初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题题型一：根据元素互异性求参数取值范围【例1】（1）集合a,1−a中，实数a的取值范围为______.（2）若集合中的三个元素分别为2,x,x2−x,则元素x【方法总结】根据元素的互异性求参数的取值范围方法：(1)先分析集合元素的情况，需要化简，先化简集合再分析元素.(2)然后根据集合元素的互异性，集合中任意两个元素互不相等，建立不等式（组），然后解不等式（组）即可得解.（有时元素含有分母、偶次方根式、对数等，还需要保证元素有意义，）【变式1-1】若集合A={a,|a|}，则实数a的取值范围为（

）A．aa>0 B．aa<0 C．aa≤0【变式1-2】已知集合A={1,x−2, x}，且集合A中的元素互不相同，求实数x题型二：根据元素与集合的关系求参数角度1：求参数值【例2】（1）已知3∈4,a−4a,a（2）设a∈Z，集合A=xx2+ax−2≥0，若−4∈A，2∈AA．0,1,2,3 B．−1,0,1 C．−1,1,2,3 D．−1,0,1,2,3（3）已知全集U=2,3,4,5，集合A=a2−1,a2【方法总结】类型I：元素属于数集：①将元素代入集合对应的解析式，列方程，解方程求参数值；②检验：根式/分式有意义、集合元素互异性；③确定最终参数的值；类型II：元素不属于数集：①先假设(a∈A)求出参数范围；②取其补集，得到(a∉A)的范围；③附加根式、分式等定义域限制；类型III：已知点属于集合：①将点坐标代入集合中的方程/不等式；②联立方程求解参数；③无互异性要求，只需检验式子本身有意义.【变式2-1】已知(1,2)∈(x,y)2x+ay−3=0，则a的值为【变式2-2】已知集合A=a−4a,a2+2a+5,角度2：求参数取值范围【例3】（1）已知集合A=xx2−3x+a>0,x∈R，且1∉A，则实数A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．（2）已知集合A中元素x满足2x−a>0，且1∉A,2∈A，则（

）A．a>4 B．a≤2 C．2<a≤4 D．2≤a<4【方法总结】类型I：元素属于不等式型集合：将元素代入不等式，直接解不等式（组）即可（有时还要注意不等式中是否含有分母、偶次根式、对数等，自带限制条件别忘记）；类型II：元素不属于集合：先求(a∈A)时参数范围，再取补集，同时兼顾定义域.类型III：已知点属于/不属于集合：将点坐标代入对应等式/不等式求解，点集无需验证元素互异性.【变式3-1】已知集合A=x2mx−3>0，m∈R，若1∉A且3∈AA．12,32 B．12,题型三：根据集合中元素的个数求参数角度1：求参数值【例4】（1）如果集合A=xax2−4x−1=0A．0或4 B．4 C．0或−4 D．0（2）已知6≤m≤9，集合A=x∈Zmx∈Z，则满足A．6 B．7 C．8 D．9【方法总结】类型I：方程解集型：集合为一元一次/二次方程的解集，限定元素个数（0个或1个）：①0个元素（空集）：方程无实数根；②1个元素（单元素集）：方程有两个相等实数根；③优先讨论二次项系数是否为0（区分一次、二次方程）.类型II：含参区间/不等式集合：集合由不等式构成，结合区间端点、参数范围限定元素个数，多求取值范围，根据不等式解集的构成，分析边界参数，确定范围.【变式4-1】已知a∈A且4−a∈A，a∈N且4−a∈N，则：若A有且只有2个元素，则集合A的个数是角度2：求参数取值范围【例5】（1）已知集合A=x1−a≤x≤1+a,a∈R（2）已知集合A={x∣−3≤x<m},B=−2,1，且A∩B中只有一个元素，则实数m的取值范围是（

A．−2,1 B．−2,1 C．−2,1 D．−2,1（3）已知集合A=x∣m(1)若A中有两个元素，求实数m的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数m取值范围.【方法总结】类型I：方程解集型：集合为二次方程的解集，限定元素个数（0个或2个）：①0个元素（空集）：方程无实数根∆<0②2个元素：方程有两个不相等实数根∆>0类型II：不等式解集型集合：限定整数元素个数、离散元素个数，①先求解不等式，写出解集区间；②根据指定元素个数，分析区间端点临界值；③确定参数范围.【变式5-1】若集合x∣a3<x<3a2恰有8个整数元素，则实数题型四：根据集合的相等关系求参数值【例6】（1）已知a，b∈R，若a,ba,1=（2）若集合x|a−2x+a2>4【方法总结】根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性.