教学材料《建筑力学》-模块4

任务4-1力的等效平移为了将平面一般力系简化为两种力系,首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题.设刚体的A点作用有一个力F[图４—１(a)],在此刚体上任取一点O,现在来讨论怎样才能把力F平移到O点,而不改变其原来的作用效应.可在O点加上两个大小相等、方向相反,与F平行的力F′和F″,且F′＝F″＝F[图４—１(b)].根据加减平衡力系公理,F、F′和F″与图４—１(a)的F对刚体的作用效应相同.显然F″和F组成一个力偶,其力偶矩为M＝Fd＝MO(F)(４—１)这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶[图４—１(c)].由此可得力的平移定理:作用在刚体上的力F,可以平移到同一刚体上的任一点O,但必须附加一个力偶,其力偶矩等于力F对新作用点点O之矩.下一页返回任务4-1力的等效平移根据上述力的平移的逆过程,共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力,该力的大小和方向与原力相同,其作用线之间的垂直距离为d＝M/F′(４—２)力的平移定理是平面一般力系向任一点简化的理论依据,也是分析力对物体作用效应的一个重要方法.例如,如图４—２(a)所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F的作用,为分析F的作用效应,可将力F平移到柱子的轴线上的O点处,根据力的平移定理得到一个力F′,同时,还必须附加一个力偶[图４—２(b)].力F经平移后,它对柱子的变形效果就可以很明显地看出,力F′使柱子轴向受压,力偶使柱弯曲.上一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

４.２.１简化方法和结果设刚体上作用有平面一般力系F１,F２,...,Fn,各力的作用点分别为A１,A２,...,An,如图４—３所示.在力系的作用面内任选一点O,称为简化中心.根据力的平移定理,将各力平移到O点,其结果得到一个作用于O点的平面汇交力系F′１,F′２,...,F′n和一个附加的平面力偶系,其力偶矩分别为m１,m２,...,mn.其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同,即F′１＝F１,F′２＝F２,...,F′n＝Fn各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩,即m１＝mO(F１),m２＝mO(F２),...,mn＝mO(Fn)下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

由平面汇交力系合成的理论可知,F′１,F′２,...,F′n可合成为一个作用于O点的力,这个力的矢量F′称为原力系的主矢.则有:F′＝F′１＋F′２＋...＋F′n＝∑F′i＝∑Fi(４—３)在计算主矢F′时,引进参考直角坐标系xOy,据合力投影定理F′x＝∑F′ix＝∑FixF′y＝∑F′iy＝∑Fiy上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

指向由F′x、F′y的正负号判断.附加的平面力偶系可以合成一合力偶,其力偶矩MO称为原力系向O点简化的主矩.显然MO＝∑mi＝∑mO(Fi)(４—５)所以,对平面任意力系向任一点简化的结果可以总结如下:平面一般力系向作用面内任一点简化的结果,是一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,它的矢量称为原力系的主矢,并等于原力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩,并等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和.上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

应当注意的是,作用于简化中心的力F′一般并不是原力系的合力,力偶矩为MO的力偶也不是原力系的合力偶,只有F′与MO两者相结合才与原力系等效.由于主矢等于原力系中各力的矢量和,因此,主矢F的大小和方向与简化中心的位置无关.而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和,取不同的点作为简化中心,各力的力臂都要发生变化,则各力对简化中心的力矩也会改变.因此,主矩一般随着简化中心的位置改变而改变(即主矩与简化中心有关).上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

４.２.２平面一般力系简化结果的讨论平面一般力系向一点简化,一般可得到一个力和一个力偶,但这并不是最后的简化结果.根据主矢与主矩是否存在,可能出现下列几种情况.(１)主矢不为零,主矩为零,即F′≠０,MO＝０由于附加力偶系的合力偶矩为零,原力系只与一个力等效,因此,在这种特殊情况下,力系简化为一合力,此合力的矢量即为力系的主矢F′,合力作用线通过简化中心O点.(２)主矢、主矩均不为零,即F′≠０,MO≠０上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

在这种情况下,力系等效于一作用于简化中心O的力F′和一力偶矩为MO的力偶.由力的平移定理知,一个力可以等效地变换成为一个力和一个力偶,那么,反过来也可将一个力和一个力偶等效地变换成为一个力,如图４—４所示.将力偶矩为MO的力偶用两个反向平行力F′、F″表示,并使F′和F″等值、共线,使它们构成一平衡力,如图４—４(b)所示,为保持MO不变,取力臂d为d＝|MO|/F′＝|MO|/F(４—６)将F″和F′这一平衡力系去掉,这样就只剩下F力与原力系等效[图４—４(c)].合力F在O点的哪一侧,由F对O点的力矩的转向与主矩MO的转向相一致来确定.上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

