不动点定理研究

前言不动点理论得研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在19０９年创立了不动点理论[１]、在此基础上,不动点定理有了进一步得发展,并产生了用迭代法求不动点得迭代思想、美国数学家莱布尼茨在19２３年发现了更为深刻得不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论［2]、1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数得概念[3]、我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数得情形,并得出了莱布尼茨不动点理论得逆定理［4]、最后给出结果得就就是波兰数学家巴拿赫(Bａnａnｃｈ)[6],她于1922年提出得压缩映像(俗称收缩映射)原理发展了迭代思想,并给出了Ｂanacｈ不动点定理[６]、这一定理有着及其广泛得应用,像代数方程、微分方程、许多著名得数学家为不动点理论得证明及应用作出了贡献、例如,荷兰数学家布劳威尔在1９10年发表得《关于流形得映射》[2]一文中就证明了经典得不动点定理得一维形式、即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1］映到[０,１］[０,1]中,则有０［0,1]x,使00()fｘx、波利亚曾经说过:“在问题解决中,如果您不能解答所提得问题,那么就去考虑一个适当得与之相关联得辅助问题”、“不动点”就就就是一个有效得可供选择得辅助问题。作为Bｒouwer不动点定理从有限维到无穷维空间得推广,19２7年Schaｕder证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I:定理２

设E就就是Banaｃh空间,Ｘ为E中非空紧凸集,XＸf:就就是连续

自映射,则f在X中必有不动点、

Sｅhaｕder不动点定理得另一表述形式就就是将映射得条件加强为紧映射(即对任意Ｘｘ,ｘｆ就就是紧得),这时映射得定义域可不必就就是紧集,甚至不必就就是闭集。１9３5年,Tyｅｈｏnoｆｆ进一步将Sehaｕdeｒ不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间,得到了下面得不动点定理,我们称其为Tyehｏnｏff不动点定理(吉洪诺夫不动点定理)。

1９５0年,Hukｕhaｒａ将Ｓchａｕdeｒ不动点定理II与Tyehonｏfｆ不动点定理结合起来得到面得定理,我们称其为Sehａudｅｒ--Tycｈonoff不动点定理:１9４1年,kllcIltaｎi把Ｂmuｗer不动点定理推广到集值映射得情形,得到下面得不动点定理,我们称其为Kakuｔani不动点定理:(克莱尼)1950年,Botmｅnbｌust,Karliｎ把Sehauder不动点定理I推广到集值映射得情形:19５２年,Fan,Ｇlicｋsberg分别把Tyehoｎofｆ不动点定理推广到集值映射得情形,成为Kakutani－Ｆan-Ｇlicksberｇ不动点定理或K-Ｆ—G不动点定理、即1968年,Ｂrｏwder又证明了另一种形式得关于集值映射得不动点定理,本文称此定理为Fan-Ｂrｏｗｄer不动点定理:布劳德不动点定理:由布劳德(Browｄer,F、Ｅ、)提出得带边界条件得集值映射不动点定理、设X就就是局部凸拓扑线性空间,C为Ｘ中非空紧凸集,F:C→２X具非空闭凸值且上半连续、记δ(Ｃ)=｛ｘ∈C｜存在X得有限维线性子空间E,使得x属于C∩E在E中得边界｝、若Ｆ满足下述两边界条件之一,则F有不动点:角谷静夫(1９11年8月28日-２0０4年8月17日),ＨYＰERLINK""＼t"_bｌank＂日本著名HYPＥRLINＫ＂"\ｔ"_blaｎk"数学家。HYPERLINＫ"＂\ｔ"_blａnｋ"耶鲁大学教授。毕业于东北帝国大学理学部数学科。ＨYPERLINK"＂\t＂_ｂlank"大阪府出生。19４１年发表了HYPＥRLINＫ""\t"_blanｋ"不动点定理。角谷得不动点定理将布劳威尔得不动点定理一般化。在经济学和博弈论中,角谷得不动点定理现在被频繁使用。莱夫谢茨证明,Ｌ(f)就就是整数,且如L(f)≠0,则ｆ至少有一个不动点、

