初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法方法1：配凑法角度1：配凑和为定值【例1】求函数y=x(1−3x)(0<x<1【方法总结】配凑和为定值，再利用基本不等式求积的最值策略：1、最值定理：已知a,b都是正数，若a+b＝s(和s为定值)，则当a=b2、技巧：配凑某两个式子的和为定值，往往借助相反数的和为0进行配凑.3、口诀：谁的和为定值，谁的乘积就有最值，同时谁就是a与b.【变式1-1】已知0<x<22，则4x1−2角度2：配凑积为定值【例2】（1）已知实数x>−1，则4x+1+x的最小值是（2）当x>0时，函数y=x2+1【方法总结】配凑积为定值，再利用基本不等式求和的最值策略：1、最值定理：若ab＝p(积p为定值)，则当a=b时，和a2、技巧：配凑某两个式子的积为定值，往往借助倒数的乘积为1进行配凑.3、口诀：谁的积为定值，谁的和就有最值，同时谁就是a与b.【变式2-1】设a>0，则a+4a+1a的最小值为（A．2a+1 B．24a+1 C．6【变式2-2】若x>1，则x2−2x+5x−1A．最小值−2 B．最大值4 C．最小值−4 D．最小值4方法2：常数代换法角度1：常规代换【例3】已知x>0，y>0，且2x+1y=1【方法总结】常数代换法求最值方法（巧用数字“1”的代换）：1、两个类型：(1)已知正数x,y满足ax+by=1，求mx+n(2)已知正数x,y满足ax+by=12、代换的一般解题步骤：第1步（定值）：根据已知条件或其变形确定定值（常数）；第2步（化“1”）：把确定的定值（常数）变形为“1”；第3步（变形求值）：把“1”的式子与所求最值的式子相乘或相除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解.【变式3-1】设正实数a，b满足a+b=1，则1a+4A．7 B．8 C．9 D．10角度2：变异型代换【例4】（1）13．已知0<a<1，则1a+1A．4 B．3 C．2 D．1（2）已知x>0,y>0，且x+y=1，则12x+y+1A．1 B．2 C．3+225 【方法总结】变异型常数代换法求最值的方法：1、特征：已知两个分式相加或者求两个分式相加的最值，分母不是单独的字母2、解题步骤：（1）换元：把两个分母换元为一个字母，然后用新元表示已知条件（2）转化：通过换元即可把问题转化为常规常数代换.【变式4-1】已知a,b,c为正数，且a+2b+c=2，则1a+b+4A．52 B．54 C．92方法3：消元法角度1：双元变单元【例5】已知5m2n2A.63B.6C.45【方法总结】消元法之双元变单元求最值的策略：对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用一个变量表示出另一个变量，再代入代数式中进行化简，并利用基本不等式求解.【变式5-1】已知a>0，b>0，b+4a−ab+1=−1，则a+b的最小值为（A．11 B．10 C．9 D．8角度2：整式消元【例6】若a>0，b>0，a+b+ab=3，则a+b的最小值为（

）A．1 B．3 C．2 D．3【方法总结】消元法之整式消元求最值的策略：将基本不等式a+b≥2ab中的两个整式“a+b”与“ab提示：不仅基本不等式可以整式消元，不等式链接21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b2【变式6-1】已知正数x,y满足x+y−xy+3=0，则xy的最小值为_______．方法4：齐次化法【例7】已知实数a、b>0，且a+b=1，则a2b+1A．2+1 B．2 C．22【方法总结】齐次化法求最值的一般步骤：1、判定变量符号：先确认题目中所有变量均为正数，满足基本不等式的使用前提；2、判断式子次数：分别查看已知条件和待求最值的式子，判断目标式是否齐次，不齐次须变形；3、统一次数：结合已知条件对目标式进行齐次变形，一般是乘以已知条件式子升次；4、拆分并套用基本不等式：把整理好的齐次式展开、拆分，凑成两部分互为倒数的形式，然后利用基本不等式求最值；5、检验最值是否取得到：结合等号成立条件与原题已知等式，解出对应变量的值，从而得解最值；【变式7-1】已知x>0,y>0,x+2y=1,则(x+1)(y+1)一、单选题1．已知0<x<2，则y=x4−A．2 B．4 C．5 D．62．已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3−22 D．最小值3．实数x,y满足x+y=−1,x>0，则x−yx的最小值为（A．1 B．2 C．3 D．44．已知x>−1,y>−1,xy+x+y+1=1，则x+y的最小值是（

