2026年江苏省苏州市中考数学试卷及答案

第1页（共1页）2026年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。1．（3分）﹣2的相反数为（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（3分）根据苏州市统计局公报显示，截止2025年末，苏州市常住人口约1305万人，比上年末增长0.5%，常住人口城镇化率达82.9%，比上年提高0.2个百分点．数据“13050000”用科学记数法可表示为（）A．1.305×106 B．13.05×106 C．1.305×107 D．13.05×1073．（3分）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（）A． B． C． D．4．（3分）一组数据2，m，3，3，5的平均数为3，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．25．（3分）如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC至D，过C作CE∥AB，则∠DCE的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．（3分）若（x+4）2﹣1＝（x+m）（x+n），其中m＞n，则m﹣n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F，则AE+AF的最大值是（）A． B．3 C． D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。9．（3分）若有意义，则x的取值范围是．10．（3分）点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值为．11．（3分）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是．（填写一个符合要求的正整数即可）12．（3分）若2x+y+2＝0，则代数式的值为．13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E．过D，E两点作直线，分别交AB，AC于点F，G，连接CF．若CF＝5，则AG＝．14．（3分）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE＝CD＝3分米，DE＝12分米，则所在圆的半径为分米．15．（3分）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝．16．（3分）如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AB＝2．将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为．三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组．19．（6分）先化简，再求值：（），其中x＝3．20．（6分）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：项目主题A红色光影——革命事迹影展B红色工坊——袖章主题手作C红色出发——重走红色五卅D红色讲述——苏州解放故事甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加．（1）甲同学选择项目C的概率为；（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）21．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求▱BFDE的面积．22．（8分）某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：课外阅读一周累计时长统计表组别累计时长（单位：分）人数A0＜t≤608B60＜t≤12012C120＜t≤18025D180＜t≤240mEt＞2406请根据以上信息，完成下列问题：（1）上述图表中，m＝，n＝；（2）在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角为°；（3）若该校八年级学生一共有1020人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数．23．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN．（1）求a，b的值；（2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．24．（8分）如图①，点O位于竖直墙面l上，平面镜AB与墙面l平行，从点O射出一束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面l上形成一个光点C，OC所在直线垂直于水平面．入射光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA＝60°．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）（1）求证：△OPC是等边三角形；（2）如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置，入射光线OP经过平面镜的反射后，在墙面l上形成光点E，点E在直线OC上．①∠OPE＝°；②若OC＝60厘米，求光点向下移动的距离CE的长．（结果保留根号）25．（10分）如图，P是以AB为直径的⊙O外一点，C为⊙O上的一点，PA是⊙O的切线，BC∥OP，D为OB的中点，连接DP交OC于E．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OA＝2，PA＝4．①求BC的长；②求tan∠PEC的值．26．（10分）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间t（秒）的变化情况如图②所示，例如当t＝10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计）请根据上述信息，解决下列问题：（1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t＝0）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由；（2）乙驾驶汽车在道路上以速度v（米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t＝10）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度v的取值范围；（3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v（米/秒），使得该车在0～20秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由．