八上数学期末压轴题汇编

八上数学期末压轴题汇编同学们，期末考试的脚步日益临近，而数学试卷中的压轴题，往往是检验我们综合运用知识能力、拉开差距的关键。它不仅考查我们对基础知识的掌握程度，更注重考查逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。本文将结合八年级上册数学的核心知识点，对期末常见的压轴题型进行梳理与剖析，并附上典型例题与解题思路，希望能为大家的复习备考提供一些助力。一、以全等三角形为核心的几何综合题全等三角形是八年级上册几何部分的基石，围绕它展开的几何综合题是期末压轴题的常客。这类题目通常会将全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点融合在一起，有时还会涉及到图形的运动变换，如平移、旋转等。1.1例题解析：动态几何与全等结合例题：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上一点（不与A、B重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE。(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若AB=4，AD=x，△BDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值。思路分析：第(1)问，要证明△ACD≌△BCE。已知AC=BC，CD=CE（旋转性质），我们需要再找一个条件。由旋转90°可知∠DCE=90°，而∠ACB也是90°，所以∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB，从而得出∠ACD=∠BCE。根据“SAS”即可判定全等。第(2)问，要求△BDE的面积y与AD=x的函数关系。首先，AB=4，△ABC是等腰直角三角形，可求出AC=BC=2√2，AB边上的高为√2。由(1)知△ACD≌△BCE，所以BE=AD=x，∠CBE=∠A=45°。因为∠ABC=45°，所以∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，即△BDE是直角三角形，其中DB=AB-AD=4-x，BE=x。所以面积y=1/2*DB*BE=1/2*(4-x)*x。这是一个二次函数，根据二次函数的性质，在x的取值范围内（0<x<4），可求出y的最大值。解答过程：(1)证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°。∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE。在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）。(2)解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，∴∠A=∠ABC=45°，AB边上的高为(AC*BC)/AB=(AC²)/4。设AC=BC=a，由勾股定理a²+a²=4²，得a²=8，a=2√2（负值舍去）。AB边上的高为(2√2*2√2)/4=8/4=2。（注：此处原思路中高为√2有误，修正为2，更为简便的算法是直角边为a，斜边高h=a/√2，由a√2=4得a=2√2，h=2√2/√2=2）∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE=x，∠CBE=∠A=45°。∵∠ABC=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°。∵AD=x，AB=4，∴DB=AB-AD=4-x。在Rt△BDE中，∠DBE=90°，DB=4-x，BE=x，∴y=S△BDE=1/2*DB*BE=1/2*(4-x)*x=-1/2x²+2x。即y=-1/2x²+2x(0<x<4)。∵a=-1/2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-b/(2a)=-2/(2*(-1/2))=2。∴当x=2时，y有最大值，y最大值=-1/2*(2)²+2*2=-2+4=2。二、与轴对称相关的几何综合题轴对称是八年级上册另一个重要的几何变换，它常常与等腰三角形、最短路径问题等结合，形成综合性较强的压轴题。这类题目不仅要求学生掌握轴对称的性质，还需要具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力。2.1例题解析：等腰三角形的动态探究例题：在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B出发沿BC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s。设运动时间为t(s)（0<t<5）。(1)用含t的代数式表示线段PC的长度；(2)当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？(3)在P、Q运动过程中，△PCQ的面积能否达到8cm²？若能，求出t的值；若不能，说明理由。思路分析：第(1)问，PC=BC-BP，BP=t*1=t，BC=6，所以PC=6-t。第(2)问，△PCQ是等腰三角形，有三种情况：PC=CQ，PC=PQ，CQ=PQ。需要分别讨论。已知CQ=t*1=t，PC=6-t。情况一：PC=CQ，则6-t=t，解得t=3。情况二：PC=PQ。过点P作PD⊥AC于D，则CD=DQ=CQ/2=t/2。通过相似三角形（△CPD∽△CBA），利用比例关系求出PD和CD，进而建立关于t的方程求解。情况三：CQ=PQ。过点Q作QE⊥BC于E，则CE=EP=PC/2=(6-t)/2。