初升高中数学暑假衔接材料：第08讲 自由落体运动（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第08讲自由落体运动内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解

→析教材·学新知：情境概念深度构情境启思：从生活或问题出发，激发兴趣概念构建：梳理核心概念，形成知识框架考点精讲：聚焦常考要点，讲清逻辑例题精析：典型题目带路，学会解题思路即练固基：趁热打铁练一练，巩固刚学内容03过关检测

→练考点·强落实：过关检测分层提关键词学习目标导航自由落体运动

重力加速度

自由落体公式

落体运动特点1.知道自由落体运动的定义、产生条件和运动性质，识别生活中的自由落体模型。

2.了解重力加速度的大小、方向和变化规律，熟记常用取值。

3.掌握自由落体运动的推导公式，理解其为初速度为零的匀加速直线运动。

4.能区分普通下落运动与自由落体运动的区别，规避常见认知误区。学习重点：自由落体运动的定义与条件、重力加速度的理解、自由落体运动公式学习难点：自由落体运动模型判断、重力加速度的矢量理解、非理想落体与自由落体的区分情情｜境｜启｜思生活中松手释放的石块、树叶、雨滴都会向下下落。为什么石块下落快、树叶下落慢？是重的物体下落更快吗？若排除空气阻力的影响，轻重不同的物体下落快慢是否相同？物体只在重力作用下从静止开始的下落运动，遵循怎样的运动规律？概概｜念｜构｜建一、自由落体运动1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．2．物体的下落可看作自由落体运动的条件：空气阻力的作用比较小，可以忽略．二、自由落体加速度1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示．2．方向：竖直向下．3．大小（1）在地球表面，g值随纬度的增大而逐渐增大．（2）一般取值：g＝9.8m/s2或g＝10m/s2.三、自由落体运动的规律1．自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动．2．匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动．3．自由落体运动的速度、位移与时间的关系式：v＝gt，x＝eq\f(1,2)gt2.深｜深｜研｜精｜炼知识点01自由落体运动与自由落体加速度1．自由落体运动（1）自由落体运动是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例．（2）自由落体是一种理想化模型，这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．（3）运动图像：自由落体运动的v－t图像（如图）是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g.2．自由落体加速度（重力加速度）（1）方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面；（2）大小：①在同一地点，重力加速度都相同．②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近9.8m/s2，一般计算中g取9.8m/s2或10m/s2.【探究归纳】进行单位间的【典例1】将甲乙两物体从同一高度由静止释放，已知甲物体的重力是乙的3倍，空气阻力忽略不计，则（）A．甲一定先落地B．乙一定先落地C．甲、乙同时落地D．乙可能先落地【即练1】（25-26高一上·山西·期中）（多选）下列各种情景中，物体的运动可看作自由落体运动的是（）A．冬天下雪时雪花的下落 B．从3m高处由静止释放的石子C．熟透的苹果从树枝静止下落的运动 D．跳水运动员从跳台起跳到入水的运动【即练2】（25-26高一上·广东广州·期中）牛顿管实验如图所示：长玻璃管一端封闭、另一端有开关，把形状和质量都不相同的金属片和小羽毛放到玻璃管里。先打开开关使管内空气与大气连通，把玻璃管迅速倒转，让金属片和羽毛同时下落：当金属片落到管底时，羽毛还悠悠地飘在空中。抽掉玻璃管里的空气（近似真空）再倒转玻璃管，可看到它们同时落到管底。对这个实验，下列说法正确的是（）A．抽气后，在赤道和北京分别做该实验，金属片的下落时间会略有差异B．真空中的羽毛重力比空气中羽毛重力大C．它们能同时落到底端是因为抽气后他们没有重力了D．抽气前羽毛比金属片下落的慢，原因是羽毛受到空气阻力而金属片不受空气阻力知识点02自由落体运动的规律1．自由落体运动的基本公式匀变速直线运动规律eq\o(→,\s\up7(特例))自由落体运动规律eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝v0＋at,x＝v0t＋\f(1,2)at2))eq\o(→,\s\up7(v0＝0),\s\do5(a＝g))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝gt,h＝\f(1,2)gt2))2．匀变速直线运动的一切推论公式，如速度位移公式、平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动．角度1：自由落体运动公式的简单应用【典例2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为2kg的金属小球从3.2m高度自由下落，2s末落地，下列说法正确的是（）A．物体自由下落的加速度大小是 B．物体在2s末的速度大小是3.2m/sC．物体在第1s内的位移大小是1.2m D．物体在第2s内的位移大小是2.4m【即练1】（25-26高一上·甘肃天水·期末）一物体从45m高处自由下落，不计空气阻力，g取10m/s2，则物体在第一秒内和最后一秒内的位移之比为（）A． B． C． D．【即练2】（24-25高一上·北京·阶段检测）一小球从离地面500m处自由落下，不计空气阻力，取，求：(1)小球落到地面需要的时间。