2026年江苏省扬州市中考数学试卷及答案

第1页（共1页）2026年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（）A．+3 B．+2 C．﹣1 D．﹣42．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a10÷a2＝a5 D．（a2）3＝a53．（3分）下列调查中，适合采用普查的是（）A．调查一批电视机的使用寿命 B．调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率 D．调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况4．（3分）一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球5．（3分）关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况6．（3分）“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（）A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．40πcm7．（3分）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，EF∥BC，∠AGE＝120°，∠DCB＝70°，则∠BDC＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°8．（3分）一次函数y＝﹣x+b（b＞0）与反比例函数y（k＞0）的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（）A．S1＜S2，C1＜C2 B．S1＜S2，C1＞C2 C．S1＞S2，C1＜C2 D．S1＞S2，C1＞C2二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）“红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从1934年10月至1936年10月，历时735天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据65000用科学记数法表示为．10．（3分）分解因式：a3﹣9a＝．11．（3分）工厂对某批零件进行质检，结果如下：抽取的零件数100200300500100020003000优等品的频数9118927746692918622789优等品的频率0.91000.94500.92330.93200.92900.93100.9297从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为（结果精确到0.01）．12．（3分）若一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是．13．（3分）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”一章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组．14．（3分）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为°．15．（3分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在上，∠ABC＝20°，则∠CDB＝°．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上．若△ADE的面积是3，则△BCF的面积是．17．（3分）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB边上取点M，使AM＝BE，沿MD，MF剪开，可拼成正方形MFND．若AE＝9，MN＝10，则△DAM的面积是．18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．将线段AB绕点A按逆时针方向旋转至AM（∠BAM是旋转角，且0°＜∠BAM＜120°），连接BM，CM，作AN⊥CM，垂足为N．用等式表示线段BM，CM，AN之间的数量关系为．三、解答题（本大题共有10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）°；（2）a（9a+b）﹣（3a）2．20．（8分）解不等式组，并求它的所有整数解的和．21．（8分）某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如图所示：（1）被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为本，中位数为本，平均数为本；（2）该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上（含5本）的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数．22．（8分）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种．（1）小慧选择玉米的概率是；（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率．23．（10分）用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高50%，且乙型机器人搬运1500kg货物比甲型机器人搬运1200kg货物少用10分钟．求这两种机器人每分钟分别搬运多少kg货物．24．（10分）如图，在▱ABCD中，O是CD的中点．分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BE＝8，∠BAE＝90°，求四边形ACED的周长．25．（10分）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．【数据收集】如表是测试所得的数据：行车速度v（km/h）4045557080100视野角度f（度）1008973575040【直观呈现】（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．【数学表达】（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式．【问题解决】（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠BAC．以AB边上的点O为圆心，OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D，BD为⊙O的切线．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；（2）若AC＝4，tan∠BAC，求⊙O的半径．27．（12分）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点A，D重合）．将△ABE沿BE翻折，得到△FBE．过点F作FM⊥BE，FN⊥BC，垂足分别为M，N．（1）如图2，若FM＝FN，求FM+FN的值；（2）如图3，若E为AD中点，则FM的长为，FN的长为；（3）求点E运动过程中FM+FN的最大值．28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（2，1）和（4，﹣7）．（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．（2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m＜n），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．①若m＝﹣2，矩形R的垂直高度h＝9，则矩形R的水平宽度p的取值范围是；②若矩形R的水平宽度p＝5，则矩形R的垂直高度h的取值范围是；③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标．