【变式6-1】（多选）已知集合0,−2,2a=a−2,−a,a+2，则A．2 B．0 C．−2 D．4【变式6-2】已知互异复数z1z2≠0，集合z题型五：根据集合间的包含关系求参数角度1：求参数值【例7】（1）已知集合A=x∣x2−14x+40=0，B=4,a+1,a2A．9 B．−3,3 C．−3,9 D．−3,3,9（2）（多选）已知集合A=xx≤−3或x>5，B=x2a<x<a+3且B是A的真子集，则A．2 B．−6 C．2.5 D．4角度2：求参数范围【例8】（1）已知集合A=x12<x<2，B=xx−a<2A．0,52 B．0,52 C．（2）已知集合A={x∣1<x≤3},B={x∣2m<x<1−m}.若∀x1∈A,∃x2∈B，使得【方法总结】已知两个集合之间的关系求参数：(1)因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论.(2)用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值.(3)若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程(组)求解.【变式8-1】已知A={xx<−3或x>1}（1）若B={xx<3m+1或x>m+2}，AB，求m（2）若B=xm+2<x<3m+1，BA题型六：根据集合的基本运算求参数角度1：根据并集运算求参数【例9】（1）A=x|−2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m−1，若A∪B=A，则实数m的取值范围是（A．−∞,3 B．−∞,2 C．（2）（多选）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=x2a−3≤x≤a+1，若A．12 B．0 C．13 （3）已知集合A=x−3≤x≤4，B=x−2m−1≤x≤m+1.若【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∪B=A（即B⊆A）：①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②分别列不等式组，借助数轴限定范围；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围类型3：已知A∪B=某确定区间（比如：R，1<x<6等）①画出已知并集的数轴范围；②画出集合A、B的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围；③列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点；④排除矛盾情况，得出范围.角度2：根据交集运算求参数【例10】（1）记全集U=R，集合A=xa−2≤x≤2a+1,a∈R，B=xx≤3或（2）已知集合A=x∣−3≤x≤1，B=x∣m−2≤x≤2m+1.若A∩B=∅，求实数【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∩B=A（即①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围.类型3：已知A①讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）；②集合非空时，数轴分析：A整体在B左侧或A整体在B右侧；③列不等式，重点核对端点等号.角度3：根据补集运算求参数【例11】（1）已知全集U=1,3,5,7,9，集合A=3,7,a−1，若∁UA=1,5A．4 B．6 C．8 D．10（2）已知A=x|x2+px−6=0，B=x|x2（3）已知集合A=x1≤x≤5，①B∪∁RA=R；②A∩∁问题：若选__________，求实数a的取值范围.【方法总结】类型1：已知补集，反求原集合中的参数.①由补集定义A=∁②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程；③验证端点/集合互异性.类型2：补集运算转化为子集关系求参：①分类转化为子集关系：A∩∁UB=∅⟺A⊆B②根据子集关系求出参数的取值范围.角度4：根据并交补混合运算求参数【例12】（1）（多选）全集U=x|x≥1，A=x|2<x<4，B=x|x≥3，C=x|a−1<x<2a+1，A．a=−2 B．a=0 C．a=3 D．