2027届新高考数学热点突破复习+统计与概率的综合问题

2027届新高考数学热点突破复习统计与概率的综合问题多元视角·拓展教材开放式拓展

实现一个“广”视角一统计图表与概率的综合问题例1(2026·潍坊模拟)某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该地区本次物理测试的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？(结果保留整数)(3)从成绩位于区间[80，90)和[90，100]的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在[90，100]的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解析：(1)由题意10×(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.025＋a)＝1，解得a＝0.030，则平均分＝45×0.005×10＋55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝74，所以该地区本次物理测试的平均分为74分．(2)成绩在[90，100]的频率为0.1，在[80，90)的频率为0.25，在[70，80)的频率为0.3，因为0.1＋0.25＝0.35，0.1＋0.25＋0.3＝0.65，所以选报物理方向的最低分x在[70，80)内，则(80－x)×0.03＋0.25＋0.1＝0.6，解得x≈72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．

X012P学霸笔记：(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据．(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等).(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断．跟踪训练某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．(1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图象数量的均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用X表示这4次试验中正确识别图象数量不少于20个的次数，求X的分布列和数学期望．

X01234P0.00810.07560.26460.41160.2401视角二回归分析与概率的综合问题例2

(2026·西安模拟)当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y(单位：秒)5078124121137352(1)若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程；(2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为p，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为f(p)，求f(p)的最大值，并求出相应的概率p0.学霸笔记：(1)此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程(预测)；②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等．(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题，求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的．(3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型．跟踪训练

(2026·沧州模拟)粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用．以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下：年份12345产量/千万吨13.413.713.813.614.0(1)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，5)的相关系数(精确到0.01)；(2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望．故样本相关系数

X012P视角三独立性检验与概率综合问题例3

(2026·深圳模拟)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据：

不经常锻炼经常锻炼合计男生103040女生202040合计305080

α0.10.010.001xα2.7066.63510.828

X012P学霸笔记：此类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决此类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解．跟踪训练

(2026·郑州模拟)已知某市组建了一支300人的志愿者队伍，并由其中200人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有200人的周平均服务时长超过2小时，其中有150人来自“志愿模范队”，如下表所示．

是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时150

200周平均服务时长不超过2小时

总计200

300(1)请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？(2)由于该市志愿者工作成效优异，现向全省推广该市经验，在全省每个市县都成立志愿者队伍，请以该市志愿者队伍的样本频率作为概率的值，在全省的志愿者队伍中任选3人，记周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的人数为X，求X的分布列和数学期望．

P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828

解析：(1)由题可得如下2×2列联表：

是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时15050200周平均服务时长不超过2小时5050100总计200100300

X0123P1．(13分)某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内，按区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6.(1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)现将[50，60)和[90，100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”．若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内．记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X＝2的概率和X的数学期望．

2．(15分)某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：性别愿意参与不愿意参与合计男生302050女生252550合计5545100

P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

X0123P3．(15分)全面建成小康社会取得了伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得了决定性胜利，某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收．(1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占15%，其中男性为20%；中年人约占50%，其中男性为35%；老年人约占35%，其中男性为55%.以样本估计总体，视频率为概率．①在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；②在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率(精确到0.0001)；

月广告投入x/万元1234567月销量y/万件28323545495260

4.(17分)(2026·沧州模拟)“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：

(1)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，