2027届高考数学一轮总复习10.4事件的相互独立性与条件概率、全概率公式【课件】

第4节事件的相互独立性与条件概率、全概率公式课标解读

1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义;结合古典概型,利用独立性计算概率;了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型,理解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.强基础•固本增分1.事件的相互独立性P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件事件A与事件B相互独立对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立性质微点拨

1.必然事件Ω,不可能事件⌀都与任意事件相互独立.2.事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).3.若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2.条件概率

当P(A)=0时,我们不定义条件概率

条件概率的定义设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率

条件概率的性质

P(B|A)+P(C|A)微思考P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗?

×解析

若事件A,B互斥,则P(B|A)=0.√×

2.(多选题)(人A必修二教材习题改编)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,其对立事件记为C,那么事件A与B,A与C的关系是(

)A.A与B相互独立B.A与C相互独立C.A与C互斥D.A与B互斥AB解析

由于摸球过程是有放回的,所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故事件A与B,A与C均相互独立,且A与B,A与C均有可能同时发生,说明A与B,A与C均不互斥.故选AB.

D

B

5.(2022·天津,13)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为

;已知第一次抽到的是A,则第二次抽到A的概率为

.

6.(人A选三教材例题改编)某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为

.

0.7解析

设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.研考点•精准突破考点一相互独立事件的概率考向1

事件相互独立性的判断例1

(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立B

教考衔接(人A必修二教材例题)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?

[对点训练1]依次抛掷两枚质地均匀的骰子,事件A1=“第一次抛掷骰子的点数为2”,A2=“第一次抛掷骰子的点数为奇数”,A3=“两次抛掷骰子的点数之和为6”,A4=“两次抛掷骰子的点数之和为7”,则(

)A.A3与A4为对立事件B.A1与A3为相互独立事件C.A2与A4为相互独立事件D.A2与A4为互斥事件C

考向2

相互独立事件的概率例2

(多选题)(2023·新高考Ⅱ,12)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则下列说法正确的是(

)A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率ABD

规律方法

求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

B

考点二条件概率

ACD

(2)(2024·天津,13)某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共5个项目,分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同,则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为

;已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为

.

规律方法

条件概率的三种求法

定义法样本点法缩样法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简[对点训练3](1)(2023·全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A.0.8 B.0.6

C.0.5 D.0.4A

BC

考点三全概率公式的应用

B

(2)(2024·上海,8)小王参加知识竞赛,题库中A组题有5000道,B组题有4000道,C组题有3000道.已知小王做对这3组题的概率依次是0.92,0.86,0.72,则随机从题库中抽取一道题,小王做对的概率是

.

规律方法

利用全概率公式求解概率的步骤

[对点训练4](2025·湖南湘潭一模)跑步运动越来越受大众喜爱.据统计,某校有高一、高二、高三年级,这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%,30%,35%,且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4,现从这三个年级中随机抽一名教师,则该教师喜欢跑步的概率为(

)A.0.35 B.0.32

C.0.45 D.0.36A

教材衍展贝叶斯公式贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,P(B)>0,有

C

规律总结

1.贝叶斯公式不同于全概率公式,全概率公式是求一个事件发生的总概率,而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率.2.全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合,一般来说,全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率),而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率).

A

(2)(2025·广东佛山二模)某校元旦晚会设计了一个抽