2026年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（）A．+3 B．+2 C．﹣1 D．﹣4【分析】根据绝对值越小，点距离原点越近，进行判断便可．【解答】解：∵|﹣1|＜|+2|＜|+3|＜|﹣4|，∴最接近原点的是﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的几何意义以及大小关系的比较，解题的关键在于理解绝对值越小，点距离原点越近．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a10÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意，a2•a3＝a5，则B符合题意，a10÷a2＝a8，则C不符合题意，（a2）3＝a6，则D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3．（3分）下列调查中，适合采用普查的是（）A．调查一批电视机的使用寿命 B．调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率 D．调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况【分析】根据全面调查与抽样调查的特征，逐项判断即可．【解答】解：A．适合抽样调查，故本选项不符合题意；B．适合抽样调查，故本选项不符合题意；C．适合抽样调查，故本选项不符合题意；D．适合普查，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查全面调查与抽样调查，熟练掌握其知识点是解题的关键．4．（3分）一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图．【解答】解：观察选项可知，一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是圆锥．故选：C．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．5．（3分）关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：由题知，因为关于x的一元二次方程为x2+kx﹣1＝0，则Δ＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4≥4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．6．（3分）“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（）A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．40πcm【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，∵半径r＝20cm，圆心角n＝90°，∴手腕的运动路线长：，故选：B．【点评】本题主要考查了弧长的计算，掌握其相关知识点是解题的关键．7．（3分）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，EF∥BC，∠AGE＝120°，∠DCB＝70°，则∠BDC＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据平行线的性质进行计算即可．【解答】解：∵EF∥BC，∠DCB＝70°，∴∠DFG＝∠DCB＝70°．又∵∠AGE＝120°，∴∠BDC＝120°﹣70°＝50°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．8．（3分）一次函数y＝﹣x+b（b＞0）与反比例函数y（k＞0）的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（）A．S1＜S2，C1＜C2 B．S1＜S2，C1＞C2 C．S1＞S2，C1＜C2 D．S1＞S2，C1＞C2【分析】依据由题，设点M坐标为（x1，y1），点N坐标为（x2，y2），根据点M在反比例函数图象上可得S1的值，根据点N在反比例函数图象上方可得S2与S1的关系；根据点M在一次函数图象上可得C1的值，根据点N在一次函数图象下方可得C2与C1的关系．【解答】解：由题意，设M（x1，y1），N（x2，y2），∵点M在反比例函数图象上，∴x1y1＝k，∴S1＝x1y1＝k，∵点N在反比例函数图象的上方，∴，即x2y2＞k，∴S2＝x2y2＞k，∴S1＜S2，∵点M在一次函数y＝﹣x+b图象上，∴．y1＝﹣x1+b，即x1+y1＝b，∵矩形MAOB，∴OB＝MA，BM＝OA，∴C1＝2（x1+y1）＝2b，∵点N在一次函数图象的下方，∴y2＜﹣x2+b，即x2+y2＜b，∵矩形NCOD，∴DM＝OC，CN＝OD，∴C2＝2（x2+y2）＜2b，∴C1＞C2，综上所述，S1＜S2，C1＞C2．故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）“红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从1934年10月至1936年10月，历时735天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据65000用科学记数法表示为6.5×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：65000＝6.5×104．故答案为：6.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）分解因式：a3﹣9a＝a（a+3）（a﹣3）．【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（3分）工厂对某批零件进行质检，结果如下：抽取的零件数100200300500100020003000优等品的频数9118927746692918622789优等品的频率0.91000.94500.92330.93200.92900.93100.9297从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93（结果精确到0.01）．【分析】根据表格的数据即可求解．【解答】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在0.93附近，因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93，故答案为：0.93．【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键．12．（3分）若一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据一次函数的性质，构建不等式即可解决问题．【解答】解：由题意：k﹣2＞0，解得k＞2，故答案为：k＞2．【点评】本题考查一次函数的性质、不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13．（3分）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”一章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组．【分析】根据“若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，∴xy＝50；∵乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，∴x+y＝50．∴根据题意可列出方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．（3分）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为135°．