2025-2026学年下学期高二数学期末综合测评卷（北师大版）

2025-2026学年下学期高二综合测评卷数学分值：150分时间：120分钟选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.1．若曲线在处的切线的斜率为，则()A. B. C. D.62．已知等差数列的前n项和，若，则()A.150 B.160 C.170 D.1803．若函数满足，则的值为()A. B.2 C.3 D.44．数列满足，且，则()A.2022 B.2023 C.2024 D.20255．若曲线在处的切线与曲线也相切，则a的值为()A. B. C.1 D.6．记为等比数列的前n项和.若，，则()A.39 B.156 C. D.7．某区块链公司开发了一种“分形存储”技术.当用户上传一个大型文件时，为确保数据安全，系统会将文件分割成一系列连续的数据块，同时为每个数据块生成动态验证码.已知数据块大小（单位:TB）按上传顺序构成等差数列，第一个数据块大小为100TB，此后每个数据块比前一个数据块减少5TB.验证码数量（单位:个）按上传顺序构成等比数列，第一个数据块生成4个验证码，此后每个数据块的验证码数量是前一个数据块验证码数量的3倍.若系统要求总验证码数量不能超过1000000个，用户上传的大型文件最大为（参考数据:，）()A.820TB B.825TB C.827TB D.851TB8．已知且，且，且，则()A. B. C. D.二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．为等比数列的前n项和，q为的公比（），，，则()A. B. C. D.10．数列满足：，，，下列说法正确的是()A.数列为等比数列 B.C.数列是递减数列 D.的前n项和11．已知是定义在实数集R上的偶函数，当时，.则下列结论正确的是()A.对于， B.在上为减函数C.的值域为 D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．设是等差数列的前n项和，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式为________.13．若关于x的方程仅有一个实数根，则实数a的取值范围为________.14．过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知等差数列的前n项和满足，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前n项和.16．（15分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对任意的，都有，求实数m的取值范围．17．（15分）已知数列满足，.（1）证明:数列为等比数列；（2）设，求数列的前n项和为.18．（17分）已知函数，，（，且），记.（1）求、；（2）证明是等差数列，并求的通项公式；（3）令，求数列的前项和.19．（17分）已知函数，.（1）求函数在上的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；（3）证明：.答案及解析1．答案：D解析：，故选:D2．答案：B解析：因为为等差数列，所以，因为，所以，.故选：B.3．答案：C解析：由，得，则，解得，故选：C.4．答案：B解析：由已知，则，，则，，则，，则，，…则，所以.故选:B5．答案：B解析：对曲线，在切点处切线的斜率，所以切线方程为：，对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率，依题意，即，又点切点在曲线和切线上，即，所以，故选：B.6．答案：D解析：设等比数列公比为q，由，得，所以，又因为，所以，所以.故选:D7．答案：B解析：由题意，设数据块大小构成的等差数列为，首项，公差，根据等差数列通项公式可得.由于数据块大小不能为负，令，解得.设验证码数量构成的等比数列为，首项，公比，.由题意，，即..n为正整数且n取最大值，.要求用户上传大型文件的最大大小，即求等差数列的前11项和，.故选:B.8．答案：D解析：由，可得，，同理，可得，，，，令，，则，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，，又，则，，则，，则，即，且，，，由在上单调递增，所以.故选：D.9．答案：AD解析：对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确；，选项B错误；对于等比数列，有，因此，选项C错误；对于等比数列，有，，则，，选项D正确.故选：AD10．答案：AB解析：数列满足：，，，，，，数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；，，故B正确；数列是递增数列，故C错误；数列的前n项和为：，的前n项和，故D错误.故选：AB.11．答案：ABD解析：对于A，因为当时，，所以当时，，则，是定义在实数集R上的偶函数，，从而，又当时，综上可知，对于，，则A正确；对于B，因为当时，，所以，，，从而，，在上为减函数，故B正确；对于C，由于在上为减函数，是定义在实数集R上的偶函数，则上单调递增，则时取得最大值，，函数值域为，故C错误；对于D，是定义在实数集R上的偶函数，，，，又，，由B可知，在上为减函数，，故D正确.故选：ABD.12．答案：解析：设数列的公差为d，则，可得.因为数列是公差为1的等差数列，则，解得，所以.故答案为:2n.13．答案：解析：由，可得，令，则，即，所以或，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，当时，且时，时，则的图象如下所示：因为关于x的方程仅有一个实数根，所以或有且仅有一个实数根，显然无解，所以有且仅有一个实数根，即与有且仅有一个交点，所以或，即实数a的取值范围为.14．答案：解析：设点为曲线上的一点，则，又由，所以，即切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，因为切线过点，可得，即，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取得极小值，当时，取得极大值，又因为，当时，恒成立，且时，，作出函数的图象，如图所示，当时，函数的图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条，所以实数a的取值范围为.故答案为:.15．答案：(1)(2)解析：(1)由，可得，由，可得，，，故.(2)由(1)得，故则.16．答案：(1)单减区间为，的单增区间为(2)解析：(1)令，解得或．，令，得，结合的定义域，得．令，得，结合的定义域，得．综上，单减区间为，的单增区间为．(2)由题意．由(1)知，当时，单增，所以．于是，即，解得，故m取值范围为．17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）由，即，得，即，又，得到，故数列是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）可知，，则，则，得到，两式作差得，故.18．答案：(1)，.(2)证明见解析，(3)解析：(1)因为，，，所以，.(2)因为，所以，即，即，且，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.(3)，设数列、的前n项和分别为、，则，，①，则②，①②，得，则.因此，数列的前n项和.19．答案：(1)(2)(3)证明见解析解析：(1)由题意得，，由，得，故，所以，此时，当且仅当，即时取等号，所以在上的最大值为.(2)由题设