(2)小球在下落时间为总下落时间一半时的速度大小。角度2：落尺问题【典例3】（25-26高一上·浙江杭州·期末）图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L=6.2m不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放，测得Q球落地的时间t=3s，忽略空气阻力，g取10m/s2，可能用到3.22=10.24，求：(1)开始下落时，PQ连接体的加速度大小；(2)比萨斜塔的高度H；(3)P、Q球落地的时间差△t。【即练1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）一长1.45m的均匀细杆，杆下端与楼顶边缘对齐，竖直从一楼顶静止释放（忽略空气阻力）经过该楼侧面的一窗户，该窗户高2m，窗户上沿到楼顶边缘距离为5m，重力加速度。求：(1)求杆下端落到窗户上边沿时速度的大小(2)这根杆经过窗户所需要的时间【即练2】（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）如图为“眼疾手快”游戏装置示意图，游戏者小明需接住从支架上随机落下的圆棒。已知圆棒长，圆棒下端距A点0.45m，某次游戏中一未被接住的圆棒下落经过A、B两点，A、B间距0.40m。圆棒下落过程中始终保持竖直，不计空气阻力。取。求：(1)圆棒下端到达A点时的速度大小；(2)圆棒经过段所需的时间；角度3：滴水问题【典例4】（24-25高一上·北京朝阳·期中）雨后，某人用高速相机拍下一幅水滴下落的照片，如图所示，其中第4滴水刚要离开屋檐，若滴水的时间间隔相同，第1滴水与第2滴水的实际间距为1m，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，则拍下照片的瞬间，求：(1)滴水的时间间隔是多少？(2)图中第3滴水的速度大小为多少？【即练1】（25-26高一上·河北保定·期末）某同学在单元楼下观察空调外机滴水现象，他观察到A、B两个水滴先后从同一高度由静止下落。已知A水滴在落地前最后1s内下落的高度为，其落地瞬间B水滴刚好经过C点，C点距地面的距离恰好也为15m。水滴的下落可视为自由落体运动，重力加速度g取。求：(1)A水滴在落地前最后1s内的平均速度大小；(2)水滴下落的总高度H；(3)A、B两水滴先后滴下的时间间隔。【即练2】（25-26高一上·福建宁德·期末）小华在雨天发现屋檐滴水，已知屋檐离地面的高度，水滴离开屋檐时初速度为零，不计空气阻力，重力加速度取。求：(1)水滴落地的时间；(2)水滴落地时的速度大小。知识点03自由落体运动的实验探究1．实验器材打点计时器、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物、夹子、交流电源、毫米刻度尺．2．探究过程（1）按如下图所示将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路．（2）使纸带穿过两个限位孔，下端用夹子夹住连到重物上，让重物靠近打点计时器．（3）用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，启动打点计时器，放开纸带让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打下一系列的点，重物落地后立刻关闭电源．（4）改变重物的质量，重复几次上面的实验，选取一条点迹清晰的纸带进行处理．3．数据处理（1）用刻度尺测量打点计时器在纸带上打出的点之间的距离．（2）用vn＝eq\f(xn＋xn＋1,2T)求出各点的速度，作v－t图像，图像应为一条过原点的倾斜直线．（3）根据v－t图像的斜率求加速度或根据Δx＝aT2计算加速度．4．实验结论自由落体运动是初速度为零、加速度恒定（约为9.8m/s2，与物体的质量无关）的匀加速直线运动．知识点04实验：研究匀变速直线运动的规律一、利用纸带测加速度1．利用纸带判断物体是否做匀变速直线运动的方法沿直线运动的物体在连续相等时间间隔T内的位移分别为x1、x2、x3、x4…xn（如图1所示），若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝aT2.图12．利用纸带求加速度的方法（1）图像法①先根据平均速度法求出各计数点的速度vn＝eq\f(xn＋xn＋1,2T).②作v－t图像，求出图像的斜率即物体的加速度．（2）利用位移差公式①xn＋1－xn＝aT2得a＝eq\f(xn＋1－xn,T2)，其中T为两计数点之间的时间间隔．②逐差法若已知x1、x2、x3、x4四段时：a1＝eq\f(x3－x1,2T2)，a2＝eq\f(x4－x2,2T2)，a＝eq\f(a1＋a2,2)＝eq\f(x3＋x4－x1＋x2,4T2)若已知x1、x2…x6六段时：a1＝eq\f(x4－x1,3T2)，a2＝eq\f(x5－x2,3T2)，a3＝eq\f(x6－x3,3T2)，a＝eq\f(a1＋a2＋a3,3)＝eq\f(x6＋x5＋x4－x3＋x2＋x1,9T2).若纸带上选出多个计数点，可用逐差法求加速度．二、误差和有效数字1．误差：测量值跟被测物理量的真实值之间的差异叫作误差．误差按产生原因可分为偶然误差和系统误差．（1）偶然误差①产生原因：由偶然因素造成的．②特点：当多次重复测量时，偏大和偏小的机会比较接近．③减小偶然误差的方法：取平均值．（2）系统误差①产生原因：由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的．②特点：多次重复测量的结果总是大于（或小于）被测量的真实值．③减小系统误差的方法：校准测量仪器，改进实验方法，完善实验原理．2．绝对误差和相对误差（1）绝对误差：测量值与真实值之差．（2）相对误差：绝对误差与测量值之比．3．有效数字（1）定义：带有一位不可靠数字的近似数字叫作有效数字．（2）运算结果一般取两位或三位有效数字．【典例5】（24-25高一上·北京·阶段检测）某小组用如图甲所示的装置，根据自由落体运动规律来测量当地的重力加速度。