【分析】根据正八边形的定义，多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：由题意可知，正八边形的每一个内角都相等，正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°，∴正八边形的每个内角为：1080°÷8＝135°．故答案为：135．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，正多边形的定义是解题的关键．15．（3分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在上，∠ABC＝20°，则∠CDB＝110°．【分析】由AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在上，得∠ACB＝90°，∠CDB+∠A＝180°，因为∠ABC＝20°，所以∠A＝90°﹣∠ABC＝70°，则∠CDB＝180°﹣∠A＝110°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在上，∴∠ACB＝90°，∠CDB+∠A＝180°，∵∠ABC＝20°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝70°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝110°，故答案为：110．【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键．16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上．若△ADE的面积是3，则△BCF的面积是6．【分析】由三角形的面积公式得到△ABE的面积＝△ADE面积的2倍＝6，△BCE的面积＝△ABE的面积＝6，由三角形中位线定理推出DE∥BC，得到△BCF的面积＝△BCE的面积＝6．【解答】解：∵D是AB的中点，∴△ABE的面积＝△ADE面积的2倍＝3×2＝6，∵E是AC的中点，∴△BCE的面积＝△ABE的面积＝6，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△BCF的面积＝△BCE的面积＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，关键是由三角形中位线定理推出DE∥BC，掌握三角形的面积公式．17．（3分）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB边上取点M，使AM＝BE，沿MD，MF剪开，可拼成正方形MFND．若AE＝9，MN＝10，则△DAM的面积是．【分析】设AM＝BE＝EF＝x，AD＝AB＝EM＝y．构建方程组求出xy，可得结论．【解答】解：设AM＝BE＝EF＝x，AD＝AB＝EM＝y．∵AE＝9，∴x+y＝9①，∵四边形DMFN是正方形，∴MNFM，∴MN2＝2MF2，∵MF2＝EF2+EM2，∴102＝2（x2+y2），∴x2+y2＝50②，①2﹣②得到2xy＝31，∴xy，∴△DAM的面积AD•AMxy．故答案为：．【点评】本题考查图形的拼剪，整式的混合运算，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．将线段AB绕点A按逆时针方向旋转至AM（∠BAM是旋转角，且0°＜∠BAM＜120°），连接BM，CM，作AN⊥CM，垂足为N．用等式表示线段BM，CM，AN之间的数量关系为．【分析】过点A作AH⊥BM于点H，延长BM交AN延长线于点E，可推得∠HAE＝60°，则∠MEN＝30°，分别在Rt△NME和Rt△HAE中，利用特殊角三角函数关系，找到NE，ME与MN关系，HE与AE之间的关系，再利用等腰三角形的性质，转化成BM，CM，AN之间的数量关系．【解答】解：过点A作AH⊥BM于点H，延长BM交AN延长线于点E，由题意，AB＝AM＝AC，∵AH⊥BM，AN⊥CM，∴，，HMBM，，∴∠HAE＝∠MAH+∠NAM（∠BAM+∠MAC）∠BAC＝60°，∴在Rt△NME中，∠MEN＝30°，•，ME2MN＝CM，同理，在Rt△HAE中，∠MEN＝30°，，∴，∴，整理，得，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质等腰三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．三、解答题（本大题共有10小题，共96分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）°；（2）a（9a+b）﹣（3a）2．【分析】（1）利用二次根式的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可；（2）利用单项式乘多项式法则，积的乘方法则计算后再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝31﹣4＝31﹣21；（2）原式＝9a2+ab﹣9a2＝ab．【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，积的乘方，零指数幂，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（8分）解不等式组，并求它的所有整数解的和．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．【解答】解：解不等式2x﹣1＜x+1得，x＜2，解不等式2x得，x≥﹣1，所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，则该不等式组的所有整数解的和为：﹣1+0+1＝0．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．21．（8分）某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如图所示：（1）被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为3本，中位数为4本，平均数为3.8本；（2）该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上（含5本）的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数．【分析】（1）根据中位数、众数以及平均数的定义计算即可；（2）利用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由统计图可知，被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数是3本，中位数为4（本），平均数为：3.8（本），故答案为：3，4，3.8；（2）400120（人），答：估计七年级获得表彰的学生人数约120人．【点评】本题主要考查了条形统计图、平均数、中位数、众数、用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．22．（8分）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种．（1）小慧选择玉米的概率是；（2）请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种，因此小慧选择玉米的概率为，故答案为：；（2）画树状图为：由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种，小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是．【点评】本题主要考查了列表法与树状图法概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．23．（10分）用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运效率高50%，且乙型机器人搬运1500kg货物比甲型机器人搬运1200kg货物少用10分钟．求这两种机器人每分钟分别搬运多少kg货物．