a=4（2）集合A=x−1<x<4，B=x−1≤x≤3，集合C=xA．m=−1 B．m=0 C．m=1 D．m=2【方法总结】方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集．一、单选题1．设集合A是方程x2+ax−6=0的解集，且2∈A，则实数a的值为（A．−1 B．−4 C．1 D．42．已知集合A=xx2−3x+a>0,x∈R，且1∉A，则实数A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．3．已知集合A=1,m,n，B=m2,m,mn．若A=B，则A．−1 B．0 C．1 D．24．已知集合A=x−2≤x≤5，已知B=xm+1≤x≤2m−1，若B⊆A，则实数A．m≥3 B．2≤m≤3 C．m≤3 D．m<35．设集合M=x|(x−a)(x−3)=0,N=x|(x−4)(x−1)=0A．若M∪N=1,3,4，则B．若M∪N=1,3,4，则C．若M∩N=∅，则M∪N有4个元素D．若M∩N≠∅，则M∪N=6．已知集合A=xx<−3或x>1，B=xx≤−4或x>a，若A∩∁A．3<a<4 B．3≤a<4 C．3<a≤4 D．3≤a≤4二、多选题7．已知全集U=R，集合A=x|−2≤x≤7，B=x|m+1≤x≤2m−1A．m|6≤m≤10 B．m|−2<m<2C．m|−2<m<−12 8．下列结论正确的是（）A．若xx+3>0∩xx−a<0B．若xx+3>0∩xx−a<0C．若xx+3>0∪xx−a<0D．若xx+3>0∪xx−a<09．对于集合A，B，我们把集合xx∈A,且x∉B记作A−B；把集合A−B∪B−A记作A⊕B.若集合A=−1,1，A．A−B=−1,0 B．C．A⊕B=B⊕A D．A⊕B=三、填空题10．已知数集a,b,c,d=1,2,3,4．有下列3个条件：①a=1，②c>2，③d≠4，则满足条件的a,b,c,d的数值有11．设集合A={x∣−3<x<3,x∈N},B=x∣x2+ax−a+1=0，且12．已知集合A=x|x2+4x=0,B=四、解答题13．已知集合A=x|t≤x≤−t+8，B=x|x<−2或(1)若A中只有一个元素，求t的值；(2)若A∪B=R，求t的取值范围；(3)若A⊆B，求t的取值范围．14．已知U=R，A={x|x+4x−2<0}C=x|（1）若A∩C=∅，求实数m的范围；（2）若B∪C=R，求实数m的范围；（3）若A∩CRB

专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题题型一：根据元素互异性求参数取值范围【例1】（1）集合a,1−a中，实数a的取值范围为______.【答案】a≠【详解】根据集合的互异性可知，a≠1−a，解得a≠1（2）若集合中的三个元素分别为2,x,x2−x,则元素x【答案】x【详解】解：由元素的互异性，可知x≠2x解得:x≠2且x≠−1且x≠0.元素x应满足的条件是：x【方法总结】根据元素的互异性求参数的取值范围方法：(1)先分析集合元素的情况，需要化简，先化简集合再分析元素.(2)然后根据集合元素的互异性，集合中任意两个元素互不相等，建立不等式（组），然后解不等式（组）即可得解.（有时元素含有分母、偶次方根式、对数等，还需要保证元素有意义，）【变式1-1】若集合A={a,|a|}，则实数a的取值范围为（

）A．aa>0 B．aa<0 C．aa≤0【答案】B【详解】当a≥0时，a=|a|，违反集合互异性；当a<0时，此时a≠|a|，符合题意，故实数a的取值范围为aa<0【变式1-2】已知集合A={1,x−2, x}，且集合A中的元素互不相同，求实数x【答案】{【详解】二次根式被开方数须非负：x−2≥0⟹x≥2；根据集合元素互异性，要求三个元素两两不等①1≠x−2两边同时平方：②1≠x结合x≥2，该条件自然成立；③x−2≠x由x≥2，可知x>0，两边平方得：x−2=判别式Δ=(−1)所以实数x的取值范围为：{x∣x≥2且x≠3}题型二：根据元素与集合的关系求参数角度1：求参数值【例2】（1）已知3∈4,a−4a,a【答案】{−2,4}【详解】由3∈4,a−①当a−4a=3时，得a2−3a−4=0但a=−1时，a2+3a+5=(−1)②当a2+3a+5=3时，得a2+3a+2=0，解得但a=−1时，a−4a=3综上可知，实数a的取值集合为{−2,4}.（2）设a∈Z，集合A=xx2+ax−2≥0，若−4∈A，2∈AA．0,1,2,3 B．−1,0,1 C．−1,1,2,3 D．−1,0,1,2,3【答案】D【详解】∵−4∈A，2∈A，∴16−4a−2≥04+2a−2≥0，解得∵a∈Z，∴满足条件的a组成的集合为−1,0,1,2,3．