初高中数学暑假衔接材料：第06讲 等式性质与不等式性质（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第06讲等式性质与不等式性质内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用不等式（组）表示不等关系题型2比较两个数(式)的大小题型3利用不等式性质判断命题的真假题型4利用不等式性质求代数式的取值范围题型5利用不等式的性质证明不等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航等式性质不等式性质作差法比较大小理解实数大小比较的基本事实，能够用数轴解释实数的大小关系.掌握等式的性质和不等式的基本性质，能够运用性质进行简单的等式或不等式变形和证明.掌握常见的比较两个数（式）大小的方法.能够将实际问题中的不等关系抽象为数学不等式，并运用不等式性质解决简单应用问题.学习重点：不等式的基本性质及其应用.学习难点：不等式性质的推导与证明；准确运用不等式性质解决问题（尤其是涉及乘法、乘方、开方性质的应用）.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过不等式符号语言3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．即时即练（多选）下列说法正确的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”【答案】CD【详解】某人的月收入x不高于2000元可表示为“x⩽2000“，∴A错误；小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x<y”，∴B错误；某变量x至少是a可表示为“x⩾a”，∴C正确；某变量y不超过a可表示为“y⩽a”，∴D正确．【方法总结】熟悉《常见文字语言与不等式符号语言之间的对应关系》，然后理解题意，选择对应的不等式符号，逐一表示即可.知识点02等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性如果a＝b，那么b＝a；可逆2传递性如果a＝b，b＝c，那么a＝c；同向3可加、减性如果a＝b，那么a±c＝b±c；可逆4可乘性如果a＝b，那么ac＝bc；同向5可除性如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)同向知识点03不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正即时即练设a,b,c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（

）A．a2>bC．a+c>b+c D．1【答案】C【详解】当a=1，b=−1时，a2当c=0时，ac因为a>b，所以a+c>b+c成立，故C正确；因为1a−1b=【方法总结】熟悉不等式性质以及性质成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质，结合性质逐一判断.知识点04比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．即时即练设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（

）A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关【答案】A【详解】因为M−N=x2+x+1=【方法总结】比较两个数（式）的大小，常用作差法，做差后如果是关于未知数的二次函数，可以配方判断差的正负.题型1利用不等式（组）表示不等关系【例1】某人元旦回家共225km，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有30km，已知动车的平均速度为300km/h，汽车平均速度为xA．225300+x+1C．195300+30【答案】D【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，即195300【方法总结】利用不等式（组）表示不等关系的方法步骤（1）审题与设元：通读题目，准确分清已知量和待求量，并合理设出待求量（未知数）；（2）挖掘不等关系：深入分析题意，建立已知量与待求量之间的不等关系，同时注意挖掘题目中隐含的约束条件（如实际意义限制等）；（3）列不等式（组）：将梳理出的不等关系用相应的数学符号准确表示。若存在多个不等关系，需使用不等式组进行综合表达.【变式1-1】用a表示某产品销售的利润，b表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将ab称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加k时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（

A．ab>a+kC．ba>b+k【答案】A【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故ab题型2比较两个数(式)的大小【例2】（1）若fx=3x2−x+1，gx=2A．fx=gxC．fx<gx 【答案】B【详解】已知fx=3x则fx即fx−gx>0对任意（2）设a>b>0，比较a2−b【答案】a【详解】由a>b>0，得a−b>0，a2−b因此a2所以a2【方法总结】比较两个数（式）的大小的技巧：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．【变式2-1】已知非零实数x、y，用作差法比较讨论：x3【答案】答案见解析【详解】x当x>y时，x−y>0，所以x−yx2当x=y时，x−y=0，所以x−y当x<y时，x−y<0，所以x−y【变式2-2】已知a≥1，试比较M=a+1−a【答案】M<N【详解】因为a≥1，所以M=a+1所以MN因为a+1+a>a+题型3利用不等式性质判断命题的真假【例3】已知c>0>a>b，则下列不等式不成立的是（

）A．ca<cb B．ba<【答案】B【详解】因为c>0>a>b，对于A，1a<1对于B，ab对于C，b−ca−c−b对于D，1a<1b，则【方法总结】运用不等式的性质判断命题真假的技巧：要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【变式3-1】下列命题是假命题的为（

