山西省2025-2026学年高一期中考试试卷

山西省2025-2026学年高一期中考试试卷一、选择题1．已知复数z=1+2i1+i（i为虚数单位），则z的共轭复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知角A、B是△ABC的内角，则“A<B”是“sinA<A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图所示，已知AB→=a→，AC→=bA．512b→C．34a→4．已知m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若α∥β，n⊂α，则n∥βC．若m⊥n，n⊥α，则m∥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n5．已知向量a，b满足|a|=5，|b|A．−3135 B．−1935 C．6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=60°，a+b=5，S△ABCA．29 B．33 C．19 D．7．已知P是△ABC所在平面内一点，满足PA+PB+PC=0，若A．−12 B．12 C．−18 D．188．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度MN，在泗水阁旁边找到一座建筑物AB，高约为28m，在底面上的点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，泗水阁顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则泗水阁的高度约为（）A．42m B．52m C．56m D．60m二、多选题9．已知向量a=2,1，b=1,−1，c=A．a与b的夹角为锐角B．向量a在b上的投影向量为2C．m+2n=2D．mn的最大值为110．在△ABC中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，已知a=3，a+bA．A=π6 B．△ABCC．当b最大时，△ABC的面积为32 D．2b+c的最大值为11．如图，圆台O1O2的上、下底面半径分别为1和2，高为22，点A．该圆台的体积为14B．该圆台的内切球的半径为2C．直线SA与直线O1OD．直线AO1与平面S三、填空题12．已知△ABC的面积为3，A=2π3，BA⋅BC13．如图，G是△OAB的重心，P,Q分别是边OA，OB上的动点，且P,G,Q三点共线．设OP=xOA，OQ=yOB14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P−ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则直线PB与平面PAC所成角的大小为.四、解答题15．求当a为何实数时，复数z=(a（1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z位于第四象限．16．如图，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，△ABC是等边三角形．（1）若∠ADC=60°，求△ABC的面积；（2）若BC=2，求△BCD的面积；（3）求△BCD的面积的最大值．17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcos（1）求角B的大小；（2）若b=2，S△ABC=3（3）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围.18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，F为线段PC的中点．（1）求证：PA//平面BDF；（2）求证：BC⊥平面PEB；（3）若平面PAD⊥平面ABCD，求异面直线PD与BF所成角的余弦值．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，DB=DC=2.把△ABD沿BD翻折，使得二面角A−BD−C的大小为θ，M，N分别是BD和BC（1）求证：平面BCD⊥平面AMN；（2）若θ=60°，求点M到平面AND的距离；（3）若二面角A−ND−B的余弦值为1919，求cos

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A,C10．【答案】B,C11．【答案】A,B,D12．【答案】213．【答案】314．【答案】π15．【答案】（1）解：由a2+a−12=0得a=−4或a=3∴当a=−4或a=3时，复数z为实数；

（2）解：由a2−2a−3=0a2+a−12≠0，得a=−1；

∴当a=−1时，复数z为纯虚数；

（3）解：由a2−2a−3>016．【答案】（1）解：在△ACD中，由余弦定理可得：AC2=A因为△ABC是等边三角形，所以△ABC的面积S=3（2）解：在△ACD中，由余弦定理可得AD则cos∠ACD=AC因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，

所以sin∠BCD=则△BCD的面积为12（3）解：设∠ACD=θ，∠ADC=α，在△ACD中，由正弦定理ADsinθ=由余弦定理可得ACAD则ACcos所以△BCD的面积：S=1因为ACsinθ=2sin所以S=3当α=150°时，S取得最大值3+934，即△BCD17．【答案】（1）π（2）6（3）318．【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OF，如图所示：因底面ABCD是边长为2的菱形，则点O是AC的中点，又因F为线段PC的中点，则有PA//OF，PA⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，可得PA//平面BDF；（2）证明：因△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，则有PE⊥AD，又AD=AB，∠BAD=60°，即△ADB为正三角形，且BE⊥AD，因BE∩PE=E,BE,PE⊂平面BPE，则AD⊥平面BPE，又因BC//AD，所以BC⊥平面BPE；（3）解：取DC的中点M，连接FM,BM,CE，如图所示：

则FM//PD，且FM=12故∠MFB即PD与BF所成角或其补角，因DC=2,DE=1,∠ADC=120∘，由余弦定理，又因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥AD，PE⊂平面PAD，故PE⊥平面ABCD，又CE⊂平面ABCD，则PE⊥CE，又PE=32×2=由（2）已得BC⊥平面PEB，因PB⊂平面PEB，故BC⊥PB，则BF=1又BM=32×2=3，则在即异面直线PD与BF所成角的余弦值为102019．【答案】（1）证明：如图：图1中，因为AD∥BC，AD=AB=1，DB=2因为四边形ABND为正方形，所以BD⊥AN，把△ABD沿BD翻折，如图2：则BD⊥MA，BD⊥MN，又因为MA,MN⊂平面AMN，MA∩MN=M，所以BD⊥平面AMN，又因为BD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AMN；（2）解：因为BD⊥MA，BD⊥MN，所以∠AMN即为二面角A−BD−C的平面角，所以∠AMN=θ=60°，过点A作AH⊥MN于H，因为平面BCD⊥平面AMN，平面BCD∩平面AMN=MN，AH⊂平面AM