（3）已知全集U=2,3,4,5，集合A=a2−1,a2【答案】2【详解】因为2∈∁UA，所以a当a2−1=3时，得若a=2，则a2若a=−2，则a2当a2−1=4时，得a=±5当a2−1=5时，得a=±6【方法总结】类型I：元素属于数集：①将元素代入集合对应的解析式，列方程，解方程求参数值；②检验：根式/分式有意义、集合元素互异性；③确定最终参数的值；类型II：元素不属于数集：①先假设(a∈A)求出参数范围；②取其补集，得到(a∉A)的范围；③附加根式、分式等定义域限制；类型III：已知点属于集合：①将点坐标代入集合中的方程/不等式；②联立方程求解参数；③无互异性要求，只需检验式子本身有意义.【变式2-1】已知(1,2)∈(x,y)2x+ay−3=0，则a的值为【答案】1【详解】因为(1,2)∈(x,y)2x+ay−3=0，所以2+2a−3=0，解得：【变式2-2】已知集合A=a−4a,a2+2a+5,【答案】−2,4【详解】因为A=a−4a所以a−4a=3，或a若a−4a=3，则a2−3a−4=0，所以a−4当a=4时，A=3,29,33，符合题意，当a=−1时，A=若a2+2a+5=3，则a2若a2+3a+5=3，则a2+3a+2=0，解得当a=−1时，A=3,4,3，不符合题意，当a=−2时，A=综上所述，实数a的所有可能取值组成的集合为−2,4.角度2：求参数取值范围【例3】（1）已知集合A=xx2−3x+a>0,x∈R，且1∉A，则实数A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．【答案】A【详解】由题意可得12−3×1+a≤0，解得（2）已知集合A中元素x满足2x−a>0，且1∉A,2∈A，则（

）A．a>4 B．a≤2 C．2<a≤4 D．2≤a<4【答案】D【详解】∵1∉A，∴2×1−a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2−a>0，解得a<4，∴2≤a<4．【方法总结】类型I：元素属于不等式型集合：将元素代入不等式，直接解不等式（组）即可（有时还要注意不等式中是否含有分母、偶次根式、对数等，自带限制条件别忘记）；类型II：元素不属于集合：先求(a∈A)时参数范围，再取补集，同时兼顾定义域.类型III：已知点属于/不属于集合：将点坐标代入对应等式/不等式求解，点集无需验证元素互异性.【变式3-1】已知集合A=x2mx−3>0，m∈R，若1∉A且3∈AA．12,32 B．12,【答案】A【详解】由1∉A且3∈A，得2m−3≤0，6m−3>0，解得1题型三：根据集合中元素的个数求参数角度1：求参数值【例4】（1）如果集合A=xax2−4x−1=0A．0或4 B．4 C．0或−4 D．0【答案】C【详解】集合A=xax2−4x−1=0当a=0时，解得x=−14，则当a≠0时，Δ=−42−4a×−1综上可得a=0或a=−4.（2）已知6≤m≤9，集合A=x∈Zmx∈Z，则满足A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】由x∈Z,mx∈Z，且6≤m≤9所以依次讨论m为6,7,8,9时，集合A中的元素个数．对于A选项，m=6时，满足x∈Z,mx∈Z的x则集合A中有8个元素；故A错误，对于B选项，m=7时，满足x∈Z,mx∈Z的x则集合A中有4个元素；故B错误，对于C选项，m=8时，满足x∈Z,mx∈Z的x则集合A中有8个元素；故C错误，对于D选项，m=9时，满足x∈Z,mx∈Z的x则集合A中有6个元素，故D正确.【方法总结】类型I：方程解集型：集合为一元一次/二次方程的解集，限定元素个数（0个或1个）：①0个元素（空集）：方程无实数根；②1个元素（单元素集）：方程有两个相等实数根；③优先讨论二次项系数是否为0（区分一次、二次方程）.类型II：含参区间/不等式集合：集合由不等式构成，结合区间端点、参数范围限定元素个数，多求取值范围，根据不等式解集的构成，分析边界参数，确定范围.【变式4-1】已知a∈A且4−a∈A，a∈N且4−a∈N，则：若A有且只有2个元素，则集合A的个数是【答案】2【详解】因为a∈A且4−a∈A，a∈N且4−a∈若a=0，则4−a=4，此时A满足要求；若a=1，则4−a=3，此时A满足要求；若a=2，则4−a=2，此时A含1个元素．综上，当a=2时，集合A只有一个元素；当集合A有2个元素时，a=0或1，故满足题意的集合有2个.角度2：求参数取值范围【例5】（1）已知集合A=x1−a≤x≤1+a,a∈R【答案】0,1【详解】集合A=x则A≠∅，1−a≤1+a，即a≥0，此时1∈A，故1+a<21−a>0，解得a<1.故a∈（2）已知集合A={x∣−3≤x<m},B=−2,1，且A∩B中只有一个元素，则实数m的取值范围是（

