2027届高考数学一轮复习6.2等差数列及其前n项和（课件）

第二讲等差数列及其前n项和知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一等差数列的有关概念1．等差数列的定义如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示，定义的表达式为__________________.2．等差中项2同一个常数公差dan＋1－an＝d(n∈N*)如果a，A，b成等差数列，那么______叫做a与b的等差中项且_________.A3．通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝_______________＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．4．前n项和公式：Sn＝______________＝______________.a1＋(n－1)d知识点二等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为________.3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．ap＋aqkd5．n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝______a中，S偶＝______a中，∴S奇－S偶＝______.6．数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.a中归

纳

拓

展2．点列(n，an)共线，可知道等差数列的某两项，求任一项，如{an}为等差数列，an＝m，am＝n，则am＋n＝0.4．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列．5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a＋2d.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.(

)(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成为等差数列．(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√[解析]

(1)同一个常数．(2)当a1＝d时才有a10＝a1＋a9.(3)S6，S12－S6，S18－S12成等差数列．(4)由定义知an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)故正确．题组二走进教材2．(选择性必修2P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝(

)A．18 B．16C．20 D．17[答案]

A[解析]

因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10.又a7＝12，所以公差d＝a7－a6＝2，所以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18.3．(选择性必修2P24T1改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(

)A．90 B．100C．120 D．200[答案]

B题组三走向考场4．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(

)A．－20 B．－15C．－10 D．－5[答案]

B5．(2025·天津卷)Sn＝－n2＋8n，则数列{|an|}的前12项和为(

)A．112 B．48C．80 D．64[答案]

C[解析]

因为Sn＝－n2＋8n，所以当n＝1时，a1＝S1＝－12＋8×1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋8n)－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，经检验，a1＝7满足上式，所以an＝－2n＋9(n∈N*)，令an＝－2n＋9≥0⇒n≤4，an＝－2n＋9≤0⇒n≥5，设数列{|an|}的前n项和为Tn，则数列{|an|}的前4项和为T4＝S4＝－42＋8×4＝16，数列{|an|}的前12项和为T12＝|a1|＋|a2|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－a5－a6－…－a12＝2S4－S12＝2×16－(－122＋8×12)＝80.故选C.考点突破·互动探究等差数列的基本运算——自主练透1．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差d>1，且a7＋a9＝16，则(

)A．a8＝8 B．S15＝120C．a1<1 D．a2>2[答案]

ABC2．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(

)[答案]

B3．(2026·汕头模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，a2n＝2an＋1，若Sn＋an＋1＝100，则n＝(

)A．8 B．9C．10 D．11[答案]

B名师点拨：等差数列基本量的求法1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.等差数列性质的应用——多维探究角度1等差数列项的性质A．4 B．－2C．－4 D．－8[答案]

C[答案]

B名师点拨：角度2等差数列前n项和性质[答案]

B名师点拨：【变式训练】1．(角度1)(2026·昆明模拟)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14＝(

)A．2B．3 C．4 D．5[答案]

A[答案]

A等差数列的判定与证明——师生共研(1)求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列；(2)求S20.名师点拨：等差数列的四个判定方法1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．4．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．【变式训练】名师讲坛·素养提升与等差数列前n项和Sn有关的最值问题1．(2026·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝(

)A．6 B．7C．10 D．9[分析]

由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．[答案]

B[解析]

解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，∴Sn最大时，n＝7，故选B.A．11 B．19C．20 D．21[分析]

利用Sn>0⇔a1＋an>0求解．[答案]

B[引申](1)本例1中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝________；(2)本例1中，使Sn<0的n的最小值为________；(3)本例2中，使Sn取最大值时n＝________.[答案]

(1)7或8

(2)15

(3)10名师点拨：求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：【变式训练】1．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1>0，S11＝S18，则对Sn描述正确的有(

)A．S14是唯一最大值 B．S15是最大值C．S29＝0 D．S1是最小值[答案]

BC[解析]

由S11＝S18可知a12＋a13＋…＋a18＝0，又{an}是等差数列，所以a15＝0，故S29＝29a15＝0.又a1>0，故S14＝S15，所以S14，S15都是最大值，且公差d<0，Sn无最小值，结合选项可知B，C正确，故选BC.2．(2025·河北石家庄摸底)若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a4＋a9>0，S11<0，则Sn的最小值为(

)A．S5 B．S6C．S7 D．S8[答案]

B提能训练练案[35]A组基础巩固一、单选题1．(2025·四川成都一模)在等差数列{an}中，a3＝3，a4＋a6＝2，则a7＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2[答案]

B[解析]

在等差数列{an}中，a4＋a6＝a3＋a7，∴a7＝a4＋a6－a3＝

－1.故选B.2．(2025·安徽高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S5＝15，则{an}的公差为(

)A．4 B．3C．2 D．1[答案]

D3．(2025·广东惠州模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝12，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列{bn}，则bn＝(

)A．4n－2 B．3n－1C．3n D．2n＋1[答案]

B4．(2026·广西柳州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4－S1＝9，a1＋a4＝5，则{an}的公差为(

)A．1 B．2C．3 D．4[答案]

A[解析]

因为S4－S1＝9，a1＋a4＝5，所以a2＋a3＋a4＝3a3＝9，解得a3＝3，又a1＋a4＝a2＋a3＝5，所以a2＝2，所以公差为a3－a2＝1.故选A.5．(2026·广东模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S2，a2＝2a1＋1，则S15＝(

)A．－20 B．－15C．－10 D．－5[答案]

BA．49 B．50C．51 D．52[答案]

C7．(2025·北京海淀三模)渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：出生时间1965年1月—4月1965年5月—8月1965年9月—12月1966年1月—4月…新方案法定退休年龄60岁＋1个月60岁＋2个月60岁＋3个月60岁＋4个月…那么1970年5月出生的男职工退休年龄为(

)A．61岁＋4个月 B．61岁＋5个月C．61岁＋6个月 D．61岁＋7个月[答案]

B[解析]

解法一：根据题意，出生年月在1965年1月—4月的人的法定退休年龄记为a1，出生年月在1965年5月—8月的人的法定退休年龄记为a2，出生年月在1965年9月—12月的人的法定退休年龄记为a3，…，则{an}构成等差数列，首项a1＝60岁＋1个月，公差d为1个月，可得an＝60岁＋n个月．依此规律，1970年5月出生的男职工，他的退休年龄应该是{an}的第17项，即他的退休年龄为a17＝60岁＋17个月＝61岁5个月．解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月.出生年龄退休年龄1965.560岁＋2个月1966.560岁＋5个月1967.560岁＋8个月1968.560岁＋11个月1969.561岁＋2个月1970.561岁＋5个月故选B.8．(2025·山东新高考联合质量测评)已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S9<S4，且S15>0，则当Sn取得最小值时，n＝(

)A．3 B．6C．7 D．8[答案]

C二、多选题9．在等差数列{an}中，其前n项的和是Sn，若a1＝－9，d＝3，则(

)A．{an}是递增数列B．其通项公式是an＝3n－12C．当Sn取最小值时，n的值只能是3D．Sn的最小值是－18[答案]

ABDA．当n＝2024时，Sn取最大值B．使得Sn>0的n的最大值为4048C．使得Sn<0的n的最小值为4050[答案]

ABD11．(2026·四川模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的是(

)A．a1∶d＝－17∶2 B．S18＝0C．当d<0时，|a6|<|a13| D．当d>0时，a6＋a14>0[答案]

ABD三、填空题12．(2026·浙江金华模拟)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a3＝8，则a6＝________.[答案]

11[解析]

设等差数列{an}的公差为d，因为