牛顿柯特斯求积公式

牛顿柯特斯求积公式第1页，共29页。

引言

由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿-莱布尼兹公式也就无能为力了。第2页，共29页。

第3页，共29页。下面推导插值型求积公式设x0,x1,…,xn∈[a,b],pn(x)是f(x)的n次Lagrange插值多项式则有第4页，共29页。插值型求积公式其中截断误差或余项为li(x)为Lagrange插值基函数。第5页，共29页。Ai(i=0,1,…,n)称为求积系数，xi(i=0,1,…,n)称为求积节点。第6页，共29页。一、牛顿—柯特斯求积公式的导出将积分区间[a,b]n等分，节点xi为

xi=a+ih,i=0,1,2,…,n其中h=(b

a)/n。有第一节等距节点的牛顿—柯特斯求积公式

当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。其中第7页，共29页。Ci(n)称为柯特斯系数。于是牛顿—柯特斯求积公式为引进变换x=a+th,0≤t≤nxj=a+jh,j=0,1,2,…,n第8页，共29页。二、两种特殊的数值求积公式:（1）梯形公式(n=1)

x0=a,x1=b,h=b-a,c0(1)=c1(1)=1/2

梯形公式的几何意义是用四边梯形x0ABx1的面积代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b图1第9页，共29页。（2）辛卜生公式(n=2)辛卜生公式又称为抛物线公式。x0=a,x1=a+h,x2=b,h=(b-a)/2

C0(2)=1/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/6第10页，共29页。

辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0图2第11页，共29页。

例：用梯形公式与辛卜生公式求的近似值。解：辛卜生公式I=0.7668010梯形公式第12页，共29页。nc0c1c2c3c4c5c6c7c812345678三、牛顿—柯特斯系数第13页，共29页。例n=3

为3/8辛卜生公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=b,h=(b-a)/3n=4为Cotes公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=a+3h,x4=b,h=(b-a)/4

第14页，共29页。例：用Newton-Cotes公式计算

解：当n取不同值时，计算结果如下所示。I准=0.9460831n近似结果10.927035420.946135930.946110940.946083050.9460830第15页，共29页。四、代数精度

定义1：若求积公式对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p(x))=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为m.代数精度求法从ƒ(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数精度是m-1.代数精度越高，数值求积公式越精确定义2：若求积公式对ƒ(x)=1,x,x2,x3…xm,都等号成立，即R(xi)=0;而对于xm+1

等号不成立，则称此公式的代数精度为m.第16页，共29页。

例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.所以求积公式具有1次代数精度。第17页，共29页。例2：设有成立，确定A0、A1、A2，使上述数值求积公式的代数精度尽可能高，并求代数精度。解：分别取(x)=1，x，x2，则有A0+A1+

A2=2-A0+A2=0A0+A2=2/3解得A0=1/3，A1=4/3，

A2=1/3；取(x)=x3，左=右=0；

(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5右=2/3所以具有3次代数精度。第18页，共29页。

Newton-Cotes公式的代数精度其中

n+1(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)(x-xn)即求积公式

至少具有n次代数精度。定理1：由n+1个互异节点x0、x1、…xn构造的插值型求积公式的代数精度至少为n。这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项第19页，共29页。

由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点),它的代数精度至少是n,还可以证明当n为偶数时Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1.

定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0、x1、…xn构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为

n+1。第20页，共29页。五、Newton-Cotes公式的截断误差第21页，共29页。带误差项的梯形公式是第22页，共29页。证：已知辛卜生求积公式的代数精度为3，因此考虑构造一个三次插值多项式p3(x)满足下列条件根据插值余项定理得：第23页，共29页。得到截断误差两边求定积分得第24页，共29页。因此辛卜生求积公式的截断误差为第25页，共29页。第26页，共29页。

六、Newton-Cotes公式的数值稳定性

初步看来似乎n值越大，代数精度越高。是不是n越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。第27页，共29页。