A．−2,1 B．−2,1 C．−2,1 D．−2,1【答案】B【详解】因为集合A={x∣−3≤x<m},B=−2,1，且A∩B中只有一个元素，则必有−2∈A，且1不属于集合A所以−2<m≤1,则实数m的取值范围是(−2,1]（3）已知集合A=x∣m(1)若A中有两个元素，求实数m的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数m取值范围.【答案】(1){m−98<m<0或【详解】（1）由于A中有两个元素，∴关于x的方程mx∴Δ=9−4m×−2>0，且m≠0，即故实数m的取值范围是{m−98（2）当m=0时，方程为3x−2=0,x=23，集合当m≠0时，若关于x的方程mx2+3x−2=0即Δ=9−4m×−2=0若关于x的方程mx2+3x−2=0即Δ=9−4m×综上可知，实数m的取值范围是mm≤−【方法总结】类型I：方程解集型：集合为二次方程的解集，限定元素个数（0个或2个）：①0个元素（空集）：方程无实数根∆<0②2个元素：方程有两个不相等实数根∆>0类型II：不等式解集型集合：限定整数元素个数、离散元素个数，①先求解不等式，写出解集区间；②根据指定元素个数，分析区间端点临界值；③确定参数范围.【变式5-1】若集合x∣a3<x<3a2恰有8个整数元素，则实数【答案】a【详解】依题意可得7<3a2−a3≤9，解得6<a≤547题型四：根据集合的相等关系求参数值【例6】（1）已知a，b∈R，若a,ba,1=【答案】−1【详解】由已知得a≠0，则ba=0，所以于是a2=1，即a=1或又由集合中元素的互异性知a=1应舍去，故a=−1，所以a2027（2）若集合x|a−2x+a2>4【答案】(−【详解】令a−2x+a2化简得a−2x>−(a+2)(a−2)，即a−2而集合x|a−2可得a−2<0，解得a∈(−∞故答案为：(−【方法总结】根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性.【变式6-1】（多选）已知集合0,−2,2a=a−2,−a,a+2，则A．2 B．0 C．−2 D．4【答案】AC【详解】若a−2=0，则a=2，此时0,−2,2a=若a−2=−2，则a=0，此时2a=0，这不符合集合中元素的互异性，所以a=0不符合题意；若a−2=2a，则a=−2，此时0,−2,2a=【变式6-2】已知互异复数z1z2≠0，集合z【答案】−1【详解】∵z∴z1=∵z∴由①得z1由②两边相减得，z1−z故答案为z1题型五：根据集合间的包含关系求参数角度1：求参数值【例7】（1）已知集合A=x∣x2−14x+40=0，B=4,a+1,a2A．9 B．−3,3 C．−3,9 D．−3,3,9【答案】C【详解】令x2−14x+40=0，解得x=4或x=10，所以因为A⊆B，所以a+1=10或a2+1=10，解得a=9或a=−3或经检验：当a=3时，B=4,4,10所以实数a的取值集合为−3,9.（2）（多选）已知集合A=xx≤−3或x>5，B=x2a<x<a+3且B是A的真子集，则A．2 B．−6 C．2.5 D．4【答案】BCD【详解】因为B是A的真子集，若B=∅，则2a≥a+3，解得a≥3，符合题意；若B≠∅，则2a<a+3，解得a<3，则a+3≤−3或2a≥5，解得a≤−6或52综上所述：a≤−6或a≥5角度2：求参数范围【例8】（1）已知集合A=x12<x<2，B=xx−a<2A．0,52 B．0,52 C．【答案】B【详解】集合A=x12因为A⊆B，所以a−2≤12a+2≥2（2）已知集合A={x∣1<x≤3},B={x∣2m<x<1−m}.若∀x1∈A,∃x2∈B，使得【答案】−【分析】由题可得A⊆B，再利用集合的包含关系求解作答【详解】因为∀x1∈A，∃x2于是得2m≤11−m>3，解得m<−2所以实数m的取值范围是−∞【方法总结】已知两个集合之间的关系求参数：(1)因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论.(2)用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值.(3)若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程(组)求解.