（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）27．（10分）将一个二次函数y＝ax2+bx+c与一个一次函数y＝mx+n求和，可以得到一个新的二次函数y＝ax2+（b+m）x+（c+n），我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．（1）若二次函数y＝x2对一次函数y＝mx+n“吸收”，所得“吸收函数”的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0），求m，n的值；（2）已知二次函数y＝x2+2x﹣3对一次函数y＝mx+n“吸收”．①若所得“吸收函数”的最小值与y＝x2+2x﹣3的最小值相等，求n的取值范围；②若所得“吸收函数”的图象顶点为M，且与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点．当△ABM的面积为1时，求m的值．

2026年江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。1．（3分）﹣2的相反数为（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：﹣2的相反数为2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（3分）根据苏州市统计局公报显示，截止2025年末，苏州市常住人口约1305万人，比上年末增长0.5%，常住人口城镇化率达82.9%，比上年提高0.2个百分点．数据“13050000”用科学记数法可表示为（）A．1.305×106 B．13.05×106 C．1.305×107 D．13.05×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：13050000＝1.305×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（）A． B． C． D．【分析】根据正方体的展开图即可找出正确选项．【解答】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子，故选：B．【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，掌握其相关知识点是解题的关键．4．（3分）一组数据2，m，3，3，5的平均数为3，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据平均数的定义列出关于m的一元一次方程，解方程即可得到结果．【解答】解：∵这组数据共5个，平均数为3，∴这组数据的总和为5×3＝15，可得方程2+m+3+3+5＝15，化简得13+m＝15，解得m＝2，故选：D．【点评】本题考查平均数的基础计算，掌握其相关知识点是解题的关键．5．（3分）如图，△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，延长BC至D，过C作CE∥AB，则∠DCE的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】由∠A＝55°，∠ACB＝65°，根据三角形内角和定理求得∠B＝60°，由CE∥AB，得∠DCE＝∠B＝60°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝55°，∠ACB＝65°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°，∵延长BC至D，过C作CE∥AB，∴∠DCE＝∠B＝60°，故选：C．【点评】此题重点考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，正确地求出∠B的度数是解题的关键．6．（3分）若（x+4）2﹣1＝（x+m）（x+n），其中m＞n，则m﹣n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据多项式乘多项式的计算方法进行计算即可．【解答】解：∵（x+4）2﹣1＝（x+m）（x+n），即（x+5）（x+3）＝（x+m）（x+n），而m＞n，∴m＝5，n＝3，∴m﹣n＝5﹣3＝2，故选：B．【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．7．（3分）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤＝16两）．则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据题意，若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者重量相同，已知5只雀和6只燕的总重量为1斤，据此列出方程组即可．【解答】解：根据题意可得方程组为．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F，则AE+AF的最大值是（）A． B．3 C． D．【分析】设AE＝x，AE+AF＝y，由矩形的性质得∠A＝∠B＝90°，因为AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点，所以BE＝3﹣x，因为EF⊥CE交AD于点F，所以∠CEF＝90°，推导出∠AFE＝∠BEC，可证明△AFE∽△BEC，得，则AFAE•BE，所以y＝AE+AF＝AEAE•BEx2x，由yx2x（x）2，可知当x时，y的值最大，最大值是，所以AE+AF的最大值是，于是得到问题的答案．【解答】解：设AE＝x，AE+AF＝y，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点，∴BE＝3﹣x，∠A＝∠B＝90°，∵EF⊥CE交AD于点F，∴∠CEF＝90°，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠BEC+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝∠BEC，∴△AFE∽△BEC，∴，∴AFAE•BE，∴y＝AE+AF＝AEAE•BE＝xx（3﹣x）x2x，∵yx2x（x）2，∴当x时，y的值最大，最大值是，∴AE+AF的最大值是，故选：C．