【数学】黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考试试题(解析版)

黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据的第75百分位数与极差的差为（）A.67 B.66 C.65 D.64【答案】D【解析】将样本数据按从小到大排列为，共10个数据，且，故样本数据的第75百分位数为第8个数，即94，极差为，所以样本数据的第75百分位数与极差的差为94-30=64.故选：D.2.已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（）A.5 B. C.7 D.8【答案】C【解析】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条；从地不经过地到地的路线有1条.根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条.故选：C.3.设随机变量，若，则（）A.1 B.0 C. D.-1【答案】C【解析】由正态分布关于均值对称，知，解得.故选：C.4.已知直线与直线平行，则实数的值为（）A.-4 B.1 C.-1 D.-4或1【答案】A【解析】因为直线与直线平行，所以，解得或.当时，直线，直线，满足题意；当时，直线，直线0，两直线重合，舍去.综上所述，.故选：A.5.已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（）A. B. C.40 D.80【答案】B【解析】由题知，，解得，所以的展开式的通项为，令，得，所以的系数为.故选：B.6.某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数种，小球号码之和等于7情况有，共2种情况；号码之和等于6的情况有，共3种情况；号码之和等于5的情况有，共4种情况，所以中奖的情况数种，所以中奖的概率为.故选：D.7.某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法，再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法，所以不同的分配方法种数为种.故选：B.8.已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知直线过定点，直线过定点，又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.又的中点坐标为，半径，所以圆的方程为.因为圆心到直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（）A.B.估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表）C.估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78D.从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件【答案】ABD【解析】由，得，A正确；平均数为，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71，B正确；因为，所以中位数在第4组，设中位数为，则，解得，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误；由频率分布直方图可知100件零件中二等品有件，一等品有件，故从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有件，D正确.故选：ABD.10.已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（）A.若与相互独立，则B.若，则与相互独立C.若与互斥，且与也相互独立，则D.若与相互独立，且与也相互独立，则【答案】ABD【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立，所以，因为，A正确；，又，所以，又，所以，即与相互独立，B正确；因为与互斥，所以，又因为与相互独立，所以，C错误；因为与相互独立，所以，又因为与相互独立，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则下列结论正确的是（）A.的取值范围为B.若，则C.以为直径的圆与圆相切D.若，则点的坐标为或【答案】AC【解析】双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则.所以双曲线的渐近线的斜率为.因为直线与的左支交于两点，所以的取值范围为，故A正确.由双曲线定义得，设，则.在中，由余弦定理，知，所以，故B错误.设的中点为，又圆9的圆心为，为的中点，所以.又，所以以为直径的圆半径为，因为圆的半径，所以两圆的圆心距，所以两圆内切，故C正确.由0，知.设内切圆分别与轴相切于点，则.因为，解得.所以点的横坐标为3.设，，可得.因为的面积为，所以其内切圆半径，所以点的坐标为或，故D错误.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，若，则__________.【答案】36【解析】由题知，所以，解得.故答案为：36.13.已知随机事件互相独立，且满足，则__________.【答案】【解析】因为互相独立，所以.又因为，把代入可得：，故.由相互独立，得.故答案为：.14.现有30张彩票，其中有3张中奖彩票，从中任取张，若这张彩票中至少有1张中奖的概率大于，则的最小正整数值为__________.【答案】6【解析】由题知“张彩票都不中奖”的概率为，故“张彩票中至少有1张中奖”的概率为.由，得，即，当时，随着的增大而减小，当时，；当时，，所以的最小正整数值为6.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表.性别满意不满意合计男性404080女性8040120合计12080200（1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联；（2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率附：.0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关.经计算得，依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，结合列联表可得，对该款坚果礼盒满意的顾客共120人，其中男性有40人，女性有80人，抽取2人至少有1名女性的概率为.16.已知圆，直线过原点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.解：（1）圆圆心的坐标为，半径，①当直线的斜率不存在时，直线为，圆心到直线的距离，直线为圆的切线，②当斜率存在时，设直线为，圆心到直线的距离，由题知直线与圆相切，则，解得，所以直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.（2）直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离，弦长，所以，当时，面积最大，此时，整理得，解得，所以直线的方程或.17.某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示：宣传费（十万元）3456销量（百万件）2.5344.5（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围.参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.解：（1）由题知，，所以，所以.所以关于的经验回归方程为.（2）设甲､乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，则的所有可能取值为，又，，，所以，，令，即，解得.又，所以的取值范围为.18.甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.（1）求的值；（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；（3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望.解：（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为.则取到的标号都是2的概率是，整理得，解得或（舍去）.（2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”.因为，，所以.（3）可能取值为，因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为，所以，，，，.所以的分布列为：01234所以.19.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上，抛物线的焦点为.