【变式8-1】已知A={xx<−3或x>1}（1）若B={xx<3m+1或x>m+2}，AB，求m（2）若B=xm+2<x<3m+1，BA【答案】（1）m−43≤m≤−1【详解】（1）AB即A的范围小于B的范围.当3m+1>m+2，即m>12时，B=R，满足A当3m+1≤m+2，即m≤12时，要使AB，由图1得①②等号不同时成立，解得−4综上所述，m的取值范围为m−43（2）BA即B的范围小于A的范围.要使BA，优先考虑B是否为空集.当3m+1≤m+2，即m≤12时，B=∅，满足B当3m+1>m+2，即m>12时，要使BA，由图2得3m+1≤−3或解得m≥−1.又因为m>12，所以综上所述，m的取值范围为R.题型六：根据集合的基本运算求参数角度1：根据并集运算求参数【例9】（1）A=x|−2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m−1，若A∪B=A，则实数m的取值范围是（A．−∞,3 B．−∞,2 C．【答案】A【分析】根据A∪B=A可得B⊆A，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出m的范围即可．【详解】已知集合A=x|−2≤x≤5，B=∵A∪B=A，∴B⊆A，①当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m−1，故m<2；②当B≠∅时，因B⊆A，则m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得综上，m∈−∞,3（2）（多选）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=x2a−3≤x≤a+1，若A．12 B．0 C．13 【答案】ABC【详解】∵A∪B=R，则2a−3≤−2a+1≥1，解得0≤a≤由选项可知，a的值可以是12或13或（3）已知集合A=x−3≤x≤4，B=x−2m−1≤x≤m+1.若【答案】m【详解】考虑当A∪B=A时，实数m的取值范围，则B⊆A，若B=∅，满足B⊆A，则m+1<−2m−1，解得m<−2若B≠∅，因为B⊆A，所以m+1≥−2m−1m+1≤4−2m−1≥−3，解得所以A∪B=A时，m的取值范围是mm≤1所以A∪B≠A时，m的取值范围是mm>1【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∪B=A（即B⊆A）：①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②分别列不等式组，借助数轴限定范围；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围类型3：已知A∪B=某确定区间（比如：R，1<x<6等）①画出已知并集的数轴范围；②画出集合A、B的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围；③列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点；④排除矛盾情况，得出范围.角度2：根据交集运算求参数【例10】（1）记全集U=R，集合A=xa−2≤x≤2a+1,a∈R，B=xx≤3或【答案】a|a≤1或a≥9【详解】因为A∩B=A，则A⊆B，A=xa−2≤x≤2a+1,a∈R，B={xx≤3当A=∅时，a−2>2a+1，解得a<−3；当A≠∅时，a−2≤2a+12a+1≤3或a−2≤2a+1解得−3≤a≤1或a≥9，综上,若A∩B=A，求a的取值范围为a|a≤1或a≥9.（2）已知集合A=x∣−3≤x≤1，B=x∣m−2≤x≤2m+1.若A∩B=∅，求实数【答案】m|m<−2或m>3【详解】因为A∩B=∅，当B=∅时，由（1）知m<−3；当B≠∅时，可得2m+1≥m−22m+1<−3或2m+1≥m−2m−2>1，解得−3≤m<−2或综上所述：实数m的取值范围是m|m<−2或m>3.【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∩B=A（即①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围.类型3：已知A①讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）；②集合非空时，数轴分析：A整体在B左侧或A整体在B右侧；③列不等式，重点核对端点等号.