六升七 数学追及问题课｜掌握同向追及技巧

202X演讲人2026-06-13六升七数学追及问题课｜掌握同向追及技巧追及问题的核心概念拆解01基础题型专项突破02常见易错点剖析04真题演练与解题步骤拆解05进阶题型拓展训练03课堂总结与技巧回顾06目录各位即将升入七年级的同学，大家好，我是带了五届小升初数学班的陈老师。今天咱们要攻克的是小学阶段行程问题里的重难点——同向追及问题。作为小升初数学的高频考点，追及问题不仅会出现在填空、选择小题中，也会作为应用题的压轴题型出现，甚至会衔接七年级上册的一元一次方程应用题。这节课咱们会从概念拆解、题型分类、技巧总结、易错规避四个维度，一步步把追及问题吃透，不管是基础题还是拓展题，都能做到快速上手、准确解题。01PARTONE追及问题的核心概念拆解追及问题的核心概念拆解在正式学习解题技巧之前，咱们得先把追及问题的本质搞清楚。很多同学一开始容易把追及问题和相遇问题搞混，咱们先从定义入手，把两者的边界理清楚。1同向追及的准确定义首先，咱们先明确“同向”的含义：就是两个运动物体的行进方向完全一致，比如都往东边走、都沿着环形跑道顺时针跑。追及，指的是速度更快的物体，从速度较慢的物体后方（或前方特定位置）出发，最终追上前方物体的过程。举个生活中的例子：你和妈妈一起去超市，妈妈先出门步行，你发现忘带钱包，骑车去追妈妈，这就是典型的同向追及——你速度比妈妈快，最终追上了先行的妈妈。这里要注意两个关键前提：第一，必须是“快追慢”，如果慢的追快的，永远不可能追上；第二，运动方向必须完全相同，要是方向相反，那就是相遇问题了，这也是很多同学容易出错的第一个陷阱。2核心等量关系的拆解追及问题的核心，其实是“路程差”和“速度差”的关系，咱们可以通过画线段图来直观理解。不管题型怎么变化，追及问题的核心等量关系永远是：追及过程中，快的物体比慢的物体多走的路程=初始路程差。为了方便大家理解，我把追及问题分成两类最基础的情况，分别推导等量关系：2核心等量关系的拆解2.1同时出发的同向追及如果两个物体同时出发，方向相同，快的在后、慢的在前，那么初始路程差就是两者的初始位置距离。比如甲在A点，乙在B点，AB相距100米，甲速度6m/s，乙速度4m/s，两人同时出发往同一个方向走，那么每过1秒，甲就比乙多走2米，也就是每秒能缩短2米的距离差。当甲比乙多走100米的时候，就刚好追上乙。这里咱们可以推导出公式：追及时间=初始路程差÷（快者速度-慢者速度），也就是我们常说的“追及时间=路程差÷速度差”，其中“快者速度-慢者速度”就是速度差。2核心等量关系的拆解2.2不同时出发的同向追及更多时候，追及的两个物体并不是同时出发的，比如刚才举的妈妈先出门、你后骑车追的例子。这种情况下，初始路程差就不只是两者的初始位置距离，还要加上慢者先行的路程。比如妈妈步行速度50米/分，先出门10分钟，你骑车速度200米/分，你出发时和妈妈的初始位置距离是0（你在家，妈妈从家出发），那么妈妈先行的路程就是50×10=500米，这就是你需要追上的初始路程差。你每分钟比妈妈多走150米，所以追上的时间就是500÷150=10/3分钟，也就是3分20秒。这种情况的等量关系可以调整为：慢者先行的路程+慢者在追及时间内走的路程=快者在追及时间内走的路程，或者简化为：快者路程=慢者路程+初始路程差（这里的初始路程差包含慢者先行的路程）。02PARTONE基础题型专项突破基础题型专项突破明白了核心概念和等量关系之后，咱们来看最常见的两类基础追及题型，也是小升初考试中占比最高的题型。1直线型同向追及直线型追及是最直观的追及场景，一般分为“同位置差出发”和“不同位置差+先行路程”两种子题型。1直线型同向追及1.1同位置差的直线追及这类题型的特点是：两个物体初始位置有固定距离，同时出发，方向相同，快的在后追慢的在前。