初高中数学暑假衔接材料：第12讲 幂函数（原卷版及解析）

2/14第12讲幂函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值）题型2求幂函数的定义域题型3幂型函数过定点问题题型4比较幂值大小题型5利用幂函数的单调性解不等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航幂函数理解概念：通过具体实例，引导学生观察、归纳、抽象出幂函数的共同特征，理解幂函数的概念，并能判断一个函数是否为幂函数.掌握图象与性质：会画出y=x、y=x2、y=x3、y=体会思想方法：在探究幂函数图象与性质的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的数学思想.应用解决问题：能够运用幂函数的性质解决一些简单问题，如比较大小、求解析式等.学习重点：幂函数的概念，及五个常见幂函数（y=x、y=x2、y=x3、学习难点：（1）从五个具体幂函数的解析式中观察共性，抽象概括出幂函数的概念.（2）观察、归纳五个幂函数图象的共同特征与差异，并由此概括出幂函数的一般性质，特别是指数α的取值对图象形状、位置及单调性的影响.（3）灵活运用幂函数的性质解决比较大小、解不等式等综合性问题.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．即时即练下列函数是幂函数的是（）y＝(2x)αB.y＝2x5C.y＝x6＋6D.y＝x0.5【方法总结】判断函数是幂函数的方法：函数解析式必须满足以下特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量，且只有x；（3）xα的指数α为常数，（4）必须是xα的单一形式，不能加减任何数或式子；辅助记忆口诀：“系数为1底为

x

，指数为常无加减.”知识点02幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当时，可得到五个幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在上递增，在上递减增函数增函数在和上递减过定点点3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．即时即练如图是幂函数y=xn的部分图像，已知n取12、2、−2、−12这四个值，则于曲线CA．2,12,−C．−12,−2,2,【方法总结】解决幂函数图象问题应把握的原则：(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x−1，y题型1求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值）【例1】已知幂函数的图象经过点P8,4，【方法总结】1、待定系数法求幂函数的解析式：关键在于：幂函数的形式是固定的y=xα，因此我们只需确定指数α具体步骤如下：（1）设出标准形式:根据幂函数的定义，首先设所求的幂函数解析式为：y=（2）代入已知条件：题目通常会给出一个该函数图像经过的点x0y0（3）解方程求参数：通过解上述方程求出α的值.（4）写出最终解析式：将简单验证以下所求的α值是否满足题意，然后得出幂函数的解析式.2、利用幂函数定义求参数的方法步骤：（1）令系数为1：比如函数y=m−2xm（2）解方程：求出参数

m的值.（3）检验：将求出的

m值代回原函数，检查是否符合幂函数的其他特征（比如单调性、奇偶性）.【变式1-1】“m=1”是“fx=mA．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件题型2求幂函数的定义域【例2】已知幂函数fx的图象过点8,24，则fA．0,2 B．0,C．0,2 D．0,【方法总结】求幂函数定义域的3条黄金法则：第1条：指数α是正整数（如2,3）：求定义域规则：底数x取全体实数，即定义域：R第2条：指数α是零或负整数（如0,−1,−2）：求定义域规则：底数x不能为0，即定义域：x第3条：指数α是分数（如12,23,−（1）分母为偶数（如12,−34）：相当于开偶次方，底数必须x（2）分母为奇数（如13,23）：相当于开奇次方，若指数为负分数，则x≠0；若指数为正【变式2-1】已知幂函数fx=m2−2m−2xm+1A．−1 B．3 C．−1或3 D．2题型3幂型函数过定点问题【例3】不论实数a取何值，函数y=x−1a+2幂型函数过定点问题的解法：对形如y=Af第1步：令底数fx=0第2步，将x0代入函数解析式，即可求得定点的纵坐标：第3步：下结论，该类型函数过的定点坐标为x【变式3-1】函数fx=2x−3题型4比较幂值大小【例4】若a=0.990.5,b=1.010.5A．b>c>a B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c【方法总结】比较幂值大小的3种方法：直接法：当幂的指数相同时，可利用幂函数的单调性来比较；转化法：当幂的指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小；中间量法：底数、指数均不同，无法用单调性时，选取0、1等中间值搭桥，间接比较大小．【变式4-1】若a=1323，b=1523，c=4A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c题型5利用幂函数的单调性解不等式【例5】若幂函数fx=xα图象过点12,1A．−∞,2 B．2,+∞ C．−2,2【方法总结】解与幂函数相关的不等式的步骤第1步：确定可利用的幂函数.第2步：借助相应幂函数的单调性，将不等式大小关系转化为自变量的大小关系.注意：幂函数的定义域以及分类讨论.【变式5-1】已知幂函数fx=6(1)求fx(2)若f8−2a<fa+2一、单选题1．下列函数中，不是幂函数的是（