角度3：根据补集运算求参数【例11】（1）已知全集U=1,3,5,7,9，集合A=3,7,a−1，若∁UA=1,5A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】∵全集U=1,3,5,7,9，集合A=3,7,a−1，∴a−1=9，∴a=10，故选项D正确.（2）已知A=x|x2+px−6=0，B=x|x2【答案】14【详解】A∩∁RB所以22+2p−6=0，解得故A=x|又A∩∁RB=2所以−32−3q+2=0，解得q=11（3）已知集合A=x1≤x≤5，①B∪∁RA=R；②A∩∁问题：若选__________，求实数a的取值范围.【答案】a【详解】若选①，因B∪∁RA=R，可得若选②，因为A∩∁RB=∅，可得当a<0时，B=xx≤1a，由x1≤x≤5当a>0时，B=xx≥1a，由x1≤x≤5综上，实数a的取值范围为aa≥1【方法总结】类型1：已知补集，反求原集合中的参数.①由补集定义A=∁②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程；③验证端点/集合互异性.类型2：补集运算转化为子集关系求参：①分类转化为子集关系：A∩∁UB=∅⟺A⊆B②根据子集关系求出参数的取值范围.角度4：根据并交补混合运算求参数【例12】（1）（多选）全集U=x|x≥1，A=x|2<x<4，B=x|x≥3，C=x|a−1<x<2a+1，A．a=−2 B．a=0 C．a=3 D．a=4【答案】ACD【详解】A=x|2<x<4，B=∵U=x|x≥1由∁UA∪B当C=∅时，a−1≥2a+1，即a≤−2符合题意；当C≠∅时，1≤a−1<2a+1a−1≥2，解得a≥3综上：a≤−2或a≥3；（2）集合A=x−1<x<4，B=x−1≤x≤3，集合C=xA．m=−1 B．m=0 C．m=1 D．m=2【答案】D【详解】由集合A=x−1<x<4，可得A∪B=−1,4，则∁因为C∩∁R（A∪结合选项，可得选项D不满足题意.【方法总结】方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集．一、单选题1．设集合A是方程x2+ax−6=0的解集，且2∈A，则实数a的值为（A．−1 B．−4 C．1 D．4【答案】C【详解】因为2∈A，所以22+2a−6=0，解得2．已知集合A=xx2−3x+a>0,x∈R，且1∉A，则实数A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．【答案】A【详解】由题意可得12−3×1+a≤0，解得3．已知集合A=1,m,n，B=m2,m,mn．若A=B，则A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到m2=1mn=n若m2=nmn=1，解得m=n=1若m2=1mn=n，解得m=n=1当m=−1n=0时，A=B=1,−1,0，符合题意，所以所以m2024．已知集合A=x−2≤x≤5，已知B=xm+1≤x≤2m−1，若B⊆A，则实数A．m≥3 B．2≤m≤3 C．m≤3 D．m<3【答案】C【详解】当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2；当B≠∅时，m+1≤2m−1−2≤m+12m−1≤5，解得综上，m≤3，即实数m的取值范围为(−5．设集合M=x|(x−a)(x−3)=0,N=x|(x−4)(x−1)=0A．若M∪N=1,3,4，则B．若M∪N=1,3,4，则C．若M∩N=∅，则M∪N有4个元素D．若M∩N≠∅，则M∪N=【答案】D【详解】（1）当a=3时，M=3，M∩N=∅,M∪（2）当a=1时，M=1,3（3）当a=4时，M=3,4（4）当a≠1,3,4综上可知A，B，C，不正确，D正确6．已知集合A=xx<−3或x>1，B=xx≤−4或x>a，若A∩∁A．3<a<4 B．3≤a<4 C．3<a≤4 D．3≤a≤4【答案】B【详解】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数，∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，∴3≤a＜4．二、多选题7．已知全集U=R，集合A=x|−2≤x≤7，B=x|m+1≤x≤2m−1A．m|6≤m≤10 B．m|−2<m<2C．m|−2<m<−12 【答案】BC【详解】①当B=∅时，令m+1>2m−1，得m<2，此时∁U②当B≠∅时，m+1≤2m−1，得m≥2，则∁UB=x|x<m+1因为∁UB∩A=A，所以A⊆∁U解得m>6或m<−1因为m≥2，所以m>6综上