【点评】此题重点考查矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等知识，证明△AFE∽△BEC是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。9．（3分）若有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围．【解答】解：根据题意可知，x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．10．（3分）点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值为﹣3．【分析】根据点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，代入点P计算即可得解．【解答】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝2x+1的图象上，∴a＝2×（﹣2）+1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．11．（3分）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是1．（填写一个符合要求的正整数即可）【分析】使得不透明的袋子中红球的个数少于白球和黄球的个数，并且使红球是最小的正整数，即可求解．【解答】解：∵要使摸出红球的可能性最小，∴红球的个数小于3，又∵红球的个数是正整数，∴红球是1个．故答案为：1．【点评】本题考查了可能性的大小，解题的关键是通过比较白球、黄球和红球的个数求解．12．（3分）若2x+y+2＝0，则代数式的值为2．【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵2x+y+2＝0，∴2x+y＝﹣2，∴当2x+y＝﹣2时，原式33＝2．故答案为：2．【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E．过D，E两点作直线，分别交AB，AC于点F，G，连接CF．若CF＝5，则AG＝．【分析】连接BG，由作图可得DE是AB的垂直平分线，则点F是AB的中点，AG＝BG．根据直角三角形斜边上中线的性质得到AB＝2CF＝10，由勾股定理求出AC，AG＝BG＝x，在Rt△BCG中根据勾股定理构造方程，求解即可．【解答】解：连接BG，由作图可得DE是AB的垂直平分线，∴点F是AB的中点，AG＝BG，∴∠ACB＝90°，CF＝5，∴AB＝2CF＝10，在Rt△ABC中，，设AG＝BG＝x，则CG＝AC﹣AG＝8﹣x，在Rt△BCG中，BC2+CG2＝BG2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得，∴．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．14．（3分）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE＝CD＝3分米，DE＝12分米，则所在圆的半径为10分米．【分析】连接AC，过B作BN⊥DE于N，交AC于M，设圆的圆心是O，圆的半径是r分米，连接OC，得到四边形CDEA是矩形，由垂径定理得到CMAC＝6（分米），由勾股定理得到r2＝（18﹣r）2+62，求出r＝10，即可得到所在圆的半径的长．【解答】解：连接AC，过B作BN⊥DE于N，交AC于M，设圆的圆心是O，圆的半径是r分米，连接OC，∵AE，CD分别垂直于地面l，AE＝CD＝3分米，∴四边形CDEA是矩形，∴CA∥DE，∴OM⊥AC，∴CMAC12＝6（分米），∵该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，∴BN＝21分米，∵BM＝BN﹣MN＝21﹣3＝18（分米），∴OM＝（18﹣r）分米，由勾股定理得到：OC2＝OM2+CM2，∴r2＝（18﹣r）2+62，∴r＝10，∴所在圆的半径为10分米．故答案为：10．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是由垂径定理和勾股定理列出关于r的方程．15．（3分）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝5．【分析】先求出抛物线顶点的坐标，据此表示出BN的长，再分别求出点A和点B的坐标，据此表示出AB的长，最后根据四边形ABNM为正方形建立方程进行求解即可．【解答】解：由题知，因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，所以抛物线的顶点坐标为（m，1）．因为点B在直线y＝a上且BN⊥l，所以BN＝a﹣1．由x2﹣2mx+m2+1＝a得，x，所以AB．因为四边形ABNM为正方形，所以AB＝BN，则，解得a＝1（舍去）或a＝5，所以a的值为5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．16．（3分）如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AB＝2．将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为．【分析】过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝x，则BD＝2﹣x，解Rt△DHB得DH，由翻折性质得AD＝A'D＝x，由此得当A'D为最小时，线段AD的长度为最小，再根据“垂线段最短”得A'D≥DH，则当点A'与点H重合时，A'D为最小，此时AD的长度为最小，由此得，解得x，据此可得线段AD长度的最小值为．【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：∴∠DHB＝∠DHA'＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，设AD＝x，∵AB＝2，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，在△DHB中，∠DHB＝90°，∴sinB，∴DH＝BD•sinB＝（2﹣x）×sin60°，∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，∴AD＝A'D＝x，∴当A'D为最小时，线段AD的长度为最小，根据“垂线段最短”得：A'D≥DH，∴当点A'与点H重合时，A'D为最小，此时AD的长度为最小，∴，解得：x，∴x的最小值为，∴线段AD长度的最小值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义计算是解决问题的关键．三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。17．（5分）计算：．【分析】先根据零指数幂、算术平方根、绝对值的定义计算，再根据有理数加法法则计算即可．