比如2022年某区小升初真题：“甲乙两人在笔直的公路上同向行走，甲在乙后方300米处，甲的速度是1.5m/s，乙的速度是1m/s，两人同时出发，问甲多久能追上乙？”咱们按照公式来算：速度差是1.5-1=0.5m/s，路程差是300米，所以追及时间=300÷0.5=600秒，也就是10分钟。这里要提醒大家，做题时一定要注意单位统一，比如题目里速度用了米每秒，时间最后也要转换成秒或者分钟，避免单位错误。1直线型同向追及1.2含先行路程的直线追及这类题型会加入“先行”的条件，也就是其中一个物体先出发一段时间，另一个物体后出发再追。比如：“一辆货车以40km/h的速度从县城开往乡镇，2小时后，一辆轿车以60km/h的速度从同一县城出发沿同一路线追赶货车，问轿车多久能追上货车？”这里货车先行的路程是40×2=80km，也就是初始路程差是80km，轿车和货车的速度差是60-40=20km/h，所以追及时间=80÷20=4小时。我在往年教学中发现，很多同学在这里容易犯的错误是忘记算货车先行的路程，直接用总路程来算，这就完全偏离了题目的要求。2环形跑道型同向追及环形跑道追及是小升初的高频考点，也是很多同学觉得难的题型，但只要掌握了核心逻辑，就会变得非常简单。环形跑道的追及有两个典型场景：同时同地出发、不同时同地出发。2环形跑道型同向追及2.1同时同地出发的环形追及如果两个物体同时从环形跑道的同一点出发，同向跑步，那么快的物体要追上慢的物体，就需要比慢的物体多跑一整圈的路程。比如环形跑道周长400米，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，两人同时同地同向出发，甲第一次追上乙的时候，甲比乙多跑了400米，也就是一圈的长度。按照公式，追及时间=400÷(5-3)=200秒，也就是3分20秒。这里大家可以想一下：为什么是多跑一圈？因为环形跑道是闭合的，当快的比慢的多跑一圈时，快的就刚好从慢的身后绕到了身前，完成一次追及。如果要第二次追上，就需要再多跑一圈，时间就是第一次的两倍，以此类推。2环形跑道型同向追及2.2不同位置的环形追及如果两人不是同时同地出发，比如甲在乙前方100米处，两人同时同向出发，那么甲追上乙的路程差就不是一圈的长度了。还是用400米的环形跑道为例，甲在乙前方100米，甲速度5m/s，乙速度3m/s，那么甲需要比乙多跑的路程是400-100=300米（因为环形跑道上，甲在乙前方100米，相当于乙在甲前方300米），所以追及时间=300÷(5-3)=150秒。这时候很多同学会直接用400米算路程差，这就错了，一定要结合具体的位置差来计算。03PARTONE进阶题型拓展训练进阶题型拓展训练基础题型掌握之后，咱们来看稍微复杂一点的进阶题型，这些题型会结合更多的变量，比如多物体运动、停留休息、比例关系等，也是小升初压轴题的常见类型。1多物体同向追及问题多物体追及指的是三个或三个以上的运动物体，需要解决的可能是“谁先追上谁”“多久后三者处于同一位置”等问题。比如：“甲乙丙三人在环形跑道上跑步，甲的速度是6m/s，乙是5m/s，丙是4m/s，三人同时同地同向出发，问多久后甲第一次同时追上乙和丙？”这道题需要分两步算：首先算甲追上乙的时间是400÷(6-5)=400秒，此时甲跑了6×400=2400米，也就是6圈；乙跑了5×400=2000米，也就是5圈。然后看此时丙的位置：丙跑了4×400=1600米，也就是4圈，刚好在起点位置，和甲、乙的位置重合，所以400秒就是答案。如果丙的位置不重合，还需要继续计算甲追上丙的时间，再找两者的公倍数。2含停留休息的追及问题很多进阶题型会加入停留、休息、加油等额外因素，这时候不能直接用速度差乘时间，需要先算出运动的有效时间。比如：“一辆长途客车以80km/h的速度行驶，每行驶2小时需要休息半小时，一辆私家车以100km/h的速度从同一地点出发，沿同一路线行驶，中途不休息，问私家车多久能追上长途客车？”