）A．fx=x B．fx=x32．如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取±2,±12四个值，与曲线C1A．2,12,−C．−12,−2,2,3．已知幂函数y=fx的图象经过点2,8，则fx是（A．偶函数，且在0,+∞上单调递增 B．偶函数，且在0,+C．奇函数，且在0,+∞上单调递增 D．奇函数，且在0,+4．在同一坐标系内，函数y=xaa≠0和y=ax−A． B．C． D．5．设a=499−A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．已知幂函数fx=m2−m+1x−2m+1A．0或1 B．−1或1 C．1 D．0二、多选题7．已知点2,12在幂函数fxA．函数fxB．函数fxC．fD．函数fx8．幂函数fx=2m2A．m=1 B．函数fxC．f−2<f3 D．函数9．下列说法正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点127,3B．幂函数y=xαα>0始终经过点C．若函数fx=x−4D．若幂函数fx=2m三、填空题10．已知幂函数fx=a2−511．幂函数fx的图象过点2,2，则函数gx12．已知幂函数fx=x3m−9m∈N∗的图像关于y轴对称，且在0，+四、解答题13．已知幂函数fx=3(1)求fx(2)若不等式fa+1+f2a−314．已知幂函数fx=m2(1)求函数fx(2)如果函数gx在区间a2−2a,+(3)求关于x的不等式gx−2ax>a+1−x的解集（其中

第12讲幂函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值）题型2求幂函数的定义域题型3幂型函数过定点问题题型4比较幂值大小题型5利用幂函数的单调性解不等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航幂函数理解概念：通过具体实例，引导学生观察、归纳、抽象出幂函数的共同特征，理解幂函数的概念，并能判断一个函数是否为幂函数.掌握图象与性质：会画出y=x、y=x2、y=x3、y=体会思想方法：在探究幂函数图象与性质的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的数学思想.应用解决问题：能够运用幂函数的性质解决一些简单问题，如比较大小、求解析式等.学习重点：幂函数的概念，及五个常见幂函数（y=x、y=x2、y=x3、学习难点：（1）从五个具体幂函数的解析式中观察共性，抽象概括出幂函数的概念.（2）观察、归纳五个幂函数图象的共同特征与差异，并由此概括出幂函数的一般性质，特别是指数α的取值对图象形状、位置及单调性的影响.（3）灵活运用幂函数的性质解决比较大小、解不等式等综合性问题.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．即时即练下列函数是幂函数的是（）y＝(2x)αB.y＝2x5C.y＝x6＋6D.y＝x0.5【答案】D【详解】由幂函数的定义可得，A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数；B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数；C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数，D选项是幂函数.【方法总结】判断函数是幂函数的方法：函数解析式必须满足以下特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量，且只有x；（3）xα的指数α为常数，（4）必须是xα的单一形式，不能加减任何数或式子；辅助记忆口诀：“系数为1底为

x

，指数为常无加减.”知识点02幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当时，可得到五个幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在上递增，在上递减增函数增函数在和上递减过定点点3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．即时即练如图是幂函数y=xn的部分图像，已知n取12、2、−2、−12这四个值，则于曲线CA．2,12,−C．−12,−2,2,【答案】A【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可.【详解】当α<0时，幂函数y=xα在当α>0时，幂函数y=xα在可知曲线C1、C2对应的n值为正数，曲线C3、C当α>1时，幂函数y=xα在0,+∞上的增长速度越来越快，可知曲线C1对应的当0<α<1时，幂函数y=xα在0,+∞上的增长速度越来越慢，可知曲线C2对应的令x=2，分别代入y3=x−2，y4因为2−2=14<22=2−1故选：A.【方法总结】解决幂函数图象问题应把握的原则：(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x−1，y题型1求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值）【例1】已知幂函数的图象经过点P8,4，【答案】f【详解】设幂函数为fx=xα，则8α=4，所以fx=x故所求幂函数的解析式为：f【方法总结】1、待定系数法求幂函数的解析式：关键在于：幂函数的形式是固定的y=xα，因此我们只需确定指数α具体步骤如下：（1）设出标准形式:根据幂函数的定义，首先设所求的幂函数解析式为：y=（2）代入已知条件：题目通常会给出一个该函数图像经过的点x0y0（3）解方程求参数：通过解上述方程求出α的值.（4）写出最终解析式：将简单验证以下所求的α值是否满足题意，然后得出幂函数的解析式.2、利用幂函数定义求参数的方法步骤：（1）令系数为1：比如函数y=m−2xm（2）解方程：求出参数