【解答】解：＝1+3+5＝9．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（5分）解不等式组．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．【解答】解：解不等式2x﹣1＞3x﹣5得，x＜4，解不等式得，x＞﹣2，所以不等式组的解集为﹣2＜x＜4．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．（6分）先化简，再求值：（），其中x＝3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝3代入进行计算即可．【解答】解：（）•x（x+1）＝x（x﹣1），当x＝3时，原式＝3×（3﹣1）＝3×2＝6．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．20．（6分）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃•追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示：项目主题A红色光影——革命事迹影展B红色工坊——袖章主题手作C红色出发——重走红色五卅D红色讲述——苏州解放故事甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加．（1）甲同学选择项目C的概率为；（2）求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出甲、乙两位同学选择相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）甲同学选择项目C的概率为；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果数为4，甲、乙两位同学选择相同项目的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．21．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求▱BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角函数的定义和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴DEAD，BFBC，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：过A作AH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴AH＝AB•sin60°＝42，∵BC＝6，F是边BC的中点，∴CFBC＝3，∴▱BFDE的面积＝CF•AH＝3×26．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．22．（8分）某校为了解八年级学生的课外阅读一周累计时长，随机抽取了该校八年级部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：课外阅读一周累计时长统计表组别累计时长（单位：分）人数A0＜t≤608B60＜t≤12012C120＜t≤18025D180＜t≤240mEt＞2406请根据以上信息，完成下列问题：（1）上述图表中，m＝9，n＝10；（2）在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角为150°；（3）若该校八年级学生一共有1020人，请估计该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数．【分析】（1）将B组人数除以其百分比，得到本次调查的总人数，将总人数减去已知其他组的人数，即可求出m的值，将E组人数除以总人数，可求出n的值；（2）将C组人数所占比例乘以360°，即可解答；（3）用样本估计总体计算即可．【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷20%＝60（人），D组人数m＝60﹣8﹣12﹣25﹣6＝9，E组所占百分比为6÷60×100%＝10%，即n＝10，故答案为：9，10；（2）“C组”所对应的扇形的圆心角为150°，故答案为：150；（3）10201020680（人），答：该校八年级课外阅读一周累计时长超过120分钟的学生人数为680人．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．23．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于M，N两点，连接MN．（1）求a，b的值；（2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．【分析】（1）将点A（﹣4，0），B（0，2）代入一次函数y＝ax+b，即可求解；（2）解：设点P的坐标为，根据△PMN是腰长为3的等腰直角三角形得到点M的坐标为，点N的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出的值，进而得到点P的坐标与k的值．【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图像经过点A（﹣4，0），B（0，2），∴，解得；（2）由（1）有，b＝2，∴一次函数为，∵点P在一次函数的图像上，∴设点P的坐标为．∵△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，∴PM＝PN＝3，∴点M的坐标为，点N的坐标为，∵点M，N在反比例函数的图像上，∴，解得t＝4，∴点P的坐标为（4，4），点M的坐标为（1，4）．∴k＝4．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．24．（8分）如图①，点O位于竖直墙面l上，平面镜AB与墙面l平行，从点O射出一束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面l上形成一个光点C，OC所在直线垂直于水平面．入射光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA＝60°．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）（1）求证：△OPC是等边三角形；（2）如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置，入射光线OP经过平面镜的反射后，在墙面l上形成光点E，点E在直线OC上．①∠OPE＝75°；②若OC＝60厘米，求光点向下移动的距离CE的长．