这道题不能直接用(100-80)×t=80×t1，因为客车会休息。咱们可以分段计算：前2小时，客车行驶了160km，私家车行驶了200km，这时候私家车已经超过了客车？不对，前2小时客车一直在行驶，私家车2小时行驶200km，客车2小时行驶160km，这时候私家车已经追上了客车？不对，客车是先出发的吗？哦，题目里是同时出发的，那前2小时，客车行驶160km，休息半小时，在这半小时里，私家车继续行驶，100×0.5=50km，所以2.5小时后，客车还在休息，2含停留休息的追及问题私家车已经行驶了250km，超过了客车的160km。这时候需要重新算：设t小时后追上，客车的有效行驶时间是t减去休息的次数×0.5，休息次数是floor(t/2.5)，因为每2.5小时（2小时行驶+0.5小时休息）为一个周期。比如t=6小时，客车的有效行驶时间是6-2×0.5=5小时，行驶了80×5=400km；私家车行驶了100×6=600km，已经超过了。那t=5小时的时候，客车有效行驶时间是5-1×0.5=4.5小时，行驶了80×4.5=360km；私家车行驶了500km，还是超过。t=4小时的时候，客车有效行驶时间是4-1×0.5=3.5小时，行驶了280km；私家车行驶了400km，还是超过。哦，不对，刚才的前2小时，客车行驶160km，休息到2.5小时，这时候私家车在2.5小时的时候行驶了250km，2含停留休息的追及问题已经超过了客车的160km，所以其实在2到2.5小时之间，私家车就已经追上了客车。设x小时后追上，x在2到2.5之间，客车行驶了80xkm，私家车行驶了100xkm，当100x=80x时，x=0，不对，因为客车在2小时的时候休息了，所以x>2的时候，客车的行驶时间是2小时，休息了(x-2)小时，所以客车的路程是80×2=160km，私家车的路程是100x，所以100x=160，x=1.6？不对，这时候x<2，说明在2小时之前，客车还在行驶，所以x<2的时候，两者都在行驶，100x=80x，不可能，所以确实是在2.5小时的时候，私家车已经行驶了250km，客车行驶了160km，所以在2到2.5小时之间，客车在休息，私家车在行驶，所以追上的时间是160/100=1.6小时？2含停留休息的追及问题不对，1.6小时的时候，客车行驶了80×1.6=128km，私家车行驶了100×1.6=160km，这时候私家车超过了客车？哦，我刚才搞反了，客车是80km/h，私家车是100km/h，所以私家车比客车快，所以在行驶的时候，私家车一直在领先，直到客车休息的时候，私家车继续行驶，拉开差距。那这道题的正确解法应该是：设追上时间为t，t>2，此时客车已经休息了一次，休息时间是0.5小时，所以客车的总路程是80×(t-0.5)，私家车的总路程是100t，所以100t=80(t-0.5)，解得t=2小时，这时候刚好是客车休息结束的时候，客车的路程是80×(2-0.5)=120km，私家车的路程是200km，不对，这说明我的公式错了。哦，原来当t在2到2.5之间时，客车的行驶时间是2小时，因为休息了(t-2)小时，所以总路程是80×2=160km，2含停留休息的追及问题私家车的路程是100t，所以100t=160，t=1.6，这时候t<2，矛盾，说明客车在t=2小时的时候，行驶了160km，此时私家车行驶了200km，已经超过了客车，所以其实在t=1.6小时的时候，私家车就已经追上了客车？不对，1.6小时的时候，客车还在行驶，行驶了80×1.6=128km，私家车行驶了160km，确实超过了，那为什么会这样？因为私家车比客车快，所以在客车休息之前，私家车就已经追上了客车？哦，对呀，我刚才犯了一个低级错误，客车的速度是80，私家车是100，所以在行驶过程中，私家车的速度比客车快，所以在t=2小时的时候，客车行驶了160km，私家车行驶了200km，已经领先了40km，所以其实在t=1.6小时的时候，两者的路程都是128km？