m的值.（3）检验：将求出的

m值代回原函数，检查是否符合幂函数的其他特征（比如单调性、奇偶性）.【变式1-1】“m=1”是“fx=mA．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由m=1，可得fx反之，由函数fx=m即m2+2m−3=0，解得m=1或故“m=1”是“fx题型2求幂函数的定义域【例2】已知幂函数fx的图象过点8,24，则fA．0,2 B．0,C．0,2 D．0,【答案】B【详解】∵fx是幂函数，∴设fx=得8m=24，解得m=−1故x−2x2【方法总结】求幂函数定义域的3条黄金法则：第1条：指数α是正整数（如2,3）：求定义域规则：底数x取全体实数，即定义域：R第2条：指数α是零或负整数（如0,−1,−2）：求定义域规则：底数x不能为0，即定义域：x第3条：指数α是分数（如12,23,−（1）分母为偶数（如12,−34）：相当于开偶次方，底数必须x（2）分母为奇数（如13,23）：相当于开奇次方，若指数为负分数，则x≠0；若指数为正【变式2-1】已知幂函数fx=m2−2m−2xm+1A．−1 B．3 C．−1或3 D．2【答案】B【详解】因为函数fx为幂函数，所以m计算可得m=3或m=−1，当m=−1时，m+1=0，定义域为xx≠0，所以舍去，所以m=3题型3幂型函数过定点问题【例3】不论实数a取何值，函数y=x−1a+2【答案】(2,3)【详解】因为1a=1，故当x−1=1，即x=2时，即函数y=x−1a+2【方法总结】幂型函数过定点问题的解法：对形如y=Af第1步：令底数fx=0第2步，将x0代入函数解析式，即可求得定点的纵坐标：第3步：下结论，该类型函数过的定点坐标为x【变式3-1】函数fx=2x−3【答案】(2,−1)【详解】由2x−3=1，解得x=2，代入函数fx=2x−3所以函数图象恒过定点(2,−1).题型4比较幂值大小【例4】若a=0.990.5,b=1.010.5A．b>c>a B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c【答案】A【详解】由题意得函数y=x0.5在因为0.99<1<1.01，所以得：b>c>a，故A项正确.【方法总结】比较幂值大小的3种方法：直接法：当幂的指数相同时，可利用幂函数的单调性来比较；转化法：当幂的指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小；中间量法：底数、指数均不同，无法用单调性时，选取0、1等中间值搭桥，间接比较大小．【变式4-1】若a=1323，b=1523，c=4A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c【答案】D【详解】因为a=1323，又y=x23所以1523题型5利用幂函数的单调性解不等式【例5】若幂函数fx=xα图象过点12,1A．−∞,2 B．2,+∞ C．−2,2【答案】B【详解】由已知条件可得f12=12所以，函数fx在R由fa+2<f2a可得a+2<2a【方法总结】解与幂函数相关的不等式的步骤第1步：确定可利用的幂函数.第2步：借助相应幂函数的单调性，将不等式大小关系转化为自变量的大小关系.注意：幂函数的定义域以及分类讨论.【变式5-1】已知幂函数fx=6(1)求fx(2)若f8−2a<fa+2【答案】(1)fx=x【详解】（1）因为fx所以6m2−m=1，解得m=又fx在0,+∞上是增函数，故∴m=12，则（2）由（1）知fx=x又f8−2a<fa+2，f∴8−2a<a+28−2a≥0a+2≥0∴a的取值范围是{a|2<a≤4}．一、单选题1．下列函数中，不是幂函数的是（

）A．fx=x B．fx=x3【答案】D【详解】形如fx=x2．如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取±2,±12四个值，与曲线C1A．−2,−12,C．−12,−2,2,【答案】D【详解】因为函数y=2x为增函数，所以所以作直线x=2分别与曲线C1､C2､由图可知，曲线C1､C2､3．已知幂函数y=fx的图象经过点2,8，则fx是（A．偶函数，且在0,+∞上单调递增 B．偶函数，且在0,+C．奇函数，且在0,+∞上单调递增 D．奇函数，且在0,+【答案】C【详解】设fx=xα，则2α=8，所以又f−x=−x3=−4．在同一坐标系内，函数y=xaa≠0和y=ax−A． B．C． D．【答案】C【详解】当a>0时：直线y=ax−1a：斜率a>0，y轴截距幂函数y=xa：若0<a<1，在若a=2，y=x若a>1，在(0,+∞当a<0时：直线y=ax−1a：斜率a<0，y轴截距幂函数y=xa：在(0,+∞综上，只有选项C符合条件.5．设a=499−A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】B【详解】∵a=499−17=3727，∴由幂函数y=x27在0,+∴a>c>b.6．已知幂函数fx=m2−m+1x−2m+1A．0或1 B．−1或1 C．1 D．0【答案】C【详解】由于fx为幂函数，所以m2−m+1=1，解得m=0又函数fx在0,+所以−2m+1<0，即m>故当m=1时fx二、多选题7．已知点2,12在幂函数fxA．函数fxB．函数fxC．fD．函数fx【答案】AC【详解】因为点2,12在幂函数fx=x所以fx由于f−x=−1易知f4根据幂函数的性质可知，fx=18．幂函数fx=2m2A．m=1 B．函数fxC．f−2<f3 D．函数【答案】AD【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数2m2+m−2=1，解得m=1又因为m∈N∗，所以对于B选项，当m=1时，fx=x且满足fx=1对于C选项，由fx=1x2所以f−2对于D选项，函数fx=19．下列说法正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点127,3B．幂函数y=xαα>0始终经过点C．若函数fx=x−4D．若幂函数fx=2m【答案】ABD【详解】对于A，设幂函数解析式为y=xα，代入点127，3，可得3=127对于B，∵α>0，∴0对于C，∵函数fx=x−45为幂函数，且又f−x=−x根据偶函数的性质可得，fx在区间−对于D，由已知可得，2m2−2m−3=1，解得m=−1又幂函数图象关于y轴对称，∴m=2，