（结果保留根号）【分析】（1）根据反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角得出∠OPA＝∠BPC＝60°，进而求出∠OPC＝60°，再根据平行线的性质得出∠POC＝∠PCO＝60°，即可得出结论；（2）①由旋转得出∠APA'＝7.5°，进而得出∠OPA'＝52.5°，再根据光的反射定律可知∠B'PE＝∠OPA'＝52.5°，即可得出答案；②由（1）知，∠POC＝∠PCO＝60°，进而求出∠PEO＝45°，过点P作PH⊥OC于H，进而判断出PH＝EH，再根据等边三角形的性质求出CH＝30厘米，根据三角函数求出PH＝30厘米，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，∠OPA＝60°，∴∠OPA＝∠BPC＝60°，∴∠OPC＝180°﹣∠OPA﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵AB∥l，∴∠POC＝∠OPA＝60°，∠OCP＝∠BPC＝60°，∴∠OPC＝∠POC＝∠OCP＝60°，∴OP＝OC＝PC，∴△OPC是等边三角形；（2）解：①∵将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置，∴∠APA'＝7.5°，∴∠OPA'＝∠OPA﹣∠APA'＝60°﹣7.5°＝52.5°，∵反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角，∴∠B'PE＝∠OPA'＝52.5°，∴∠OPE＝180°﹣∠OPA'﹣∠B'PE＝180°﹣52.5°﹣52.5°＝75，故答案为：75；②由（1）知，∠POC＝∠PCO＝60°，在△OPE中，∠OPE+∠POC+∠PEO＝180°，∴∠PEO＝180°﹣∠OPE﹣∠POC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，如图②，过点P作PH⊥OC于H，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝90°﹣∠PEO＝45°，∴∠PEO＝∠HPE，∴PH＝EH，由（1）知，△OPC是等边三角形，∴CHOC＝30厘米，在Rt△PHC中，∠PCH＝60°，tan∠PCH，∴PH＝CH•tan∠PCH＝30×tan60°＝30厘米，∴EH＝30厘米，∴CE＝EH﹣CH＝3030＝30（1）厘米，∴光点向下移动的距离CE的长为30（1）厘米．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．25．（10分）如图，P是以AB为直径的⊙O外一点，C为⊙O上的一点，PA是⊙O的切线，BC∥OP，D为OB的中点，连接DP交OC于E．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OA＝2，PA＝4．①求BC的长；②求tan∠PEC的值．【分析】（1）先证明∠COP＝∠AOP，进而依据“SAS”判定△COP和△AOP全等得∠OCP＝∠OAP＝90°，然后根据切线的判定可得出结论；（2）①连接AC，依题意得OB＝OC＝OA＝2，AB＝4，在Rt△OAP中，由勾股定理得OP，则cos∠AOP，根据∠COP＝∠B得cos∠B，在Rt△ACB中，根据cos∠B得BC；②设OC的中点为F，连接DF，则DF是△OBC的中位线，由此得DFBC，证明△DEF和△POE相似得OE＝5EF，则OF＝OE+EF＝6EF＝1，由此得EF，则EC＝EF+CF，然后在Rt△PCE中，由正切函数的定义可得tan∠PEC．【解答】（1）证明：如图1所示：∵AB为⊙O的直径，∴OB＝OC＝OA，∴∠B＝∠OCB，∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠B，∠COP＝∠OCB，∴∠COP＝∠AOP，在△COP和△AOP中，，∴△COP≌△AOP（SAS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∴OC⊥PC，又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：①连接AC，如图2①所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OA＝2，∴OB＝OC＝OA＝2，∴AB＝OA+OB＝4，在△OAP中，∠OAP＝90°，PA＝4，由勾股定理得：OP，∴cos∠AOP，∵∠COP＝∠OCB，∠B＝∠OCB，∴∠B＝∠COP，∴cos∠B＝cos∠AOP，在△ACB中，∠ACB＝90°，∴cos∠B，∴BC；②设OC的中点为F，连接DF，如图2②所示：∵OB＝OC＝OA＝2，∴OF＝CF＝1，∵点D为OB的中点，点F是OC的中点，∴DF是△OBC的中位线，∴DFBC，DF∥BC，∵BC∥OP，∴DF∥OP，∴△DEF∽△POE，∴，∴OE＝5EF，∴OF＝OE+EF＝6EF＝1，∴EF，∴EC＝EF+CF，∵△COP≌△AOP，PA＝4，∴PC＝PA＝4，在△PCE中，∠OCP＝90°，∴tan∠PEC．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理计算是解决问题的关键．26．（10分）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间t（秒）的变化情况如图②所示，例如当t＝10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计）请根据上述信息，解决下列问题：（1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t＝0）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由；（2）乙驾驶汽车在道路上以速度v（米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t＝10）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度v的取值范围；（3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v（米/秒），使得该车在0～20秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由．（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可；（2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可；（3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过