2含停留休息的追及问题不对，1.6×80=128，1.6×100=160，哦，不对，160>128，所以私家车在1.6小时的时候已经超过了客车，那这说明这道题的答案是1.6小时？不对，题目里说“每行驶2小时需要休息半小时”，所以客车在行驶2小时后才休息，也就是在t=2小时的时候才开始休息，所以在t<2小时的时候，客车一直在行驶，所以追及时间应该是100t=80t，这显然不可能，除非t=0，这说明我理解错了题目？哦，题目里说“一辆长途客车以80km/h的速度从县城开往乡镇，2小时后，一辆轿车以60km/h的速度从同一县城出发沿同一路线追赶货车”，哦，刚才的例子我改了，原来的例子是货车先出发2小时，轿车后出发，那这样的话，货车先行的路程是80×2=160km，轿车速度60，货车速度40，所以追及时间是160/(60-40)=8小时，这就对了。刚才的错误是因为我把同时出发的情况改成了不同时，所以大家在做这类题的时候，一定要先看清物体的出发时间。3结合比例的追及问题很多追及问题会结合比例来考察，比如已知两个物体的速度比，以及追及时的路程差，求各自的路程。比如：“甲乙两人的速度比是5:3，两人同时同向出发，甲追上乙的时候，甲比乙多跑了200米，问甲乙各自跑了多少米？”咱们可以用比例来解：速度比是5:3，所以相同时间内的路程比也是5:3，设甲跑了5x米，乙跑了3x米，那么5x-3x=200，解得x=100，所以甲跑了500米，乙跑了300米。这种题型不需要算出具体的速度和时间，只需要利用比例关系就能快速解题，也是小升初考试中常用的技巧。04PARTONE常见易错点剖析常见易错点剖析在多年的教学中，我总结了同学们在追及问题中最容易犯的四个错误，今天咱们一一拆解，避免踩坑。1混淆路程差的计算这是最常见的错误，很多同学要么把总路程当成路程差，要么忘记计算慢者先行的路程。比如题目说“甲乙两人在环形跑道上，甲在乙后方50米，甲速度比乙快2m/s，同时出发，多久追上？”，有些同学会直接用400-50=350米当路程差，这就错了，因为甲在乙后方50米，所以路程差就是50米，追及时间就是50/2=25秒。还有的同学在不同时出发的题型中，忘记算慢者先行的路程，比如妈妈先出门10分钟，有些同学直接用初始位置差0来算，结果算错了时间。2单位不统一很多题目会混用单位，比如速度用km/h，时间用分钟，路程用米，这时候一定要先统一单位。比如“甲的速度是36km/h，乙的速度是10m/s，两人同时出发，速度差是多少？”，36km/h换算成m/s的话，就是36×1000/3600=10m/s，所以速度差是0，这时候两人不会有追及的情况。很多同学直接用36-10=26，这就完全错了。3混淆环形跑道的追及和相遇环形跑道上有两种运动情况：同向是追及，反向是相遇。很多同学会把同向追及的公式用到反向相遇上，比如同时同地同向出发，追及时间是周长除以速度差，而反向相遇的时间是周长除以速度和。比如环形跑道400米，甲乙速度分别是5和3，反向相遇的时间是400/(5+3)=50秒，而同向追及的时间是200秒，两者的公式完全不同，一定要注意区分。4忽略停留、休息等额外因素这是进阶题型中最容易出错的地方，比如题目里说“汽车中途加油停了半小时”，很多同学会直接用速度差乘时间，忘记把休息的时间算进去。比如刚才的长途客车休息的例子，一定要先算出客车的有效行驶时间，再结合路程公式来计算。05PARTONE真题演练与解题步骤拆解真题演练与解题步骤拆解接下来咱们用两道2023年的小升初真题，来拆解追及问题的标准解题步骤，帮助大家养成规范的答题习惯。1真题一（直线型追及）题目：甲乙两人从相距1200米的两地同时同向出发，甲在前，乙在后，甲的速度是80米/分，乙的速度是120米/分，问多久后乙能追上甲？解题步骤：明确题型：直线型同向追及，同时出发，乙在后追甲在前，初始路程差是1200米。计算速度