）A．0 B．−1 C．−125．已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2A．78 B．C．910 D．6．1．已知正数a，b，且b>12，满足a+2b=2ab−3，则（A．a的取值范围是1,+∞ B．a+C．ab的最大值为92 D．2a+b的最小值为二、多选题7．下列说法正确的有（

）A．x+1x(x≠0)的最小值是2 C．x2+2+1x28．设正实数x,y满足x+2y=4，则以下说法正确的有（

）A．x2+y2的最小值为165C．x+y的最大值为4 D．1x+9．设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是（

）A．ab有最大值12 B．1aC．a+b有最大值2 D．a三、填空题10．已知x>0，则y=x2+x+2x的最小值为________11.已知正数m､n，满足2m+3n−mn=0，则2m+3n的最小值为12．已知a>0,b>0,a+2b=1，则b2+a+12ab的最小值四、解答题13．7．已知a>0，b>0．(1)若a−b=2，求证：a+4(2)若0<a<2，求1a(3)若b+22abx−a+b14．（1）已知正数a、b满足1a+1（2）若a,b>0，且ab=a+b+8，求a+b的最小值；（3）已知x>1，求y=4（4）已知正数a、b满足4a+2b=3.求12a+1

专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法方法1：配凑法角度1：配凑和为定值【例1】求函数y=x(1−3x)(0<x<1【答案】1【详解】因为0<x<13，所以3x>0，所以y=x(1−3x)=13⋅3x⋅(1−3x)（配凑了：3x+1−3x=1为定值，可以在心里把3x看作是a，1−3x当且仅当3x=1−3x，即x=16时，故函数y=x(1−3x)(0<x<13)故答案为：1【方法总结】配凑和为定值，再利用基本不等式求积的最值策略：1、最值定理：已知a,b都是正数，若a+b＝s(和s为定值)，则当a=b2、技巧：配凑某两个式子的和为定值，往往借助相反数的和为0进行配凑.3、口诀：谁的和为定值，谁的乘积就有最值，同时谁就是a与b.【变式1-1】已知0<x<22，则4x1−2【答案】2【详解】由于0<x<22，故4x1−2（配凑了：2x2+1−2x2=1为定值，可以在心里把2当且仅当2x2=1−2x2，即x=故答案为：2角度2：配凑积为定值【例2】（1）已知实数x>−1，则4x+1+x的最小值是【答案】3【详解】4x+1（配凑了：4x+1∙x+1=4为定值，可以在心里把4x+1看作是a当且仅当4x+1=x+1，即所以4x+1+x（2）当x>0时，函数y=x2+1【答案】2【详解】因为x>0，所以y=x2+1（配凑了：拆分分式后，配凑了x∙1x=1为定值，可以在心里把x看作是a，故函数y=x2+1【方法总结】配凑积为定值，再利用基本不等式求和的最值策略：1、最值定理：若ab＝p(积p为定值)，则当a=b时，和a2、技巧：配凑某两个式子的积为定值，往往借助倒数的乘积为1进行配凑.3、口诀：谁的积为定值，谁的和就有最值，同时谁就是a与b.【变式2-1】设a>0，则a+4a+1a的最小值为（A．2a+1 B．24a+1 C．