(1)本实验采用电火花计时器，打点计时器应接到电压为220V、频率为50Hz的________（填“直流”或“交流”）电源上，打点的时间间隔是________s。(2)为了减小误差，重物应选________。（填正确答案标号）A．铁质重锤 B．木块 C．塑料块(3)为了测得重物下落的加速度，还需要的实验器材有________。（填正确答案标号）A．天平 B．秒表 C．刻度尺(4)取下纸带，再取出其中的一段纸带，如图乙所示，打点计时器打下B、C、E、F点时重物的速度如下表，则打D点时对应的速度为________。（结果保留两位有效数字）各点速度大小0.190.390.770.96(5)请将D点对应时刻的瞬时速度补充标在如图丙所示的直角坐标系中，并在坐标系中画出重物的瞬时速度随时间变化的图线。(6)根据图像求出自由落体运动的加速度大小________（结果保留两位有效数字）【即练1】（24-25高一上·广东深圳·期中）用如图甲所示的实验装置“测定重力加速度的大小”的实验。已知打点计时器的工作频率为50Hz。(1)部分实验步骤如下：A．测量完毕，关闭电源，取出纸带B．接通电源，待打点计时器工作稳定后放开重锤C．重锤停靠在打点计时器附近，与纸带相连D．把打点计时器固定在夹板上，让纸带穿过限位孔上述实验步骤的正确顺序是：________（填写字母）。(2)图乙中标出的相邻两计数点之间还有4个计时点未画出，则相邻两计数点的时间间隔T=________s。(3)计数点C对应的瞬时速度大小vC=________m/s。（计算结果保留两位有效数字）(4)根据实验记录的数据计算出重锤的加速度即重力加速度的大小g=________m/s²。（计算结果保留两位有效数字）【即练2】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）某同学在学习完自由落体这一节后，用如图甲所示的装置测量自由落体加速度。(1)该实验使用电火花计时器，对于其使用的电源，下列说法正确的是（）A．可以使用两节干电池对其供电 B．8V左右的交流电源 C．220V的交流电源 D．220V的直流电源(2)关于该实验的操作，下列说法正确的是（）A．在固定电火花计时器时，应调整计时器上下限位孔在同一竖直线上B．在手松开纸带时，应保证纸带与限位孔在同一竖直线上C．应该在手松开纸带后再启动电火花计时器D．为了保证纸带竖直下落，应该将拉纸带的手靠在电火花计时器限位孔上，再释放纸带(3)某同学按照正确的操作完成实验后，得到的纸带如图乙所示，其中纸带上的A、B、C、D、E为连续的5个计时点，A点到O点之间有部分点未画出。已知打点计时器打点的频率为50Hz，则纸带上打出C点时重物的速度大小vC=_____m/s，重物下落过程中的加速度大小a=_____m/s2。（结果均保留三位有效数字）一、单选题1．（25-26高一上·广东茂名·期末）工人利用“落石法”估算矿井的深度，测出从石块开始下落，至听到石头落到井底，用时为5秒，则井深最接近（）A．12.5米 B．125米 C．25米 D．250米2．（25-26高一上·山东枣庄·期末）甲、乙两物体距地面的高度比为2∶1，同时开始做自由落体运动。下列说法正确的是（）A．甲、乙在空中运动的时间比为2∶1 B．甲、乙在空中运动的时间比为C．两物体落地的速度大小相等 D．甲的加速度是乙的加速度的2倍3．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图所示，一个两端封闭的玻璃管，其中一端有一个开关，玻璃管可以与外界相通，把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中。第一次实验：打开开关使管内空气与大气连通，玻璃管竖直放置，让铁片和羽毛从玻璃管顶端同时开始下落，观察物体下落的情况。第二次实验：把玻璃管里的空气抽出去，再次观察物体下落的情况。则下列说法正确的是（）A．这两次实验，羽毛下落均可近似看作自由落体运动B．第一次实验中，铁片和羽毛下落时间相同，加速度相同C．第二次实验中，铁片和羽毛下落时间相同，加速度相同D．采用第二次实验的方法，在东莞和北京分别做该实验，铁片下落的时间相同4．（25-26高一上·浙江湖州·期末）如图所示为某款“眼疾手快”玩具，该玩具的圆棒长度为。游戏者将手放在圆棒的正下方，保持拇指的夹持位置离圆棒下端的距离为。不计空气阻力，。以圆棒由静止释放时为0时刻，则游戏者能抓住圆棒的时刻可能是（）A．0.40s B．0.44s C．0.54s D．0.60s5．（25-26高一上·北京西城·期中）某物体以的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取，则5s内物体的（）A．路程为45mB．位移大小为25m，方向向下C．速度改变量的大小为10m/sD．平均速度大小为5m/s，方向向上6．（25-26高一上·云南曲靖·期中）一个物体从某一高度做自由落体运动，它在第1s内的位移恰好等于它最后1s内位移的，则它开始下落时距地面的高度为（取g=10m/s2）（）A．5m B．11.25m C．20m D．31.25m7．（25-26高一上·辽宁丹东·期中）一个弹性小球从距水平地面某一高度的位置静止落下，被水平地面反弹后，竖直向上运动到最高点，运动过程中速度随时间变化的图像如图所示，（小球与地面碰撞的时间忽略不计，空气阻力不计，）下列说法正确的是（）A．弹性小球静止下落时距离水平地面的高度为B．弹性小球下落过程的平均速度的大小为C．弹性小球从开始下落至再次运动到最高点过程的平均速度的大小为D．弹性小球与水平地面碰撞过程中速度变化量的大小为二、多选题8．（25-26高一上·陕西商洛·期末）如图所示，甲同学用手拿着一把长50cm的直尺，并使其处于竖直状态：乙同学把手放在直尺0刻度线位置做捏尺的准备。某时刻甲同学松开直尺，直尺保持竖直状态下落，乙同学看到后立即用手指捏住直尺，手捏住直尺位置的刻度值为20cm；重复以上实验，乙同学第二次手捏住直尺位置的刻度值为。直尺下落过程中始终保持竖直状态。若从乙同学看到甲同学松开直尺，到他捏住直尺所用时间叫“反应时间”，取重力加速度则下列说法中正确的是（

