初高中数学暑假衔接材料：第09讲 函数的概念及其表示（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第09讲函数的概念及其表示内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对函数概念的理解题型2求函数的定义域（具象函数定义域与抽象函数定义域）题型3判断两个函数是否相等（同一函数）题型4简单函数的求函数值与求参数值题型5函数解析式的三种求法题型6分段函数的求函数值与求参数值04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数定义域函数值解析式分段函数在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值；掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.了解简单的分段函数，并能简单应用.学习重点：理解函数的概念，能求简单函数的定义域，掌握常见的求函数解析式的方法.学习难点：函数符号fx的理解，分段函数的理解与应用知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的概念1、函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．（1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B．3、函数的三要素（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“x”施加的某种运算或法则．如：fx=x2，f（3）值域：对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，y=fx表示“y是x的函数”，指的是y为x在对应关系f下的对应值4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．即时即练下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】根据函数的定义，对定义域内任意的一个x都存在唯一的y与之对应，若为函数关系，其对应方式为一对一或多对一，而A，B，C是一对多，不适合函数的要求，D是一对一，适合函数的要求，【方法总结】根据图象判断对应关系是否为函数的步骤：第1步：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域内平移l.第2步：若直线l与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个及两个以上的交点，则不是函数.知识点02求函数定义域1、分式中分母不能为零；2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，3、零次幂的底数不能为零，即中；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．即时即练函数f(x)=11−2x的定义域是【答案】−∞【详解】由题，可得1−2x>0，解得x<1所以函数fx的定义域为−【方法总结】分析函数解析式可得，该函数解析式中：包含了分母和偶次方根式，1、分式中分母不能为零；2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零.然后取交集，即可得出结果.知识点03函数的表示法1、函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．即时即练已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：则f[g(2)]的值是（

）x123f(x)131g(x)321A．1 B．2 C．3 D．1和2【答案】C【详解】由表可知：g(2)=2，则f[g(2)]=f(2)=3.【方法总结】列表法表示函数求函数值的方法：根据表格找到自变量与函数值的对应关系，根据函数的定义即可得解.知识点04分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．即时即练已知函数fx=2x+1,x<0A．1 B．0 C．-1 D．-2【答案】D【详解】f0=0故f(0)+f(−1)=−1−1=−2.【方法总结】求分段函数的函数值：第1步：确定要求值的自变量的取值属于哪一段；第2步：代入该段对应的解析式求值.题型1对函数概念的理解【例1】设M=1，2，3,N=e,g,ℎ,e,g,ℎ∈R,如下选项是从M到A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,【方法总结】判断对应关系是不是从集合A到集合B的函数，主要看以下三个方面：①A,B必须是非空数集；②A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任何一个元素在B中的对应关系是唯一的（“一对一”或“多对一”）.【变式1-1】托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M={−1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是（