6【答案】C【详解】a+4a+1当且仅当a=1a，即故a+4a+1a的最小值为【变式2-2】若x>1，则x2−2x+5x−1A．最小值−2 B．最大值4 C．最小值−4 D．最小值4【答案】D【详解】由题意得x2因为x>1，所以x−1>0，则(x−1)2由基本不等式可得x−1+4当且仅当x−1=4x−1时取等，此时解得则x2方法2：常数代换法角度1：常规代换【例3】已知x>0，y>0，且2x+1y=1【答案】8【详解】x+2y=x+2y当且仅当xy=4yx时等号成立，即【方法总结】常数代换法求最值方法（巧用数字“1”的代换）：1、两个类型：(1)已知正数x,y满足ax+by=1，求mx+n(2)已知正数x,y满足ax+by=12、代换的一般解题步骤：第1步（定值）：根据已知条件或其变形确定定值（常数）；第2步（化“1”）：把确定的定值（常数）变形为“1”；第3步（变形求值）：把“1”的式子与所求最值的式子相乘或相除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解.【变式3-1】设正实数a，b满足a+b=1，则1a+4A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】1a当且仅当a=13，角度2：变异型代换【例4】（1）13．已知0<a<1，则1a+1A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】令m=a，n=1−a，所以因为0<a<1，所以1−a>0，即m>0，n>0则1a+11−a=所以1a（2）已知x>0,y>0，且x+y=1，则12x+y+1A．1 B．2 C．3+225 【答案】C【详解】令m=2x+y，n=x+3y，所以因为x>0,y>0，所以m>0,则12x+y当且仅当n5m=由x+y=1x+3y=2(所以当x=3−22+2,y=【方法总结】变异型常数代换法求最值的方法：1、特征：已知两个分式相加或者求两个分式相加的最值，分母不是单独的字母2、解题步骤：（1）换元：把两个分母换元为一个字母，然后用新元表示已知条件（2）转化：通过换元即可把问题转化为常规常数代换.【变式4-1】已知a,b,c为正数，且a+2b+c=2，则1a+b+4A．52 B．54 C．92【答案】C【详解】令m=a+b，n=b+c，因为a,b,c因为a+2b+c=2，所以m+n=2，即1易知1a+b当且仅当时nm=4mn方法3：消元法角度1：双元变单元【例5】已知5m2n2A.63B.6C.45【答案】C【详解】由5m2nm2+n2=15即n2=12，【方法总结】消元法之双元变单元求最值的策略：对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用一个变量表示出另一个变量，再代入代数式中进行化简，并利用基本不等式求解.【变式5-1】已知a>0，b>0，b+4a−ab+1=−1，则a+b的最小值为（A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【详解】因为b+4a−ab+1=−1，由题设b+1=a(b−3)，又a>0，b>0，故b>3，所以a+b=b−3+4b−3+4≥2(b−3)⋅4所以a+b的最小值为8.角度2：整式消元【例6】若a>0，b>0，a+b+ab=3，则a+b的最小值为（