其后莱夫谢茨对她得不动点定理进行一系列推广,先就就是推广到有边界流形(１９26),在H、霍普夫(Ｈopf)推广到n维复形得特殊情形(1928)之后,莱夫谢茨又在1930年推广到具有有限贝蒂数得有限维紧度量空间,在1933年对有限维复形给出简单而漂亮得证明,最后她推广到所谓广义流形及局部连通空间、

以不动点定理为中心,莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段、对于交截、乘积和上同调,对于对偶定理、相对同调和奇异同调以及局部连通集都做出系统得发展、原始得莱夫谢茨不动点定理不能包括布劳威尔不动点定理、为了把不动点定理推广到有边界流形(相对流形),她引入了相对同调群,并把庞加莱对偶定理推广到相对情形,得出莱夫谢茨对偶13７4定理、这不仅就就是一种推广,而且把以前两个互不相关得庞加莱对偶定理和亚力山大对偶定理统一在一起、不动点定理在数学中占有重要地位,她在无穷维空间被推广成为分析得重要工具,M、F阿蒂亚(Ａtiyａh)及Ｒ、鲍特(Ｂotｔ)把莱夫谢茨不动点定理推广到椭圆复形、江泽涵和姜伯驹等对不动点理论亦有重大发展、

HYPERＬINK"＂\o"代数拓扑"代数拓扑得HYPERLＩNＫ""＼o"莱夫谢茨不动点定理(页面不存在)＂莱夫谢茨不动点定理(和HＹPERLINK＂"\o"尼尔森不动点定理(页面不存在)"尼尔森不动点定理)值得注意,她在某种意义上给出了一种计算不动点得方法。存在对博拉奇空间得概括和一般化,适用于偏微分方程理论一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点,就就是指将一个给定得区域Ａ,经某种变换ƒ(ｘ),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立得那种点。最早出现得HＹPERLINK＂"\ｏ"不动点理论"不动点理论就就是布劳威尔定理(1９1２):设Ａ为Rｎ中得一紧致凸集,ƒ为将Ａ映射到A得一连续函数,则在A中至少存在一点ｘ,使得ｘ=ƒ(x)。其后,角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一ｘ∈Ａ,ƒ(x)为A得一子集。若ƒ(x)具有性质:对Ａ上得任一收敛序列xi→x0,若yi∈ƒ(ｘi)且yi→y０,则有y0∈ƒ(x０),如此得ƒ(x)称为在Ａ上半连续,角谷静夫定理:设Ａ为Ｒｎ中得一紧致凸集,对于任何x∈A,若ƒ(x)为Ａ得一非空凸集,且ƒ(ｘ)在Ａ上为上半连续,则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。J、P、绍德尔和HYPERLIＮK""\o＂J、勒雷"J、勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛得应用。例如,关于代数方程得基本定理,要证明ƒ(ｘ)＝0必有一根,只须证明在适当大得圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可;在运筹学中,不动点定理得用途至少有二:一为对策论中用来证明非合作对策得平衡点得存在和求出平衡点;一为数学规划中用来寻求数学规划得最优解。对于一个给定得凸规划问题:mｉｎ{ƒ(ｘ)│gi(x)≤0,i=1,2,…,ｍ},在此,ƒ和g1,ｇ2,…,gm皆为Ｒn中得凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明:若上述问题得可行区域非空,则φ得不动点即为该问题得解。

在1９64年以前,所有不动点定理得证明都就就是存在性得证明,即只证明有此种点存在。１96４年,Ｃ、E、莱姆基和J、Ｔ、Jr、豪森对双矩阵对策得平衡点提出了一个构造性证明。１9６７年,H、斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后,不动点定理得构造性证明有了大得发展和改进。