同样通过相似三角形（△CQE∽△CAB）求解。第(3)问，要求△PCQ的面积。可以过点Q作QF⊥BC于F，QF是△PCQ的高。由△CQF∽△CAB，可求出QF的长度（用含t的代数式表示），然后根据面积公式S=1/2*PC*QF=8，建立方程。若方程有符合条件的解（0<t<5），则能；否则，不能。解答过程：(1)∵BP=tcm，BC=6cm，∴PC=BC-BP=(6-t)cm。(2)∵CQ=tcm，PC=(6-t)cm，0<t<5。要使△PCQ是等腰三角形，分三种情况讨论：①当PC=CQ时，6-t=t，解得t=3。∵0<3<5，∴t=3符合题意。②当PC=PQ时，过点P作PD⊥AC于点D。则CD=DQ=CQ/2=t/2。∵AB=AC=5，BC=6，过点A作AM⊥BC于M，则BM=CM=3，AM=√(AC²-CM²)=√(25-9)=4。∵PD⊥AC，AM⊥BC，∠C为公共角，∴△CPD∽△CAM。∴PC/AC=CD/CM，即(6-t)/5=(t/2)/3，解得t=36/11。∵0<36/11<5，∴t=36/11符合题意。③当CQ=PQ时，过点Q作QE⊥BC于点E。则CE=EP=PC/2=(6-t)/2。∵QE⊥BC，AM⊥BC，∠C为公共角，∴△CQE∽△CAM。∴CQ/AC=CE/CM，即t/5=[(6-t)/2]/3，解得t=30/11。∵0<30/11<5，∴t=30/11符合题意。综上所述，当t=3或t=36/11或t=30/11时，△PCQ是等腰三角形。(3)假设△PCQ的面积能达到8cm²。过点Q作QF⊥BC于点F。∵QF⊥BC，AM⊥BC，∠C为公共角，∴△CQF∽△CAM。∴CQ/AC=QF/AM，即t/5=QF/4，∴QF=(4t)/5。∴S△PCQ=1/2*PC*QF=1/2*(6-t)*(4t/5)=(2t(6-t))/5。令(2t(6-t))/5=8，整理得t²-6t+20=0。判别式Δ=(-6)²-4*1*20=36-80=-44<0，∴此方程无实数根。∴在P、Q运动过程中，△PCQ的面积不能达到8cm²。三、一次函数的综合应用一次函数是初中代数的核心内容之一，期末压轴题中常以一次函数与几何图形结合、一次函数的实际应用等形式出现。这类题目不仅考查一次函数的表达式、图像与性质，还常常涉及到方程、不等式等知识，具有较强的综合性。3.1例题解析：一次函数与几何图形的动态结合例题：如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B。直线l2：y=kx+b经过点C(-1,0)，且与线段AB交于点D，并将△AOB分成面积比为1:2的两部分。(1)求点A、点B的坐标；(2)求直线l2的函数表达式。思路分析：第(1)问，对于直线l1：y=-x+6，令y=0，可求出x的值，即点A的坐标；令x=0，可求出y的值，即点B的坐标。第(2)问，直线l2经过点C(-1,0)，且与线段AB交于点D。关键在于求出点D的坐标。已知l2将△AOB分成面积比为1:2的两部分。△AOB的面积可求（1/2*OA*OB）。那么△ACD和四边形OBDC的面积比为1:2，或者△BCD和四边形OADC的面积比为1:2？这里需要注意，点C在x轴负半轴上，直线l2与线段AB交于D，所以形成的两个图形应该是△ACD和四边形OBDC，或者△OCD和△ABD？不，更准确地说，是直线l2、x轴以及线段AB所围成的三角形，与剩下的部分。由于C在x轴上（-1,0），A在x轴上（6,0），所以CA的长度是7。△AOB的面积S=1/2*6*6=18。那么分成的两部分面积分别为6和12。考虑以CA为底，点D到x轴的距离（即D点的纵坐标）为高的三角形面积。因为CA=OA+OC=6+1=7（注意C在负半轴，OC=1）。设D点坐标为(m,n)，且D在AB上，所以n=-m+6(m>0,n>0)。△ACD的面积=1/2*CA*n=1/2*7*n。若△ACD的面积为6，则1/2*7*n=6→n=12/7，代入n=-m+6得m=6-12/7=30/7。若△ACD的面积为12，则1/2*7*n=12→n=24/7，代入n=-m+6得m=6-24/7=18/7。所以点D有两个可能的坐标：(30/7,12/7)或(18/7,24/7)。然后，将点C(-1,0)和点D的坐标分别代入直线l2的表达式y=kx+b，即可求出k和b的值，得到直线l2的函数表达式。解答过程：(1)对于直线l1：y=-x+6，令y=0，则-x+6=0，解得x=6，∴点A的坐标为(6,0)。令x=0，则y=6，∴点B的坐标为(0,6)。(2)∵点A(6,0)，点B(0,6)，∴OA=6，OB=6，S△AOB=1/2*OA*OB=1/2*6*6=18。∵直线l2经过点C(-1,0)，与线段AB交于点D，且将△AOB分成面积比为1:2的两部分，∴这两部分的面积分别为6和12。∵点C(-1,0)，点A(6,0)，∴CA=OA+OC=6+1=7。设点D的坐标为(m,n)，∵D在线段AB上，∴n=-m+6(0<m<6,0<n<6)。△ACD的面积为1/2*CA*n=1/2*7*n。①当S△ACD=6时，1/2*7*n=6，解得n=12/7。则m=6-n=6-12/7=30/7。∴D点坐标为(30/7,12/7)。设直线l2的表达式为y=kx+b，将C(-1,0)和D(30/7,12/7)代入得：{-k+b=0,(30/7)k+b=12/7。解得：k=12/37,b=12/37。∴直线l2的表达式为y=(12/37)x+12/37。②当S△ACD=12时，1/2*7*n=12，解得n=24/7。则m=6-n=6-24/7=18/7。∴D点坐标为(18/7,24/7)。将C(-1,0)和D(18/7,24/7)代入y=kx+b得：{-k+b=0,(18/7)k+b=24/7。解得：k=24/25,b=24/25。∴直线l2的表达式为y=(24/25)x+24/25。经检验，两种情况均符合题意。∴直线l2的函数表达式为y=(12/37)x+12