）A．1 B．3 C．2 D．3【答案】C【详解】对于正数a,b,有a+因为a+b+ab=3，所以ab=3a即a+b2+4a+b−12≥0，解得故a+b≥2，当且仅当a=b=1时等号成立.所以a+b的最小值为2.【方法总结】消元法之整式消元求最值的策略：将基本不等式a+b≥2ab中的两个整式“a+b”与“ab提示：不仅基本不等式可以整式消元，不等式链接21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b2【变式6-1】已知正数x,y满足x+y−xy+3=0，则xy的最小值为_______．【答案】9【详解】对于正数x,y,有x+y≥2xy,当且仅当x=y因为x+y−xy+3=0，所以得x+y=xy−3即xy−3≥2xy，所以(故xy≥3或xy故xy≥9，即xy的最小值为9，当且仅当x=y=3时取最小值，故答案为：9方法4：齐次化法【例7】已知实数a、b>0，且a+b=1，则a2b+1A．2+1 B．2 C．22【答案】A【详解】因为实数a、b>0，且a+b=1，所以a2b当且仅当a2b=ba，即a=2−2【方法总结】齐次化法求最值的一般步骤：1、判定变量符号：先确认题目中所有变量均为正数，满足基本不等式的使用前提；2、判断式子次数：分别查看已知条件和待求最值的式子，判断目标式是否齐次，不齐次须变形；3、统一次数：结合已知条件对目标式进行齐次变形，一般是乘以已知条件式子升次；4、拆分并套用基本不等式：把整理好的齐次式展开、拆分，凑成两部分互为倒数的形式，然后利用基本不等式求最值；5、检验最值是否取得到：结合等号成立条件与原题已知等式，解出对应变量的值，从而得解最值；【变式7-1】已知x>0,y>0,x+2y=1,则(x+1)(y+1)【答案】8+4【详解】由x+2y=1可得(x+1)(y+1)≥2当且仅当2xy=6yx,即一、单选题1．已知0<x<2，则y=x4−A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】因为0<x<2，所以可得4−x2>0当且仅当x2=4−xy=x4−2．已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3−22 D．最小值【答案】B【详解】由题意当x<0时，fx=3+−x3．实数x,y满足x+y=−1,x>0，则x−yx的最小值为（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】x+y=−1,y=−1−x，所以x−yx=x+1+x4．已知x>−1,y>−1,xy+x+y+1=1，则x+y的最小值是（

）A．0 B．−1 C．−12【答案】A【详解】由题设(x+1)(y+1)=1且x>−1,y>−1，则y+1=1x+1，所以x+y=x+1+1所以x+y的最小值是0.5．已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2A．78 B．C．910 D．【答案】C【详解】解：因为a+2b=6，所以a+2+2b+2=10，所以1a+2当且仅当2b+2=2a+2，即a=436．1．已知正数a，b，且b>12，满足a+2b=2ab−3，则（A．a的取值范围是1,+∞ B．a+C．ab的最大值为92 D．2a+b的最小值为【答案】D【详解】由a+2b=2ab−3，所以a2b−1=2b+3，即又b>12，所以2b−1>0，所以a>1，即a的取值范围为由y=a+1a在1,+∞单调递增，所以a+1由ab=1+42b−1当122b−1=22b−1时，即b=由2a+b=21+42b−1+b=82b−1+b+2=所以2a+b的最小值为132二、多选题7．下列说法正确的有（

）A．x+1x(x≠0)的最小值是2 C．x2+2+1x2【答案】BD【详解】对A，当x<0时，x+1对B，a<0,b<0，则ab>0,ba>0，b对C，x2+2+1x2+2≥2对D，a>0,b>0，(a+b)1a+8．设正实数x,y满足x+2y=4，则以下说法正确的有（

）A．x2+y2的最小值为165C．x+y的最大值为4 D．1x+【答案】AB【详解】对于A：∵x=4−2y，∴x所以当y=85,x=45对于B：(=a2即(ac+bd)2当且仅当ad=bc时，等号成立，所以(x当且仅当2y=22所以x+y的最大值为对于C：∵x=4−2y,y>0，∴x+y=4−2y+y=4−y<4，故C错误；对于D：1x当且仅当2yx=x所以1x+19．设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是（

）A．ab有最大值12 B．1aC．a+b有最大值2 D．a【答案】ABC【详解】对于A，由基本不等式a+b≥2ab，代入a+b=1得1≥2ab，即当且仅当a=b=12时等号成立，所以ab最大值为对于B，1a+1故1a+1所以1a+1对于C，(a+b故(a+b当且仅当a=b=12时等号成立，所以a+对于D，a2+b2=(a+b则a2即a2+b2最小值为三、填空题10．已知x>0，则y=x2+x+2x的最小值为________【答案】22+1【详解】因x>0，则y=x2+x+2故当x=2时，y=x2故答案为：22+1