【数学】河南天立教育2025-2026学年高二下学期开学联考试题(解析版)

河南天立教育2025-2026学年高二下学期开学联考数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】如图所示：设切点为Q，则，则，设，则由两点间距离公式得到，解得，因为，所以，因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.故选：A.2.已知函数，则（）A.－12 B.12 C.－26 D.26【答案】C【解析】因为函数，所以，令则，，解得，所以，，所以，，所以.故选：C.3.若点在圆外，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点在圆外，则，解得.故选：B.4.已知数列为等比数列，，则（）A. B.C.2 D.【答案】C【解析】因为为等比数列，则公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，则，故.故选：C.5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，，，在上的投影向量可为故选：A.7.已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（）A.20 B.24 C.36 D.40【答案】C【解析】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，显然，而，且，解得，则，，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以的最大值为.故选：C.8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆方程为：，将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为，解得，因为，所以故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（）A.直线恒过定点 B.最小值为C.的最小值为 D.满足的点有且只有一个【答案】AC【解析】对于A，圆的圆心为，半径为，设，在直线上，，、为圆的切线，以为直径的圆的方程为，，两式作差可得直线的方程为，将代入得：，满足，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，，当最小时，最小，，，，此时，故B错误；对于C，，到的距离，，当时，，故C正确；对于D，若，则，即，，存在两个点使，故D错误.故选：AC.10.数列满足：，，，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递减数列 D.的前项和【答案】AB【解析】解：数列满足：，，，，，，数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确；，，故正确；数列是递增数列，故错误；数列的前项和为：，的前项和，故错误．故选：．11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.若点满足，则动点的轨迹长度为B.三棱锥体积的最大值为C.当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为D.当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为【答案】CD【解析】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；对于B，因为，而等边的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，易知点是正方体到平面距离最大的点，所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，其高为，所以，B错误；对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，又，弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；对于D，取的中点分别为，连接，如图2所示，因平面平面，故平面，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面与平面是同一个平面.则点的轨迹为线段：在三角形中，则，故三角形是以为直角的直角三角形；故，故长度的最大值为，故正确.故选：.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数满足，则__________.【答案】##【解析】因为，所以.故答案为：.13.已知向量，，若，则________．【答案】3【解析】由题意知向量，，，故存在实数，使得，即，解得，故，故答案为：3.14.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】双曲线的右焦点为，连接，由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形，又，，则有，，又由双曲线的定义得，解得，再由余弦定理：，即，得，再由，故渐近线方程为：，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知圆.（1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程；（2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）.解：（1）圆的圆心为，半径，过点的切线，若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；若切线的斜率存在，设切线方程为，即则根据相切可得：，即，解得，所以切线方程为，即；即过点的切线方程为或，（2）由，得，整理可得：，设，由，解得则，所以，即，因为，所以，即的取值范围为.16.已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．解：（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为；（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线方程中令，得，所以，此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或17.设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4.（1）求的方程；（2）设过的另一直线交于两点，且点在直线上.（i）证明：直线过定点；（ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程.（1）解：设直线方程：，代入中，消去得.设，则.当时，有的最小值为.，故的方程为.（2）（i）证明：设直线方程：.由消去得.①又由（1）知，同理.当的斜率不存在时，的斜率不存在时，不妨设此时，；当的斜率存在时，直线的斜率.直线方程为，化简得②由①②得，即.由得，直线过定点；所以直线过定点；（ii）解：由（i）知，直线方程为：，点到直线的距离，，解得或6.所以点坐标为，或.且，或.直线方程为或.18.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：为的中点，侧面底面.侧面底面平面，平面.（2）解：∵底面为直角梯形，其中，，又平面，∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，设平面PAD的法向量.设平面的法向量，则，取，得.设平面与平面夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.（3）解：设线段上存在，使得它到平面的距离为，到平面的距离，解得或（舍去），则，则.19.已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．（1）若，且为“2数列”，求．（2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式．（3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：．（1）解：由，且为“2数列”，得，即，则，，，．（2）解：设数列的公比为，由，得，即，则．两式相减得，即