2027届新高考数学热点突破复习+导数与函数的极值、最值

2027届新高考数学热点突破复习导数与函数的极值、最值课标要求1.

借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.

能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值.3.

掌握利用导数研究函数最值的方法.4.

会用导数研究生活中的最优化问题.01PART夯实必备知识

知识梳理

1.

函数的极值与导数条件f'（x0）＝0x0附近的左侧f'

（x）

0，右侧f'

（x）

⁠0x0附近的左侧f'（x）

0，右

侧f'（x）

⁠0＞

＜

＜

＞

图象

形如山峰

形如山谷极值f（x0）为极

⁠值f（x0）为极

⁠值极值点x0为极

⁠值点x0为极

⁠值点大

小

大

小

提醒：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极

大值点，极大值为f（x1）；（2）f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极

值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点.2.

函数的最值与导数（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条

⁠的

曲线，那么它必有最大值和最小值；（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的

⁠

，f（b）为函数的

；若函数f（x）在[a，b]上单调递

减，则f（a）为函数的

，f（b）为函数的

⁠.连续不断

最小

值

最大值

最大值

最小值

若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定

是函数的最值点.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）对于可导函数f（x），若f'（x0）＝0，则x0为极值点.

（

×

）（2）函数的极大值不一定比极小值大.

（

√

）（3）闭区间上的连续函数必有最值.

（

√

）（4）函数在区间（a，b）上不存在最值.

（

×

）（5）函数的极大值一定是函数的最大值.

（

×

）（6）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，则y＝f（x）在区间

（a，b）内不单调.

（

√

）×√√××√2.

如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是

（

）A.

y＝f（x）在x＝－1处取得极大值B.1是函数y＝f（x）的极值点C.

－2是函数y＝f（x）的极小值点D.

函数y＝f（x）在区间（－1，1）上单调递减√解析：

由题图可知当x＜－2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当

x≥－2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，故－2是函数y＝f（x）的极

小值点，y＝f（x）无极大值.故选C.

3.

函数f（x）＝ln

x－x在区间（0，e]上的最大值为（

）A.1－eB.

－1C.

－eD.0√

4.

函数

g（x）＝－x2的极值点是

，函数f（x）＝（x－1）3的极值

点

（填“存在”或“不存在”）.解析：结合函数图象（图略）可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f'

（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝

（x－1）3不存在极值点.5.

若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝

⁠.解析：∵f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝e2＋a＝0，解

得a＝－e2，经检验，符合题意.0

不存在

－e2

02PART研透核心考点函数的极值（定向精析突破）考向1

由图象判断函数的极值

〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数g

（x）＝xf'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A.

f（x）有两个极值点B.

f（0）为f（x）的极大值C.

f（x）有两个极小值点D.

f（－1）为f（x）的极小值√√解析：

根据g（x）＝xf'（x）的图象，可得当x＜－2时，g（x）＝

xf'（x）＞0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当－2＜x＜0时，g

（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，当0＜x＜1

时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当x＞

1时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，因此

f（x）在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值

点，A错误，C正确；f（0）为f（x）的极大值，B正确；f（－1）不是f

（x）的极小值，D错误.

由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值

点；（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可

得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.考向2

求函数的极值（极值点）

已知函数f（x）＝ln

x－ax（a∈R）.

于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：x（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－f（x）单调递增ln

2－1单调递减故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln

2－1，无极小值.（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.

求函数的极值或极值点的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根；（3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的

极值.考向3

已知函数的极值求参数

（1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－

2）（x－a）的极值点，则f（0）＝

⁠；解析：

f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）

（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因

为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝

0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所

以f（0）＝－4.－4

（2）若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范

围为

⁠.

已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定

系数法求解；（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用

待定系数法求解后必须验证根的合理性.提醒：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在

（a，b）内不是单调函数.

C.

（－∞，3）

B

A.

bc＞0B.

ab＞0C.

b2＋8ac＞0D.

ac＜0BCD

函数的最值（定向精析突破）考向1

不含参函数的最值

D.2π，－2πA

（2）已知函数f（x）＝2ln

x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），

则x2－2x1的最大值为

⁠.

－4

利用导数求给定区间上函数最值的步骤（1）求函数f（x）的导数f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值；（3）求f（x）在给定区间上的端点值；（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大

值与最小值.考向2

含参函数的最值

（1）讨论f（x）的单调性；

①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋

∞）上单调递减；②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以

f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减.

求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参

数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.

B.

－1D.1

C

C

A.

[－5，0）B.

（－5，0）C.

[－3，0）D.

（－3，0）

C03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

（2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为

（

）123456789101112131415√

2.

已知定义域为[－3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的

图象如图所示，则（

）A.

f（x）在（－2，2）上先增后减B.

f（x）有极小值f（2）C.

f（x）有2个极值点D.

f（x）在x＝－3处取得最大值√123456789101112131415解析：

由f'（x）的图象可知，当x∈（－2，2）或x∈（4，5）时，f'

（x）＜0，则f（x）单调递减，故A错误；当x∈（－3，－2）或x∈

（2，4）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝2时，f（x）有

极小值f（2），故B正确；由f'（x）的图象结合单调性可知，当x＝－2，

2，4时，f（x）有极值，所以f（x）有3个极值点，故C错误；当x∈（－

3，－2）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（－3）＜f（－

2），f（x）在x＝－3处不取得最大值，故D错误.123456789101112131415

C.0√

123456789101112131415

A.

[0，1]B.

（－∞，0]∪[1，＋∞）C.

[0，2]D.

（－∞，0]∪[2，＋∞）√

1234567891011121314155.

函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln

x在（1，2）内有最小值，则实数a

的取值范围为（

）√

1234567891011121314156.

〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－

1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（

）A.

a＝－1B.

f（x）的单调递增区间为（－2，1）C.

f（x）的极小值为1D.

f（x）的极大值为5e－3√√123456789101112131415解析：

由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因

为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝

0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1）

ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2

时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f

（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的

单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2，

1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3，

极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确.1234567891011121314157.

某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定

为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8

300－170p－p2，则这批商

品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为

元.解析：设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－

20）＝（8

300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11

700p－166

000

（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11

700.令L'（p）＝0，解得p

＝30或p＝－130（舍去）.因为当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30

时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L

（30）也是最大值，L（30）＝23

000，即零售价定为每件30元时，最大

毛利润为23

000元.23

000

1234567891011121314158.

已知函数f（x）＝x（ln

x－ax）在（0，＋∞）上有两个极值，则实

数a的取值范围为

⁠.

123456789101112131415

123456789101112131415（2）讨论函数f（x）的极值.

123456789101112131415

10.

（2026·广东六校联考）函数结构是值得关注的对象.为了研究y＝xx

（x＞0）的结构，两边取对数，可得ln

y＝ln

xx，即ln

y＝xln

x，两边取指

数，得eln

y＝exln

x，即y＝exln

x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结

合上述材料，y＝xx（x＞0）的最小值为（

）A.1B.eD.e－e√123456789101112131415

12345678910111213141511.

已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交

于点A，B，则｜AB｜的最小值为（

）A.ln

2B.3－2ln

2C.2ln

2D.3＋2ln

2√解析：

当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜

＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝

0，得t＝ln

2，当t＜ln

2时，h'（t）＜0，当t＞ln

2时，h'（t）＞0，

∴h（t）在（－∞，ln

2）上单调递减，在（ln