是截面被转动的施力端,称为近端,B端为远端,当远端支撑情况不同时,SAB的数值就不同.图１２—２８中绘出等截面杆在A端的转动刚度SAB的值,其中i＝EI/l,称为杆的线刚度.上一页下一页返回任务12-3力矩分配法求解超静定结构的内力

２.分配系数如图１２—２９(a)所示的刚架为具有结点外力矩的单节点结构,A端为固定支座,C端为铰支座,D端为滑动端支座.在结点B处作用一集中力偶M,设各杆的线刚度分别为iBA、iBC、iBD.在结点力矩M作用下,各杆在汇交点B处将产生相同的转角使杆端产生转角θB,各杆发生的变形如图中双点画线所示