湖南省永州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省永州市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数满足，则（

）A． B． C．4 D．82．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（

）A． B． C． D．3．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．5．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．6．已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（

）A． B． C． D．7．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（

）A． B． C． D．8．如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（

）A． B． C．1 D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．设样本空间,且每个样本点是等可能的,已知事件,则下列结论正确的是（

）A．事件A与B为互斥事件B．事件A,B,C两两相互独立.C．D．10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，且该三角形有两解，则C．若，则为等腰三角形D．若，则为锐角三角形11．如图，四边形ABCD是边长为2a的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将，，分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（

）A．AP⊥EFB．点P在平面AEF内的射影为的外心C．二面角的正弦值为D．四面体的外接球的体积为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知函数为偶函数，且在单调递减，若，则x的取值范围是____________．13．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量，若，与的夹角为．(1)求；(2)求与夹角的余弦值．16．如图，在四棱柱中，底面是菱形，底面，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18．如图，在多面体中，，，，平面平面.

(1)证明：平面.(2)已知，平面平面，是线段的中点.①证明：四边形为矩形.②