一元线性回归模型课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2.1一元线性回归模型第八章

成对数据的统计分析复习回顾通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.思考

是否可以建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系？并通过模型进行预测？Yx统计模型新知学习情境：生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关。一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高。为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示.编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182由这组样本数据能否推断儿子的身高与父亲的身高有关系？关系的相关程度如何？为什么？新知学习从图上看，散点大致分布在一条直线附近.由散点图的分布趋势表明儿子的身高与父亲的身高线性相关.画出散点图：利用统计软件求得相关系数r＝0.886，表明儿子的身高与父亲的身高正线性相关，且相关程度较高．新知学习编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182问题1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间能用函数模型刻画吗？不能，不符合函数定义，集合A中的任意一个数，在集合B中都存在唯一的数与它对应.因此它们之间不是函数关系，不能用函数关系刻画.新知学习问题2：由于其他因素的存在，使得儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系，那么影响儿子身高的其他因素是什么？母亲的身高生活的环境饮食习惯...营养水平体育锻炼新知学习建立模型：如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高，用e表示各种其它随机因素影响之和，称e为随机误差，由于儿子身高与父亲身高线性相关，所以假设：①随机误差e的均值为0；Y＝bx＋a＋e②方差为与父亲身高无关的定值σ2.新知学习思考：为什么要假设E(e)＝0，而不假设其为某个不为0的常数？因为误差是随机的，取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为

0.如果随机误差是一个不为0

的常数e，则可以将e合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解.请根据以上的分析，你能建立一个数学模型表示儿子身高与父亲身高的关系吗？概念生成如果用

x表示父亲身高，Y

表示儿子的身高，e

表示随机误差。假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量.a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．函数模型与回归模型之间的差别：新知学习函数模型：y＝bx＋a回归模型：Y＝bx＋a＋e一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e增加了随机误差项e，因变量Y的值由自变量

x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分Y的变化.解释变量x

(身高)模型误差e(其它所有变量)响应变量Y(体重)新知学习问题3：结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型的意义是什么?可以解释为父亲身高为xi

的所有男大学生身高组成一个子总体，该子总体的均值为bxi＋a，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系.新知学习对于父亲身高为

xi的某一名男大学生，他的身高yi并不一定为bxi＋a，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项ei＝yi－(bxi＋a).问题4：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi＋a吗？新知学习问题5：你能结合具体实例解释产生模型中随机误差项的原因吗?忽略了其它因素的影响：影响身高

y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；在测量身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；用线性回归模型近似真实模型所引起的误差.以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。典例剖析例1

某公司的利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表对应数据：(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系.x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)散点图如右图所示：(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.解析：变式训练练习1说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子.路程与速度的关系、正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画，体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以用回归模型刻画。举例：►课本P107变式训练练习2将图中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系；