）A．y=2x B．y=x+2 C．y=x2 【答案】C【分析】利用函数的概念判断即可．【详解】对于A，y=2x，当x=−1时，y=2×(−1)=−2，但−2不在集合N中，因此这不是一个函数，故A错误；对于B，y=x+2，当x=4时，y=4+2=6，但6不在集合N中，因此这不是一个函数，故B错误；对于C，y=x2，当x=−1时，y=(−1)当x=2时，y=22=4，在集合N中；当x=4时，y=符合函数的概念，故C正确；对于D，y=4x，当x=−1时，y=4−1=−4，但题型2求函数的定义域角度1：求具象函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y=x−1+2−x(3)y=5−xx−2(4)【答案】(1)1,2；(2)xx≠±1；(3)−∞,2∪2,5；【详解】（1）要使函数式有意义，则x−1≥02−x≥0，解得1≤x≤2，从而函数的定义域为1,2（2）因为当x2−1≠0，即x≠±1时，所以函数的定义域是−∞,−1∪（3）要使函数有意义，则5−x≥0且x−2≠0，解得x≤5且x≠2，所以函数的定义域为−∞（4）要使函数有意义，则x+2≠0且3−x≠0，即x≠−2且x≠3，所以函数的定义域是xx≠−2且x≠3【方法总结】求具象函数定义域的方法：第1步：观察具象函数解析式的式子结构，判断有哪些可能使得解析式无意义的部分；第2步：根据以下三项要求，建立不等式（组）(1)分式考虑分母不为0；(2)偶次根式考被开方数需大于等于0；(3)零次幂的底数不为0；第3步：下结论，将以上不等式（组）的解，写成集合或区间的形式.强调：定义域最后结论必须用集合或区间表示.【变式2-1】求函数y=7+6x−【答案】−1,7【详解】要使函数y=7+6x−x2有意义，则7+6x−则函数y=7+6x−x2角度2：求抽象函数的定义域【例3】（1）已知y=fx定义域为1,3，则y=f2x+1的定义域为（A．2,6 B．0,1C．1,2 D．1,3【答案】B【详解】设2x+1=t，则y=f2x+1可化为y=f因为y=fx定义域为1,3，即1<x≤3，则y=ft中的即1<2x+1≤3，解得0<x≤1.所以y=f2x+1的定义域为0,1（2）已知函数fx+1的定义域为−2,0，则函数f2x−1的定义域为【答案】0,1【详解】因为fx+1的定义域为−2,0则x∈−2,0，即得x+1∈−1,1，所以fx由f2x−1可得2x−1∈−1,1，解得x∈0,1，所以f【方法总结】求抽象函数定义域的方法：复合函数和抽象函数定义域的求法(1)已知f(x)的定义域为[a,b]，求f(g(x))的定义域：第1步：列出不等式a≤g(x)≤b；第2步：解上述不等式，求出x的取值范围，即f(g(x))的定义域.(2)已知f(g(x))的定义域为[a,b]，求f(x)的定义域：第1步：列出不等式a≤x≤b；第2步：对上述不等式变形，求出g(x)的取值范围，即f(x)的定义域.(3)已知f(φ(x))的定义域，求f(ℎ(x))的定义域.第1步：先由f(φ(x))的定义域列出关于x的不等式；第2步：求出φ(x)的取值范围，即f(x)的定义域，也是h(x)的取值范围；第3步：根据ℎ(x)的取值范围，求出x的取值范围，即f(ℎ(x))的定义域.注意：整个求解过程遵循两个原则：①在同一个对应关系f下，括号中式子的范围相同；②f(g(x))的定义域指的是其自变量x的取值范围，而非g(x)的范围.【变式3-1】已知函数f(3x−1)的定义域为[−1,3]，则函数g(x)=f(x+2)x−3的定义域为（A．[−6,3)∪(3,6] B．[−3,1] C．[−1,3) D．[−2,3)∪(3,6]【答案】A【详解】函数f(3x−1)的定义域为[−1,3]，当−1≤x≤3时，−4≤3x−1≤8，则函数f(x)的定义域为[−4,8]，在函数g(x)=f(x+2)x−3中，解得−6≤x≤6且x≠3，所以函数g(x)的定义域为[−6,3)∪(3,6].题型3判断两个函数是否相等（同一函数）【例4】下列各组函数表示同一函数的是（

）A．f(x)=x2，g(x)=(x)C．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1 【答案】D【详解】对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x),g(x)不表示同一函数，A错误；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，所以f(x),g(x)不表示同一函数，B错误；对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，所以f(x),g(x)不表示同一函数，C错误；对于D，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)=3所以f(x),g(x)表示同一函数，D正确.【方法总结】判断函数相等（同一函数）的方法：第1步：求两个函数的定义域，判断是否相同，若不同则不是相等函数；第2步：在定义域相同的前提下，化简解析式，再判断解析式是否相同，若不同则不是相等函数.第3步：下结论.【变式4-1】下列各组函数表示同一函数的是（

）A．f(x)=3x3，g(x)=C．f(x)=1,g(x)=x0 【答案】B【详解】解：对于A：f(x)=3x3=x定义域为对于B：fx=x2−2对于C：f(x)=1定义域为R，g(x)=x0定义域为对于D：f(x)=x+1定义域为R，g(x)=x2−1x−1题型4简单函数的求值求参【例5】（1）若函数ffx=x2【答案】3【详解】令x=3，则ff令x=f3，则fff整理得f32−6f3+9=0（2）已知f12x−1=2x−5，且faA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】∵f12x−1∴令2x−5=3，解得x=4，则a=1【方法总结】1、已知解析式求函数值的步骤：直接代入法（1）将给定的自变量值，直接代入函数解析式中，按运算规则计算即可；（2）判断自变量是否在函数的定义域内，避免计算无意义的值（比如分母为0、偶次根号下为负数）.2、已知函数值求参数的步骤：（1）将已知的自变量和函数值代入解析式，列出关于参数的方程；（2）解方程求出参数；（3）回代检验：把参数代回原函数，验证此时的自变量是否在定义域内，舍去不符合的解.【变式5-1】已知函数f(2x−1)=4x+3，且f(t)=6，则t=（

