教学材料《建筑力学》-模块9

任务9-1杆件体系的分类与几何组成分析的目的

９.１.１几何不变体系和几何可变体系平面杆系结构是由若干个在同一平面内的杆件相互连接而组成的结构,在土木工程、机械、船舶、水利、桥梁等工程中应用广泛.作为结构应能承受外荷载的作用,而杆件之间如何连接组成一个合理的受力体系是关键.有的体系能作为结构来使用,而有的体系却不能承受荷载,故不能作为结构来使用,只能作为机构来使用.例如,如图９—１(a)所示,由两根杆件与地基组成的铰结三角形,受到任意荷载作用时,若不考虑材料变形,则其几何形状与位置均能保持不变;而图９—１(b)所示的铰结四边形,即使不考虑材料的变形,在很小的荷载作用下,也会发生与地面的相对运动而不能保持原有的几何形状和位置.下一页返回任务9-1杆件体系的分类与几何组成分析的目的

根据杆件体系的形状和位置,杆件体系可分为以下两类:(１)几何不变体系.在不考虑材料自身变形的前提下,在任意荷载作用下,体系的几何形状和位置保持不变的体系称为几何不变体系.(２)几何可变体系.在不考虑材料自身变形的前提下,即使在很小的荷载作用下,体系也会发生机械运动而不能保持原有的几何形状和位置的体系称为几何可变体系.一般工程结构都应为几何不变体系,而不能采用几何可变体系.因为几何可变体系不能承受荷载而保持平衡状态.因此,在结构设计中应首先判断所采用的体系是否为几何不变体系,只有几何不变体系才能作为结构使用.判断体系为几何不变体系还是几何可变体系的分析工作,称为体系的几何组成分析.上一页下一页返回任务9-1杆件体系的分类与几何组成分析的目的

