高中数学解题思想方法技巧：瞄准“0”定单调性- （解答题技法）原卷版

试卷第=page22页，共=sectionpages88页试卷第=page11页，共=sectionpages88页瞄准“0”定单调性（解答题技法）瞄准“0”定单调性，速破函数最值或范围是指通过判断函数的导数大于0或小于0，得出函数的单调性，进而求出函数的最值或范围．这种方法几乎适用于所有类型的函数（包括含参与不含参函数）的最值或范围问题（只要易于求导）．非二次型导函数求出函数的导函数，化简后的导函数不是二次函数或者分子不是二次函数，这样的导函数我们将称之为非二次型导函数.对于非二次型导函数，我们可以从函数的平移与伸缩的角度进行解读，由此确定导函数的零点是否存在.【母题1】（24-25高三·山东聊城·期末）设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性．【解析】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为．（2）【先求定义域，再求导】的定义域为．当时，，令，则在上单调递减，在上单调递增，因此，的最小值为．【瞄准“0”：瞄准最小值，得到，分，讨论导数符号】当时，，则，此时，在上单调递增．当时，令，得．当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．【母题2】［2025福建福州7月联考，17分］已知函数．（1）当时，求函数的最小值．（2）若，求a的取值范围．解析（1）由题意知，当时，．【求定义域】求函数的单调区间，要在函数的定义域内讨论，为了加快解题速度，不用写“函数的定义域为”，直接在函数解析式后面加括号，指出自变量的范围即可则．【定单调性】接下未定单调性，发现一阶导的正负不易判断，需构造函数，对新构造的函数再次求导令，则．令，则，则在上单调递增．，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以在上单调递增，且．当时，；当时，．【瞄准“0”】瞄准“”，讨论的单调性，所在在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为．（2）等价于，即．令，则．令，则，所以当时，，当时，，所以，因为，，，所以在上存在唯一的使得，在上存在唯一的使得，故要满足题意，有或恒成立．由，得．①若，则，单调递减．当时，；当时，．不满足题意．②若，则在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以不存在恒成立的情形，故，即，得．综上所述，a的取值范围为．【母题3】［2025浙江浙东联盟8月联考，17分］设函数，其中．（1）求的单调区间．（2）若存在极值点，且，其中，求证：．（3）若，函数，求在上的最大值．解析（1），，①当时，恒成立，在R上单调递增．②当时，在，上单调递增，在上单调递减．综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．（2）由（1）知，，即，即，即，即，又，所以．（3）当时，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，，所以在上单调递增［瞄准“0”：瞄准“”，得到的单调性，分类讨论求解最大值］．①当即时，在上单调递增，；②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上，；③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，，当即时，在上，，当即时，在上，．综上，在上，【母题4】（24-25高三·北京·开学考试）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数是增函数，求实数a的取值范围；（3）若，求的最大值.【解析】（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率为0，所以曲线在处的切线方程为.（2）由题意得，且在定义域内恒成立，则，【转化问题，分离参数使问题“去参数化”】令，显然时，，即此时单调递减，时，，即此时单调递增，所以，则，实数a的取值范围为.（3）若，则，令，则，【瞄准“0”，由对参数进行分类讨论】若，则，此时在R上单调递增，当时，，不符合题意；当，则时，，此时单调递增，时，，此时单调递减，即，即，所以，令，易知当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，即，所以，当且仅当时，，所以的最大值为.（24-25高三·广东湛江·期末）1．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.（24-25高三·山西晋城·期末）2．设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，讨论的单调性．（24-25高三·甘肃白银·阶段练习）3．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．（24-25高三·河北邢台·期末）4．已知函数．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)若在上单调递增，求的取值范围．（24-25高三·辽宁葫芦岛·期末）5．已知函数．(1)当时，求的单调递增区间；(2)若有两个极值点．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．（24-25高三·吉林长春·开学考试）6．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.（24-25高三·黑龙江·期末）7．已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，令函数，证明：．（24-25高三·浙江宁波·期末）8．已知函数（）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求的取值范围.（2025·河南郑州·