2027届新高考数学精准突破复习数列的综合应用

2027届新高考数学精准突破复习数列的综合应用【课标要求】1.会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题.2.掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法.【知识要点】1.数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数.(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程.(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究.(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等.2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.3.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是Sn与Sn+1之间的递推关系.

D

2.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀的形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁?各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为(

)A.8 B.11

C.14

D.16B

3.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=2n，现从数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列{cn}，则数列{cn}的前150项之和为(

)A.23804 B.23946C.24100 D.24612D

B

5.数列{an}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为

.

考点1等差与等比数列的综合问题

(1)求{an}的通项公式及Sn;

[小结]对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.

巩固训练(1)求Sn，Tn;

(2)直接比较Sn与Tn的大小关系(不要求证明).[解析](2)Tn-Sn=3×2n-3-(3n+180)=3(2n-n-61)，令cn=2n-n-61，则cn+1-cn=[2n+1-(n+1)-61]-(2n-n-61)=2n-1>0，所以，数列{cn}单调递增，因为c6=26-6-61=-3<0，c7=27-7-61=60>0，所以，当1≤n≤6时，Tn-Sn=3cn≤3c6<0，即Tn<Sn;当n≥7时，Tn-Sn=3cn≥3c7>0，即Tn>Sn.考点2数列与不等式的综合问题

(1)求数列{an}的通项公式;

[小结]数列与不等式的综合问题的两个方面(1)数列型不等式恒成立或存在性问题,先参变分离,转化为最值问题,数列的最值常选择用作差或者作商来处理;(2)数列不等式有时候需要用放缩法来证明,将通项放大或缩小成可以求和的形式再证明.2.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a4，a13成等比数列，{an}的前n项和为Sn，S2+S5=43，设bn=2n·an，数列{bn}的前n项和为Tn，(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若不等式(Tn-2)λ+2Sn-11n+3≤0对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值.巩固训练(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若不等式(Tn-2)λ+2Sn-11n+3≤0对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值.

因为不等式(Tn-2)λ+2Sn-11n+3≤0对一切n∈N*恒成立，所以(2n-1)·2n+1·λ+2n2-7n+3≤0且(2n-1)·2n+1>0，

考点3数列与函数的综合问题

[小结]数列与函数的综合的两个方面(1)以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系;(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.

巩固训练(1)求数列{an}的通项公式;[解析](1)由(q-1)Sn=qan-1(q>0)得(q-1)S1=qa1-1，即(q-1)a1=qa1-1，所以a1=1.若q=1，则an=1;若q≠1，则由(q-1)Sn=qan-1得(q-1)Sn-1=qan-1-1(n≥2)，两式相减得(q-1)an=(qan-1)-(qan-1-1)=qan-qan-1(n≥2)，化简得an=qan-1(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此an=qn-1，当q=1时，也满足该式，故an=qn-1，(q>0).

(3)若对任意正整数n都有an+1≥n成立，求正实数q的取值范围.

考点4数列模型及应用例4雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下:将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向外作正三角形，再去掉公共边，得到图②;将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③;……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线(Kochsnowflake).现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为P1，P2，…，Pn，….小明为了研究图形Pn的面积，把图形Pn的面积记为an，假设a1=1，并作了如下探究:

P1P2P3P4…Pn边数31248192…

从P2起，每一个图形比前一个图形多出的三角形的个数

31248…

从P2起，每一个图形比前一个图形多出的每一个三角形的面积

…

根据小明的假设与思路，解答下列问题.(1)填写表格最后一列，并写出an与an-1(n∈N*，n≥2)的关系式;

P1P2P3P4…Pn边数31248192…3×4n-1

从P2起，每一个图形比前一个图形多出的三角形的个数

31248…3×4n-2

从P2起，每一个图形比前一个图形多出的每一个三角形的面积

…

(2)根据(1)得到的递推公式，求{an}的通项公式;

[小结]解数列应用题的建模思路从实际出发,通过抽象概括建立数学模型,通过对模型的解析,再返回实际中去,其思路框图为:4.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为:公司A:第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元:公司B:第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作.(1)若此人选择在一家公司连续工作n年，第n年的月工资分别为多少?(2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多?(1.0510≈1.63).巩固训练(1)若此人选择在一家公司连续工作n年，第n年的月工资分别为多少?[解析](1)选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元，则他第n年的月工资是:3