９.１.２几何组成分析的目的只有几何不变体系才能作为承担荷载的结构,而且杆件结构的受力性能和计算方法,都与其几何组成有关,所以,对杆件体系进行几何组成分析的目的主要是:(１)判断某一体系是否为几何不变体系,从而确定它能否作为结构,以保证结构的几何不变性.(２)根据体系的几何组成,确定结构是静定结构的还是超静定结构的,从而选择相应的计算方法.(３)通过几何组成分析,明确结构各部分在几何组成上的相互关系,从而选择简便合理的计算顺序.(４)研究几何不变体系的组成规则,为结构设计提供依据.上一页返回任务9-2自由度和约束９.２.１自由度确定物体几何位置所需的独立坐标数目,称为该体系的自由度.自由度也可以表述为物体运动时可以独立变化的几何参数的数目.例如,平面内的一个点,其平面内的位置需要用平面内的两个坐标x和y来确定,如图９—２(a)所示,因此,平面内一点的自由度为２.从物体运动观点来分析,当平面内一点从A点移动到A′点时,可以分解为两种独立的运动,即沿水平方向移动Δx,以及沿垂直方向移动Δy,此时,其独立变化的坐标数目为Δx和Δy,如图９—２(b)所示.所以,平面内一个点的自由度为２.下一页返回任务9-2自由度和约束一个刚片在平面内自由运动时,其位置可由其上任一点A的坐标x、y和任一直线AB的倾角φ来确定,如图９—２(c)所示,因此,一个刚片的自由度为３.９.２.２约束约束又称联系,是体系中构件之间或者体系与基础之间的连接装置.约束使构件(刚片)之间的相对运动受到限制,因此,约束的存在将会使体系的自由度减少.一种约束装置的约束数等于它使体系减少的自由度数.常见的约束类型有链杆、铰、刚性连接.９.２.３必要约束和多余约束必要约束:为保持体系几何不变必须具有的约束.多余约束:撤去之后体系仍能保持几何不变的约束.上一页下一页返回任务9-2自由度和约束如图９—９(a)所示,平面内有一自由点A,A点通过两根链杆与基础相连,这时两根链杆分别使A点减少一个自由度而使A点固定不动,因而两根链杆都非多余约束,因而两者皆为必要约束;在图９—９(b)中,A点通过三根链杆与基础相连,这时A虽然固定不动,但减少的自由度仍然为２,显然三根链杆中有一根没有起到减少自由度的作用,因而是多余约束(可把其中任意一根作为多余约束).应当指出,多余约束只说明为保持体系几何不变是多余的,但在几何体系中增设多余约束,往往可以改善结构的受力状况,并非真的多余.上一页返回任务9-3虚铰和瞬变体系９.３.１虚铰虚铰是一类特殊的约束.如图９—１０所示的体系中,刚片Ⅰ在平面上本来有３个自由度,用两根不共线链杆１和２把它与基础相连接,则此体系仍有１个自由度.现对它的运动特性加以分析.由于链杆的约束作用,A点的微小位移应与链杆１垂直;C点的微小位移应与链杆２垂直.以O表示两根链杆轴线的交点,显然,刚片Ⅰ可以发生以O为中心的微小转动.O点称为瞬时转动中心.这时,刚片Ⅰ的瞬时运动情况与它在O点用铰与基础相连接时的运动情况完全相同.因此,从瞬时微小运动来看,两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点O处的一个铰所起的约束作用.这个铰称为虚铰.在体系运动过程中,虚铰的位置也在不断变化.下一页返回任务9-3虚铰和瞬变体系９.３.２瞬变体系如图９—１１(a)所示,在点A加一根水平的支座链杆１后,A点还可以移动,是几何可变体系.图９—１１(b)是用两根不在一条直线上的支座链杆１和２把A点连接在基础上,A点上下、左右移动的自由度全被限制住了,不能发生移动.故图９—１１(b)是约束数目恰好够用的几何不变体系,称为无多余约束的几何不变体系.图９—１１(c)是在图９—１１(b)上又增加一根水平的支座链杆３,这第三根链杆就保持几何不变而言是多余的.故图９—１１(c)是有一个多余约束的几何不变体系.上一页下一页返回任务9-3虚铰和瞬变体系图９—１１(d)是用在一条水平直线上的两根链杆１和２把A点连接在基础上,保持几何不变的约束数目是够用的.但是,这两根水平链杆只能限制A点的水平位移,不能限制A点的竖向位移.在图９—１１(d)中,两根链杆处于水平线上的瞬时,A点可以发生很微小的竖向位移到A′点处.这时,链杆１和２不再在一直线上,A′点就不继续向下移动了.这种本来是几何可变的,经微小位移后又成为几何不变的体系,称为瞬变体系.瞬变体系是约束数目够用,但由于约束的布置不恰当而形成的体系.瞬变体系在工程中不能采用.上一页返回任务9-4几何不变体系的基本规则工程结构必须采用几何不变体系,本节讨论无多余约束的几何不变体系的基本组成规则.无多余约束是指体系内的约束恰好使该体系成为几何不变体系,只要去掉任何一个约束就会使体系变成几何可变体系.其基本组成规则有两刚片规则、三刚片规则和二元体规则.１.规则一(两刚片规则)两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连,组成无多余约束的几何不变体系.如图９—１２(a)所示,刚片Ⅰ、Ⅱ用３根链杆连在一起,其中链杆１、２可以看作交于O点的虚铰.如果没有链杆３,刚片Ⅰ、Ⅱ可能发生绕O点的相对转动,可是,链杆３的存在限制了二者的相对运动,所以,这时组成的体系是几何不变的.下一页返回任务9-4几何不变体系的基本规则上述规则也可表述为:两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连,组成无多余约束的几何不变体系.如果三根链杆相交于一点,如图９—１２(b)所示,两刚片可绕O点相对转动,转动后,三杆就不再相交于一点了,两刚片就不能继续相对运动了,所以,该体系为几何瞬变体系.如果三根链杆相互平行且不等长,如图９—１２(c)所示,两刚片可做微小的相对移动,移动后,三杆不再平行,所以,该体系为几何瞬变体系.如果三根链杆相互平行且等长,如图９—１２(d)所示,两刚片可做微小的相对移动,移动后,三杆仍平行,所以,该体系为几何可变体系.上一页下一页返回任务9-4几何不变体系的基本规则２.规则二(三刚片规则)三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰(可以是虚铰)两两相连,组成无多余约束的几何不变体系.如图９—１３(a)所示,三个刚片用不在同一直线上的三个单铰连接在一起,这三个点的连接组成一个三角形,因为三边的长度是定值,所以,该体系是几何不变体系.利用一个单铰与相交于该点的两根链杆的约束作用相同的性质,将三个铰中的任意一个或几个用相应的链杆代替,规则仍然正确.图９—１３(b)所示的体系是由三个刚片组成的.其中每两个刚片都是由两根链杆相连,而且每两根链杆都相交于一点,构成一个虚铰.这三个刚片是由三个不在同一直线的虚铰两两相连,所构成的体系也是几何不变体系.上一页下一页返回任务9-4几何不变体系的基本规则如果三个铰在一条直线上,如图９—１３(c)所示,此时铰１可以发生微小的移动.发生移动后,由于三个铰不再共线,因此,就不再继续运动,所以,该体系是几何瞬变体系.３.规则三(二元体规则)在体系上加上或拆去一个二元体,不会改变体系的几何性质和多余约束数,即不改变体系原有的自由度数.二元体是指两根不共线的链杆相互铰接而形成的体系.二元体可以用两根链杆的公共结点来表示,如图９—１４所示,链杆１、２构成二元体,刚片上A、B两点的距离和两根链杆的长度都是不变的,因而三角形ABC的形状是唯一确定的几何不变体系.上一页下一页返回任务9-4几何不变体系的基本规则利用二元体规则简化体系,使体系的几何组成分析简单、明了.如果注意到链杆也是一种特殊的几何不变的刚片,就不难理解上述三个规则其实是相通的,三个规则可互相变换,都归结为边长给定的三角形形状的唯一性,可统一用铰接三角形规则(简称三角形规则)来描述,即平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系.用以上三种不同的表达方式,是为了在具体的几何组成分析中应用方便,表达简捷.这三个规则中分别要求的两根链杆不共线、三根链杆不共点和三个铰不共线等条件本质是一致的,即都是为了保证形成一个三角形.上一页返回任务9-5平面体系几何组成分析举例几何不变体系的基本组成规则,是进行几何组成分析的依据.对体系灵活使用这些规则,就可以判定体系是否为几何不变体系及有无多余约束等问题.其分析方法如下:(１)选择刚片.在体系中任一杆件或某个几何不变的部分(如基础、铰接三角形),都可选作刚片.在选择刚片时,要考虑哪些是连接这些刚片的约束.(２)扩大刚片.先从能直接观察出的几何不变的部分开始,应用几何组成规则,逐步扩大几何不变部分直至整体.下一页返回任务9-5平面体系几何组成分析举例(３)简化体系.对于复杂体系可以采用以下方法简化体系:１)当体系