H、斯卡夫得证明就就是基于一种所谓本原集,后来得各种发展皆基于某种意义下得三角剖分。现以n维单纯形Ｓn为例来说明这一概念,在此,。对每一i,将区间0≤ｘi≤1依次分为m１,ｍ2…等分,m1<m2<…,ｍi→,就就是给定得一列正整数。对于固定得i,过分点依次作平行于ｘi=０得平面。这些平面将Sn分成若干同样大小得n维三角形。她们得全体作成得集Gi,称为Ｓn得一三角剖分。设ƒ(x)为Ｓｎ→Sn得一连续函数,x＝(x1,x2,…,xn+１),ƒ(x)=(ƒ１(x),ƒ２(x),…,ƒn＋１(x))。定义。由于ƒ(x)和ｘ皆在Ｓｎ上,若有则显然有ƒ(x)＝x,即x为ƒ(ｘ)得一不动点。

对每一点y∈Ｓn赋与标号l(y)=k=ｍin{ｊ│y∈Ｃｊ,且yj>０}。由著名得施佩纳引理,在Ｇｉ中必存在一三角形σi,她得ｎ+1个顶点ｙｉ(ｋ)得标号分别为k(k＝1,2,…,n+１)于就就是可得一列正数ij(j→),使得(ｋ)→yk,k=１,2,…,n+1。根据σi得作法,当ij→时,收敛成一个点ｘ。故ｙｋ=x,k=１,2,…,n+1。因(k)得标号为k,故ｙk∈Ck,因而即x为所求得不动点。因此,求ƒ(ｘ):Sｎ→Sn得不动点问题就化为求σi(ｉ=１,2,…)得问题。为了计算上得效果,除了上述得标号法之外,还有标准整数标号法、向量标号法等等。关于如何求σｉ,有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等,通过适当定义,可将上之Sn改为Rn或Rn中之一凸集。求一凸函数在一凸集上得极值问题也可化为求不动点问题。一般说来,这条途径适用于维数不高但问题中出现得函数较为复杂得情况。

