2025-2026学年上海市静安区民立中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市静安区民立中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（共54分）1．已知两点，，则线段的垂直平分线方程为．2．椭圆的焦点坐标为和，则的值为．3．某校高三老师的年龄分布茎叶图，如图所示，则该校高三老师成员年龄的第75百分位数是．4．过圆上一点的圆的切线方程是．5．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为．6．设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为．7．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形，其中，再将所得平面图形（如图）以线段为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为．8．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是．9．如图，已知二面角的大小为，已知，两点在棱上，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为．10．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等腰三角形，，，若，且，则异面直线与所成角的大小为．11．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为．12．如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆上的动点，则△面积的最大值为．二、单选题（4*2+5*2＝18分）13．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，714．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（）A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥15．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是A． B． C． D．16．下列五个命题：①直线的斜率，，则直线的倾斜角的范围是；②直线与过，两点的线段相交，则或；③如果实数，满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是；⑤方程表示圆的充要条件是或；正确的是（）A．②③ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤三、解答题（14+14+16+16+18＝78分）17．已知直线，直线，（1）若与相交，求实数的值；（2）若与平行．求实数的值并求出此时两直线间的距离．18．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．19．（16分）如图，在正方体中，，分别是，的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（16分）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求实数的值；若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有1000名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；（2）王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：，，，，．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．21．（18分）已知圆和圆．（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．

参考答案一、填空题（4*6+5*6＝54分）1．已知两点，，则线段的垂直平分线方程为．解：经过两点，的直线的斜率为，中点为，则线段的垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即，故答案为：．2．椭圆的焦点坐标为和，则的值为9．解：椭圆的焦点坐标为和，椭圆是焦点在轴上的椭圆，则，，．由，得．故答案为：9．3．某校高三老师的年龄分布茎叶图，如图所示，则该校高三老师成员年龄的第75百分位数是48.5．解：因为，所以该校高三老师年龄的第75百分位数是．故答案为：48.5．4．过圆上一点的圆的切线方程是．解：由圆，得到圆心的坐标为，连接圆心与点所得直线的斜率为，过圆上一点的圆的切线的斜率为，则切线方程为，整理得：．故答案为：．5．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为．解：由题意，平面的一个法向量为，，则点到底面的距离为．故答案为：．6．设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为．解：由题意，设复数，因为，可得，整理得，即复数在复平面内对应的点为，则，满足的关系式为．故答案为：．7．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形，其中，再将所得平面图形（如图）以线段为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为．解：由题意得，旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积．其中球的半径为1，体积为，圆锥的底面半径合高均为1，体积为，故所得几何体的体积为：．故答案为：．8．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是．解：因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，在轴上的截距，因为直线，所以，则且，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．9．如图，已知二面角的大小为，已知，两点在棱上，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为．解：根据题意可得，，，，，又，，，．故答案为：．10．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等腰三角形，，，若，且，则异面直线与所成角的大小为．解：如图，取，连接，则四边形为平行四边形，得，则（或其补角）为异面直线与所成角，连接，设，则，又，，，则，为等边三角形，即．即异面直线与所成角的大小为．故答案为：．11．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为或．解：根据直线与轴、轴分别交于点、，可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，可得，，所以，，可得，当且仅当时，即时，取等号，此时直线的方程为或，即或．故答案为：或．12．如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆上的动点，则△面积的最大值为．解：因为正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆上的动点，设，所以可以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建系如图：则，则，又内切圆半径为1，则圆，且，可设，，，，，则，则在上的投影向量的模长为，则点到直线的距离为，又，则△面积为，令，，则，对称轴为，且开口朝下，故当时，，则△面积的最大值为．故答案为：．二、单选题（4*2+5*2＝18分）13．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7解：数列1，，1，，1是等比数列，不是等差数列，故错误；数列1，2，3，4，5是等差数列，不是等比数列，故错误；数列5，5，5，5，5既是等差数列，又是等比数列，故正确；1，2，3，5，7既不是等差数列也不是等比数列，故错误．故选：．14．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（）A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥解：根据题意，事件和事件满足，即事件、不会同时发生，两个是互斥事件，正确；对于，当（A），（B）时，（A）（B），，（A）（B），两个事件不是独立事件，错误；对于，事件、不会同时发生，但也可能同时不发生，事件和事件不对立，错误；对于，事件、可能同时不发生，事件和事件不互斥，错误；故错误，正确．故选：．15．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是A． B． C． D．解：由题意可得，故选：．16．下列五个命题：①直线的斜率，，则直线的倾斜角的范围是；②直线与过，两点的线段相交，则或；③如果实数，满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是；⑤方程表示圆的充要条件是或；正确的是（）A．②③ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤解：①设直线的倾斜角为，直线的斜率，，则，直线的倾斜角的范围是，因此不正确；②直线与过，两点的线段相交，直线经过，，，则或，正确；③如果实数，满足方程，设，则，当此直线与圆相切时，，解得，因此的最大值为，正确；④把直线方程代入椭圆方程可得：，，，由直线与椭圆恒有公共点，可得△，解得且，错误；⑤方程配方为：，表示圆的充要条件是，解得或，因此正确．综上可得：正确的是②③⑤．故选：．三、解答题（14+14+16+16+18＝78分）17．已知直线，直线，（1）若与相交，求实数的值；（2）若与平行．求实数的值并求出此时两直线间的距离．解：（1）若直线与直线相交，则，解得且，所以实数的取值为，，，；（2）由直线与平行，得，解得，此时，即，直线，所以直线与间距离．18．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．解：（1）用表示甲获胜，表示和棋，表示甲不输．因为甲不输是指甲获胜或者和棋，所以．因为和棋与获胜是互斥的，所以（C）（A）（B），因为（C），（A），所以（B）；（2）甲、乙两人下一盘棋，甲不获胜的概率为，则甲、乙两人连下两盘棋，甲都不获胜的概率为，所以甲至少获胜一盘的概率为．19．（16分）如图，在正方体中，，分别是，的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：在正方体中，，分别是，的中点，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则，0，，，0，，，0，，，2，，，1，．，，故．（2）．设平面的法向量为，则取，得．设直线与平面所成的角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．20．（16分）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求实数的值；若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有1000名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；（2）王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：，，，，．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．解：（1）根据题意可得，解得；80分及以上的学生所占的比例为，故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人；（2）不妨设，，根据题意可得，故剩余8个分数的平均数为，因为原数据的方差为，所以，故剩余8个分数的方差为．21．（18分）已知圆和圆．（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（3）若，