(３)主矢为零,主矩不为零,即F′＝０,MO≠０在这种情况下,平面任意力系中各力向简化中心等效平移后,所得到的汇交力系是平衡力系,原力系与附加力偶系等效.原力系简化为一合力偶,该力偶的矩就是原力系相对于简化中心O的主矩MO.由于原力系等效于一力偶,而力偶对平面内任意一点的矩都相同,因此,当力系简化为一力偶时,主矩与简化中心的位置无关,向不同点简化,所得主矩相同.(４)主矢与主矩均为零,即F′＝０,MO＝０在这种情况下,平面任意力系是一个平衡力系.上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

总之,对不同的平面任意力系进行简化,其最后结果只有三种可能性:①合力;②合力偶;③平衡.４.２.３平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知,当F′≠０,MO≠０时,还可进一步简化为一合力F,如图４—４所示,合力对O点的力矩是:mO(F)＝F.d＝MO而MO是力系中各力(分力)对O点的力矩的代数和:MO＝∑MO(Fi)上一页下一页返回任务4-2平面一般力系向作用面内任一点简化

所以MO(F)＝∑MO(Fi)由于简化中心O是任意选取的,故上式有普遍的意义.于是可得到平面力系的合力矩定理:平面一般力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和.上一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

４.３.１平面一般力系的平衡条件平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F′和主矩MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一定是平衡力系;反之,如果主矢F′和主矩MO中有一个不等于零或两个都不等于零时,则平面一般力系就可以简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡.因此,平面一般力系平衡的必要与充分条件是,力系的主矢和力系对平面内任一点的主矩都等于零.即F′＝０MO＝０下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

４.３.２平面一般力系的平衡方程１.平面一般力系平衡的基本形式由于

于是平面一般力系的平衡条件为∑Fx＝０∑Fy＝０∑mO(Fi)＝０(４—７)上一页下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

式(４—７)表明,平面一般力系处于平衡的充分必要条件是:力系中所有各力在x坐标轴上投影的代数和等于零;力系中所有各力在y轴上的投影的代数和为零;力系中各力对作用面内任一点的力矩的代数和等于零.式(４—７)为平面一般力系的平衡方程的基本形式(一矩式平衡方程).其中前两式称为投影方程,后一式称为力矩方程.平面一般力系有三个独立的平衡方程,可以求解三个未知量.２.平面一般力系平衡方程的其他形式除上述基本形式外,还可将平面一般力系平衡方程表示为二矩矢及三矩矢.上一页下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

(１)二矩矢的平衡方程.在力系作用面内任取两点A、B及x轴,如图４—６所示,可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即∑Fx＝０∑mA(F)＝０∑mB(F)＝０(４—８)式中,x轴不与A、B两点的连线垂直.证明:首先将平面一般力系向A点简化,一般可得到过A点的一个力和一个力偶.若MA＝０成立,则力系只能简化为通过A点的合力R或成平衡状态.如果∑MB＝０又成立,说明FR必通过B.上一页下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

可见,合力FR的作用线必为AB连线.又因∑Fx＝０成立,则FRx＝∑Fx＝０,即合力FR在x轴上的投影为零,因AB连线不垂直于x轴,合力FR也不垂直于x轴,由FRx＝０可推得FR＝０.可见,满足式(４—８)的平面一般力系,若将其向A点简化,其主矩和主矢都等于零,所以,力系必为平衡力系.(２)三矩式的平衡方程.在力系作用面内任意取三个不在同一直线上的点A、B、C,如图４—７所示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即∑mA(F)＝０∑mB(F)＝０∑mC(F)＝０(４—９)上一页下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

同上面讨论一样,若∑MA(F)＝０和∑MB(F)＝０成立,则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个力(图４—７)或者平衡.如果∑MC(F)＝０也成立,则合力必然通过C点,而一个力不可能同时通过不在同一直线上的三点,除非合力为零,∑MC＝０才能成立.因此,力系必然是平衡力系.综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式(４—７)、式(４—８)、式(４—９),在解题时可以根据具体情况选取某一种形式.无论采用哪种形式,都最多只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数.任何第四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果.上一页下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

４.３.３平面力系平衡方程如前所述,力系中各力的作用线在同一平面内且相互平行,这样的力系称为平面平行力系.平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系都是平面任意力系的特殊情况.这三种力系的平衡方程都可以作为平面任意力系平衡方程的特例而导出.下面导出平面平行力系的平衡方程.如图４—８所示,设物体受平面平行力系F１,F２,...,Fn的作用.如选取x轴与各力垂直,则无论力系是否平衡,每一个力在x轴上的投影恒等于零,即∑Fx≡０.于是,平面平行力系只有两个独立的平衡方程,即∑Fy＝０∑mO(Fi)＝０}(４—１０)上一页下一页返回任务4-3平面一般力系的平衡条件及其应用

平面平行力系的平衡方程,也可以写成二力矩式的形式,即∑mA(Fi)＝０∑mB(Fi)＝０}(４—１１)式中,A、B两点的连线不与力线平行.利用平面平行力