二次函数y=a(x-h)2+ k的图象和性质课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

第二十六章二次函数26.2二次函数的图象和性质26.2.2

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十六章二次函数26.2二次函数的图象和性质26.2.2

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质学习目标学习重难点会画二次函数y=ax²+k的图象；理解y=ax²与y=ax²+k之间的联系.掌握二次函数y=ax²+k的性质并会应用.难点重点（1）会画二次函数y=ax2+k的图象.（2）掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（3）理解y=ax²与

y=ax²+k之间的联系.课时导入

前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗?今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质.导入新知知识点1二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)①在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2

+1，y=2x2-1的图象.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2+1…95.531.511.535.59…y=2x2-1…73.51-0.5-1-0.513.57…然后描点画图：268y4O-22x4-4

y=2x2

-1y=2x2+1-1

抛物线y=2x2+1

,

y=2x2-1

的开口方向、对称轴和顶点各是什么？思考1解析式形状开口方向对称轴顶点坐标y=2x2-1y=2x2y=2x2+1向上直线x=0(0,0)(0,1)抛物线(0,-1)思考2

抛物线y=2x2+1

,y=2x2-1与抛物线y=2x2

有什么关系？268y4O-22x4-4

y=2x2

-1y=2x2+1-1

y=2x2

观察图象可发现：

把抛物线y=2x2

平移

个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2

平移

个单位就得到抛物线y=2x2-1.向上1向下1

所以，y=2x2-1的图象还可以由抛物线y=2x2+1

平移

个单位得到.

向下2

抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2

有什么关系？yOx

y=ax2

+k(k<0)y=ax2+k

(k>0)

kk

结论：

抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象

（k＞0）或

（k＜0）平移

个单位.向上向下|k|思考3知识点2二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)②在同一坐标系中，画出二次函数，

，的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线通过怎样的平移可得到抛物线.

-4-2y-6O-22x4-4如图所示归纳a的符号a>0a<0图象k>0k<0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0，k）（0，k）x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k二次函数y=ax2+k的图象和性质:巩固练习1.二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.D2.

已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c

二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．归纳3.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．随堂演练1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

y=2x2－４2.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.3.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.在=2>2<24.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(

)D5.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.8课堂小结二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；k决定顶点位置；对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.第二十六章二次函数26.2二次函数的图象和性质26.2.2

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质学习目标学习重难点会用描点法画二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象；能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的开口方向、对称轴、顶点.能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的关系.难点重点（1）会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（2）掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.（3）比较函数y=ax2

与

y=a(x-h)2的联系.导入新知知识点二次函数y=a(x-h)2的图象和性质①解：先分别列表：x…-2-101234……-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…x…-4-3-2-1012……-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…然后描点画图：-8-4-2y-6O-22x4-4抛物线

，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？思考1抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下直线x=-1直线x=1向下(1,0

)(-1,0)思考2向左平移1个单位长度向右平移1个单位长度

xyO-22-2-4-64-4

思考3

抛物线y=a(x-h)2

与抛物线y=ax2

有什么关系？

向左平移

h

个单位长度时y=a(x+h)2

向右平移h

个单位长度时y=ax2左右平移规律：左加右减y=a(x-h)2知识点2二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)②在同一平面坐标系中，画出二次函数，

，的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线通过怎样的平移可得到抛物线.

-4-2y-6O-22x4-4如图所示归纳a，h的符号a>0，h>0a>0，h<0a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下直线x=h（h，0）当x<h

时，y随x的增大而减小；当x>h

时，y随x的增大而增大当x<h

时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小x=h

时，y最小值=0x=h

时，y最大值=0OxyOyxOyxOyx巩固练习1.抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向

平移

个单位得到．2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.3.要得到抛物线y=(x－4)2，可将抛物线y=x2(

)A.向上平移4个单位B.向下平移4个单位C.向右平移4个单位D.向左平移4个单位右2向下（1，0）x=1C3.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数解析式．分析：y＝ax2向右平移3个单位后的解析式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数解析式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，∴平移后二次函数解析式为y＝(x－3)2.随堂演练1.对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2(

)

A.开口方向相同 B.对称轴相同

C.顶点相同 D.都有最高点2.抛物线y=x2向左平移3个单位所得抛物线是(

)

A.y=(x+3)2 B.y=(x-3)2

C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)23.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线____，顶点是________.AA4.已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1

与y2

的大小关系是y1

y2(填“<”“>”或“＝”).＞解：因为函数y=-(x-1)2，所以函数图象的对称轴是直线x=1，开口向下.因为函数图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，a＞2，所以

y1＞y2.课堂小结探索y=a(x-h)2的图象及性质图象的画法图象的特征描点法平移法开口方向顶点坐标对称轴平移关系直线x=h（h,0）a>0,开口向上a<0,开口向下y=ax2平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.第二十六章二次函数26.2二次函数的图象和性质26.2.2

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质学习目标学习重难点掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.难点重点（1）会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.（2）掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用.（3）理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.导入新知知识点二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质①

先列表x…-4-3-2-1012…y=-(x+1)2-1……-5.5-5.5-3-1.5-1-1.5-3再描点、连线：12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=-1开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1).

向左平移1个单位长度

平移方法1向下平移1个单位长度

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10

平移方法2向左平移1个单位长度向下平移1个单位长度

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10

归纳a>0a<0图象h<0h>0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大.向上向下直线x=h直线x=h（h,k）x=h时，y最小值=kx=h时，y最大值=k（h,k）二次函数y=ax2

与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.归纳典型例题例

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m

处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？OA31.6BC3.6？我们可以先根据题意画出示意图.解:如图建立直角坐标系,

点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3.6