【分析】设甲型机器人每分钟搬运x千克货物，根据乙型机器人比甲型机器人搬运效率高50%，乙型机器人搬运1500kg货物比甲型机器人搬运1200kg货物少用10分钟，列出方程进行求解即可．【解答】解：设甲型机器人每分钟搬运x千克货物，由题意列方程得：，整理得，15x＝300，解得x＝20；经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意；x（1+50%）＝30，即乙型机器人每分钟搬运30千克货物，答：甲型机器人每分钟搬运20千克货物，乙型机器人每分钟搬运30千克货物．【点评】本题考查百分数的应用，解题的关键是根据题意找到关系式．24．（10分）如图，在▱ABCD中，O是CD的中点．分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BE＝8，∠BAE＝90°，求四边形ACED的周长．【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合中点条件，通过证明三角形全等（△AOD≌△EOC）来推导线段相等，从而判定四边形ACED为平行四边形；（2）在直角三角形ABE中，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，建立线段之间的数量关系，进而求解周长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠CEO，∵O是CD的中点，∴DO＝CO，在△AOD和△EOC中，∴△AOD≌△EOC（ASA）∴AO＝EO，∵DO＝CO，AO＝EO，∴四边形ACED是平行四边形；解：（2）由（1）得△AOD≌△EOC，∴AD＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴BC＝CE，∵BE＝BC+CE＝8，∴CE＝4，∴C是BE的中点，∵∠BAE＝90°，∴AC是Rt△ABE斜边上的中线，∴，∵四边形ACED是平行四边形，∴AC＝ED＝4，CE＝AD＝4，∴四边形ACED的周长＝AC+CE+ED+DA＝4+4+4+4＝16，答：四边形ACED的周长为16．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题关键在于相关知识的灵活运用．25．（10分）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．【数据收集】如表是测试所得的数据：行车速度v（km/h）4045557080100视野角度f（度）1008973575040【直观呈现】（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．【数学表达】（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式．【问题解决】（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可；（2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值4000，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可；（3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围．【解答】解：（1）如图，（2）观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：；（3）由题意，要求视野角度不小于80度，即f≥80，代入函数表达式得：，因为行车速度v＞0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：4000≥80v，解得v≤50，结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠BAC．以AB边上的点O为圆心，OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D，BD为⊙O的切线．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；（2）若AC＝4，tan∠BAC，求⊙O的半径．【分析】（1）先作∠DBC＝∠A交AC于点D，再作AD的垂直平分线，交AB于点O，以OA为半径作⊙O即可；（2）由已知条件先求BC，进一步可求DC长度，AD长度，AF，OF均可求，最后借助勾股定理可求半径OA长度．【解答】解：（1）⊙O如图所示，证明：∵∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∵EF为AD垂直平分线，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠DBC＝∠A，∴∠ODA＝∠DBC，∴∠ODA+∠BDC＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，∵OD为⊙O半径，点D在圆上，∴BD为⊙O切线；（2）∵AC＝4，，∴，∴BC＝2，∵∠DBC＝∠A，∴，∴，∴DC＝1，∴AD＝3，∴，∵，∴，∴，即⊙O半径为．【点评】本题主要考查了作图—复杂作图，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．27．（12分）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点A，D重合）．将△ABE沿BE翻折，得到△FBE．过点F作FM⊥BE，FN⊥BC，垂足分别为M，N．（1）如图2，若FM＝FN，求FM+FN的值；（2）如图3，若E为AD中点，则FM的长为，FN的长为；（3）求点E运动过程中FM+FN的最大值．【分析】（1）根据翻折可得∠ABE＝∠EBF，根据角平分线定理可得BF平分∠EBC，可得∠ABE＝∠EBF＝∠FBC＝30°，进而可得，即可求出FM+FN的值；（2）根据翻折可得△AEB≌△FEB，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法，计算即可，再证得四边形HNCD为矩形，△EFH∽△FBN，得到，即可解出FN的长；（3）如图，延长NF交AD于H，连接AM，证明△HFA∽△MAB，得到，设FM＝x，FN＝y，表示出AM，HF，AF，然后代入求出y＝﹣2x2+1，然后表示出FM+FN后利用二次函数的性质求解．【解答】解：（1）∵FM⊥BE，FN⊥BC，且FM＝FN，∴BF平分∠EBC，∴∠EBF＝∠FBC，∵△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴∠ABE＝∠EBF，∴∠ABE＝∠EBF＝∠FBC，∵∠ABE+∠EBF+∠FBC＝∠ABC＝90°，∴3∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠FBC＝30°，在Rt△BFN中，BF＝1，∴，又∵FM＝FN，∴；（2）延长NF交AD于H，∵正方形ABCD的边长为1，且E为AD中点，∴AD＝1，，AD∥BC，∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴△AEB≌△FEB，∴，AB＝BF＝1，∠EFB＝∠EAB＝90°，在Rt△AEB中，，∵FM⊥BE，∴，∴，∴，∵FN⊥BC，AD∥BC，∴FH⊥AD，∴∠FHA＝∠FNB＝∠EFB＝90°，∵∠D＝∠C＝90°，∴四边形HNCD为矩形，∴CN＝DH，DC＝HN＝1，∴∠EFH+∠NFB＝90°，∠NBF+∠NFB＝90°，∴∠EFH＝∠FBN，∴△EFH∽△FBN，∴，设BN＝x，则CN＝1﹣x，，∴，∴，FN＝2（）＝2x﹣1，∵FH+FN＝HN＝1，∴2x﹣11，解得x，∴；故答案为：，；（3）如图，延长NF交AD于H，连接AM，由翻转得，点A，M，F三点共线，∴∠AMB＝90°，由（2）得，FH⊥AD，∴∠AHF＝90°＝∠AMB，∴∠HAF+∠HFA＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠HAF+∠MAB＝90°，∴∠HFA＝∠MAB，∴△HFA∽△MAB，∴，设FM＝x，FN＝y，∴AM＝FM＝x，HF＝HN﹣FN＝1﹣