）A．若a>b，c>d，则a+c>b+dB．若a>b>0且c<0，则cC．若a>b，则aD．若a>b>−1，则1【答案】C【详解】对于A：由a>b,c>d，所以a+c>b+d，故A正确；对于B：由a>b>0，得a2>b2>0，所以0<对于C：当c=0时，ac对于D：由a>b>−1，所以a+1>b+1>0，所以1a+1题型4利用不等式性质求代数式的范围【例4】已知2<a<3，−2<b<−1，求a+2b，a−b，ab【答案】−2<a+2b<1，3<a−b<5，−3<【详解】∵2<a<3，−2<b<−1，∴−4<2b<−2，1<−b<2，∴−2<a+2b<1，3<a−b=a+−b∵1<−b<2，∴1∴1<−a∴−3<a【方法总结】利用不等式性质求代数式的范围的策略：建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．易错提醒：求解这种范围问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．【变式4-1】已知1<x+y<4，2<x−y<3．(1)求y的取值范围；(2)求x+yx−y的取值范围；(3)求3x+2y【答案】(1)−1<y<1；(2)13<x+y【详解】（1）设y=λx+y+μx−y所以λ+μ=0λ−μ=1，解得λ=所以y=1因为1<x+y<4，所以12因为2<x−y<3，所以−3①＋②得，−1<12x+y（2）∵1<x+y<4，2<x−y<3，∴13<1所以13（3）设3x+2y=ax+y+bx−y所以a+b=3a−b=2，解得所以3x+2y=5因为1<x+y<4，所以52因为2<x−y<3，所以1<1③＋④得，72<5题型5利用不等式的性质证明不等式【例5】若a>b>0，c<d<0,e<0，求证：ea−c【答案】证明见解析；【详解】证明：因为c<d<0，所以−c>−d>0，利用同向可加性得a−c>b−d>0，所以(a−c)2>(b−d)又e<0，所以e(a−c)【方法总结】利用不等式的性质证明不等式的注意事项：利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【变式5-1】已知c>a>b>0，求证：a【证明】方法一：因为a>b>0，所以1a因为c>0，所以ca<cb，所以因为c>a>b>0，所以c−a>0，c−b>0.所以a方法二：因为c>a>b>0，所以0<c−a<c−b，所以0<1c−b<又因为a>b>0，所以ac−a一、单选题1．已知a>b，则下列不等式一定正确的是（

）A．a−2>b−3 B．a2>b2 C．【答案】A【详解】对A，因为a>b，故a−2>b−2>b−3，故a−2>b−3成立，故A正确；对B，当a=0，b=−1时a2>b2，2．“a>c且b>d”是“a+b>c+d”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当a>c且b>d时，根据不等式的性质，可得a+b>c+d；当a+b>c+d时，不能推出a>c且b>d，比如取a=2,b=2，c=−1,d=3.所以“a>c且b>d”是“a+b>c+d”的充分不必要条件.3．已知a,b,m都是正数,不等式a+mb+m>aA．a>b B．b>a C．a>m D．m>b【答案】B【详解】a+mb+m>ab⇒4．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则a+b>c+d B．若a2>C．若c>a>b>0，则1c−a>1c−b D．若a>b>0【答案】C【详解】选项A，取a=1，b=0，c=2，d=1，满足条件，但a+b<c+d，A错误；选项B，当a=−1，b=0时，满足a2>b选项C，当c>a>b>0时，有c−a>0，c−b>0，a−b>0，则1c−a−1选项D，a>b>0且m>0，则b−a<0，b+m>0，则a+mb+m−a5．已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（

）A．ab>bc B．ac>bc C．ab>ac D．a【答案】C【分析】取a=1，b=0，c=−1，利用排除法即可得正确选项.【详解】令a=1，b=0，c=−1，则ab=bc，ac<bc，ab故排除A、B、D、6．设a、b、c∈R，则“c>a>b”是“1c−a>1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若c>a>b，则c−b>c−a>0，由不等式的基本性质可得1c−a即“c>a>b”⇒“1c−a若1c−a>1c−b，不妨取c=2，a=1，但b>c>a，所以“c>a>b”⇐“1c−a所以“c>a>b”是“1c−a二、多选题7．下列说法正确的是（

）A．若ac2B．若a>b>0，则aC．若a>b>0，则a−D．若a>b>0，c>0【答案】ABD【详解】对于A，若ac2>bc2对于B，由a>b>0知a−b>0,a+b>0，所以a2−b对于C，令a=1,b=0.5，满足a>b>0，a−1对于D，由a>b>0，c>0知所以b+ca+c−b8．若1a<1A．a2<b2 B．ab<b2【答案】ABD【详解】由题知1a所以b<a<0，对于A选项，由于y=x2在所以当b<a<0时，可以得到a2对于B选项，因为b<a，不等式两边同乘负数b得ab<b故B正确，对于C选项，因为b<a<0，所以|a|+|b|=|a+b|，故C错误，对于D选项，由于y=x3在所以当b<a<0时，可以得到a39．下列结论正确的有（

）A．若a>b,c<0，则cB．“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件C．若a>b>c,a+b+c=0，则cD．若a>b>c>d，则1【答案】BD【详解】对于A，通过作差法得ca−cb=又ab的正负无法确定，当ab>0时，cb−aab>0当ab<0时，cb−aab<0对于B，当a>1,b>1时，可以推出ab>1，当ab>1时，不一定有a>1,b>1，例如：a=−2,b=−3时ab=−2×−3因此“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件，故B正确.对于C，∵a>b>c,a+b+c=0，∴a>0,c<0，对ca−c和cb−c作差，∵b−a<0,c<0，a−c>0,b−c>0，∴c对于D，∵a>b>c>d，∴a−d>b−c>0，根据分子相同，分母越大，分数越小的原则，可得1a−d三、填空题10．已知0<a<1，0<b<1，则ab与a+b−1的大小关系为__________.【答案】ab>a+b−1【详解】ab−a+b−1因为0<a<1，0<b<1，所以a−1<0，b−1<0，所以a−1b−1所以ab>a+b−1.故答案为：ab>a+b−111．若a,b,c,d均为实数，使不等式ab>cd>0和ad<bc【答案】2,1,−1,−2（答案不唯一）【详解】由ab>cd>0知，a,b因为ad−bc<0，所以bd<0．所以在取a,b,c,d时只需满足以下条件即可：①a,b同号，c,d同号，b,d异号；②ad