）A．12 B．74 C．1 【答案】A【详解】令f2x−1=4x+3=6，解得所以t=2x−1=2×3题型5函数解析式的三种求法角度1：已知函数类型求解析式：待定系数法【例6】已知函数fx是一次函数，且ffx【答案】fx=2x+8【详解】设fx=kx+bk≠0则k2=4kb+b=8，解得k=2,b=所以fx=2x+8【方法总结】待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．【变式6-1】已知fx=x2,g【答案】2x−5【详解】设g(x)=kx+b，k>0，则：fg(x)∴k2=42kb=−20故g(x)=2x−5．角度2：已知fg【例7】（1）已知fx+1=x+2【答案】f【详解】令x+1=t≥1，则x=f故答案为：f（2）已知：fx−1x=x2+【答案】x2+2【详解】∵fx−1x=x2+1【方法总结】换元法：主要用于解决已知fgx的解析式，求函数（1）先令gx=t，注意分析（2）反解出x，即用含的t代数式表示x；（3）将fgx中的x度替换为t的表示，可求得ft【变式7-1】若fx+1x=xA．1189 B．1369 C．88【答案】A【详解】由题意知，f(x+1所以f(x)=x2+2角度3：函数方程组法求解析式【例8】（1）已知函数fx满足fx−2f1−x【答案】1【详解】∵fx∴f解方程组得fx（2）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足f(x)+2f1x=6x+A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【详解】由f(x)+2f(1令x=1x，由②×2−①得所以f(x)=2当且仅当23x=8所以fx的最小值为8【方法总结】方程组法：主要解决已知fx与、、……的方程，求解析式．例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．强调：不局限于以上两种情况可以构造方程组，只要换元后，没有怎加新的元，即可用此法.【变式8-1】已知fx+f1−1x【答案】fx=【详解】fx将①中的x用x−1x代换得f再将①中的x用11−x代换得f则由①+③−②2题型6分段函数的求值求参【例9】（1）已知函数fx=x+1,x≤−2x2A．2 B．5 C．3 D．1【答案】B【详解】f(1)=1∴f(f(1))=f3（2）已知函数fx=0,x<1x+1,1≤x<2−x2A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】因为fx当x<1时，fx当1≤x<2时，fx当x≥2时，fx令t=fa，则由ffa由上述分析可得t≥2且−t2+5=1，解得t=2所以1≤a<2且a+1=2，解得a=1.【方法总结】1、求分段函数的函数值：第1步：确定要求值的自变量的取值属于哪一段；第2步：代入该段对应的解析式求值.注意：若出现f(f(a))的形式，应从内到外依次求值.2、已知分段函数的函数值求自变量(或参数)的值第1步：先分类讨论，假设自变量(或参数)的值在分段函数定义域的各段上；第2步：在每个分类下，根据函数值建立方程求解，切记要检验.【变式9-1】已知函数fx=2x2+1, A．−2或2 B．−2或2或7 C．−2或7 D．2或7【答案】C【详解】若a<1，则fa=2a2+1=9若a≥1，则fa=a+2=9，解得综上，a的值是−2或7.一、单选题1．下列对应关系中是A到B的函数的是（

）A．A=[0,1]，B=[0,1]，xB．A=1,2,3,4，B=

C．A=R，B=R，fD．A=Z，B=Z，f【答案】B【详解】对于A，x2+y2=1对于B，集合A中每一个x在集合B中都有唯一对应的y，符合函数的定义，故B正确；对于C，y=1x−2中，x≠2，而A=R，故集合A中的元素2在集合B对于D，y=2x−1，所以x≥12，集合A=Z，故集合A中有的元素（比如0）在集合2．已知fx=x2−1A．2 B．0 C．-1 D．-4【答案】C【详解】因为f1=1−13．函数fx=1−A．−1,1 B．−1,1 C．−1,1 D．−1,1【答案】A【详解】由题意可知1−x2≥0x+1≠0，解得−1<x≤1，所以4．若函数y=f2x−1的定义域为12，32A．−1，1 B．−1，2 C．【答案】D【详解】由题意得x∈12，32，故2x−1∈5．已知一次函数fx满足2fx+fx+1=9x+6A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【详解】设fx=ax+ba≠0因为2fx所以3a=9a+3b=6，解得a=3,b=1所以fx=3x+1，6．若函数f(x)=mx2−2x+1的定义域为R，则实数A．0,1 B．1,+∞ C．0,+∞ 【答案】D【详解】当m=0时，f(x)=−2x+1的定义域为−∞,当m≠0时，依题意得mx2−2x+1≥0解得m≥1.二、多选题7．下列函数中，满足f2x=2fxA．f(x)=x B．fx=x2 【答案】AD【详解】对于A：f(x)=x，则f(2x)=对于B：fx=x对于C：f(x)=x+1，则f(2x)=2x+1，而2f(x)=2x+2，所以f2x对于D：f(x)=−x，则f(2x)=−2x=2f(x)，故D正确.8．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（

）A．f(x