）A．乙同学第一次捏住直尺之前的瞬间，直尺的速度约为B．乙同学第一次的“反应时间”比第二次长C．若某同学的“反应时间”大于0.4s，则用该直尺将可以用上述方法测量他的“反应时间”D．若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值，则可用上述方法直接测出“反应时间”9．（25-26高一上·云南文山·期末）如图所示，某同学站在平台竖直向上抛出一小球，一段时间后小球落回地面，不计空气阻力，取。关于小球从最高点下落过程说法正确的是（）A．小球在最高点时加速度为0B．小球下落0.5s时和时的速度大小之比为C．小球下落过程中第一个内和第二个内的位移大小之比为D．若小球从最高点开始经过1.2s落地，则小球下落时离地的高度为10．（25-26高一上·广东肇庆·期中）假设宇航员在某行星上从一定高度处由静止释放一重物，不计空气阻力，测得下落过程中前5s内重物的位移为75m，后5s内重物的位移为165m，则下列说法正确的是（

）A．物体下落的时间为9sB．该行星表面的重力加速度大小为C．重物下落过程中，任意相邻2s内的位移之差为24mD．重物全程的平均速度为12m/s11．（25-26高一上·四川达州·期末）一根长L=0.8m的棒，上端悬挂在天花板上的O点，在棒的正下方，距棒的下端也为L=0.8m处固定着一个高H=3.4m的空心圆筒。如图所示，现将棒由静止释放（视为自由落体运动），重力加速度g取10m/s2，则（）A．棒的上端到达圆筒上端时棒的速度v1=4m/sB．棒的上端穿出圆筒瞬间棒的速度v2=10m/sC．棒穿过圆筒所用的时间t=0.6sD．若改用长L=1.6m棒，则从O点静止释放到穿出圆筒过程所用时间更短三、解答题12．（25-26高一上