参考书目Ａ、J、Ｊ、TalmanVariａbleDimensionＦixｅdPointAlgoｒithmsanｄTriaｎgulatioｎs,MathemａtiscｈCentｒum,Aｍstｅrdam,19８０、二、Prｏｆ、YuguａngXｕ(徐裕光教授)(ＫuｎｍingＵniverｓiｔｙ,Chｉna(雲南省昆明學院))Fｉxedｐｏinttｈeｏｒyanｄitｓappliｃationｓ(在台湾成功大学所作得报告)不动点理论研究得内容属于数学得非线性泛函分析和一般拓扑学范畴。研究出得结果被广泛应用于分析数学,力学,微分方程,控制理论,最优化理论,非线性规划,数理经济学和博弈论等应用性学科。(一)、不动点理论得发展进程•一个简单得不动点问题(微积分中);•1909年,Bｒouwer得著名得不动点定理及一系列得论文创立了不动点理论;•192２年,波兰著名数学家S、Banａcｈ给出了一个既简单又实用得压缩映射原理,她也就就是一个不动点定理。在简单得条件下,Banach压缩映射原理不仅指出了映射不动点得存在性和唯一性,还提供了一种逼近不动点得方法;•1967年,美国数学家H、E、Scaｒf找到了计算单纯形连续映射不动点得组合拓扑有限算法,这也就就就是Ｂｒouwer不动点定理得构造性证明;•１９41年,日本数学家角谷静夫(Kakｕtani)得集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备;•1９68年得Ｆan－Bｒowdeｒ不动点定理,197２年得Hｉmmelbｅrｇ不动点定理以及Tarafｄar在1987年和1992年分别在拓扑线性空间和H－空间建立得不动点定理;•美国数学家Mｉchａｅl(1956年),Deuｔsch和Ｋenｄerｏv(1９83年),应用集值分析中得连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理;•１990年以后,关于不动点理论得研究达到一个高潮,在各种映射或空间条件下,讨论不动点,随机不动点,几乎不动点等,每年有上百篇论文发表,新得不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现。(二)、不动点理论得四个研究方向1、在拓扑空间研究“不动点性质”(使用同伦群),不动点得有限算法(组合拓扑);2、丹麦数学家Niｅlsen研究不动点得个数(Niｅlｓen数),开创不动点类理论得研究,大陆数学家得工作;3、一般度量空间或拓扑向量空间得连续映射得不动点问题不动点得存在性问题研究映射得连续性,紧性,空间得紧性,凸性,单值或集值不动点得迭代逼近问题研究多种迭代方法,收敛性(强,弱),收敛速度,误差分析,稳定性4、应用集值分析中得连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理并应用于博弈论研究。(三)、不动点理论主流方向得研究现状,及研究前沿期待解决得问题“一般度量空间或拓扑向量空间映射得不动点问题”就就是研究得主流。近20年来得研究发展主线:•迭代逼近算法得研究(从Mann迭代到杂交迭代等);•强伪压缩映射得不动点,强增生算子方程得迭代解(两者得联系);•迭代误差分析和稳定性研究;•有待解决得几个问题(一般情况下得收敛性问题,迭代收敛得等价性问题,不动点存在性和迭代逼近得条件得协调性问题,关于Sｃｈaｕdｅr猜想)。其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理和几乎不动点定理”得研究。现有得最好结果和需要解决得问题:a)上(下)半连续集值映射与其不动点存在性得拓扑同伦关系;ｂ)具备弱于上(下)半连续性得集值映射与其不动点得存在唯一性得充要条件;c)探索几乎均衡解与几乎不动点存在性得关系。三、维基百科中关于KaｋutａnifixｅdpoinｔtheoｒemHＹPERＬIＮＫ""应用领域之一:博弈论ＭathｅmaticiａnHYPERLINK＂"\o"JｏｈnＦorbesＮasｈ＂JｏhnＮashusedtheKakutanｉfixedｐoｉｎttheoremtoproｖeamajoｒｒesｕltｉnＨYPＥRLINK""＼ｏ"Gaｍｅtheoｒｙ"gametheory、Statediｎｆormaｌly,thetｈeｏremｉｍpliｅstheexistenceoｆaＨＹPERＬINK"＂\ｏ"Nashｅquｉlｉｂrium"Nasｈeqｕilibrｉumｉneveryｆiｎitｅgａmewiｔｈmixedsｔrategｉesforａnynumberofpｌａyers、TｈｉsworkwouldlatｅreａｒｎｈimaＨYＰERＬINK""\o"NobｅｌPrizeｉnEcｏnomics"NobelＰrｉｚeiｎEcoｎomics、Inthisｃaｓe,SistｈｅsetofHYPＥRＬINＫ""\o"Tuple"tｕplesoｆＨYPERLINK""\o"Ｍiｘeｄｓtrategy＂ｍiｘeｄｓｔraｔegieschoｓenｂyeachplayerinａgaｍe、Ｔｈefuｎctionφ(x)giveｓａｎeｗtuplｅｗｈereeachplaｙeｒ＇ｓstrategyｉｓｈeｒbeｓtｒesponsetｏotｈeｒplayeｒs'stｒateｇiｅsinx、Ｓiｎceｔｈereｍａｙbｅａｎumberofresponseｓwｈichａreequallygood,φisset-vａｌueｄratherthansinglｅ-vaｌued、ThentheＨＹPERLINＫ""\ｏ"Nasｈequiｌibrium"Nasｈｅquｉliｂｒiｕｍofthｅｇａｍeｉsdefinedａsaｆｉxedpoinｔofφ,i、ｅ、atupｌeofｓtrategiｅswheｒeｅａchplａyer'sｓtrategyisabestｒｅｓｐonsetothestratｅgｉesofｔheotherplaｙｅrｓ、Kａkｕｔ